Exercice 1 2505 ENTPE (MP)Correction

Soit

M = (\begin{matrix} 0 & 1 & (0) \\ ⋱ & ⋱ \\ (0) & ⋱ & 1 \\ 1 & (0) & 0 \end{matrix}) \in ℳ_{n} (ℂ) .

(a)

Calculer le polynôme caractéristique de $M$ . La matrice $M$ est-elle diagonalisable? est-elle inversible?
(b)

Soit $G = {M^{k} | k \in ℤ}$ . Montrer que $G$ est une groupe cyclique et préciser son cardinal.

Solution

(a)

On obtient $χ_{M} (X) = {(- 1)}^{n} (X^{n} - 1)$ .
Les racines de $χ_{M}$ sont les racines de l’unité, il y en a $n$ ce qui est la taille de la matrice et donc $M$ est diagonalisable.
Puisque 0 n’est pas racine de $χ_{M}$ , la matrice $M$ est inversible.
(b)

Par Cayley-Hamilton, nous savons $M^{n} = I_{n}$ et donc $M$ est un élément d’ordre fini du groupe $({GL}_{n} (ℂ), \times)$ . Par calcul ou par considération de polynôme minimal, on peut affirmer que $n$ est le plus petit exposant $p > 0$ tel que $M^{p} = I_{n}$ et donc $M$ est un élément d’ordre exactement $n$ . On en déduit que $G$ est un groupe cyclique de cardinal $n$ .

Exercice 2 4221

Soit $G$ une partie de $ℳ_{n} (𝕂)$ telle que $(G, \times)$ soit un groupe¹¹ 1 On ne suppose pas a priori que $G$ soit un sous-groupe de ${GL}_{n} (𝕂)$ . En particulier, le neutre du groupe $(G, \times)$ peut être différent de la matrice $I_{n}$ ..

Que peut-on dire du rang des matrices de $G$ ?

Exercice 3 2541 Correction

Soit $G$ une partie de $ℳ_{n} (ℝ)$ non réduite à la matrice nulle.

On suppose que $(G, \times)$ est un groupe. Montrer qu’il existe $r \in ℕ^{*}$ tel que le groupe $(G, \times)$ soit isomorphe à un sous-groupe de $({GL}_{r} (ℝ), \times)$ .

Solution

Notons $E$ la matrice correspondant à l’élément neutre de $(G, \times)$ . Celle-ci est nécessairement non nulle car sinon la partie $G$ serait réduite à la matrice nulle.
Puisque la matrice $E$ est neutre, on a $E^{2} = E$ et donc $E$ est la matrice d’une projection. En posant $r = rg (E) \in ℕ^{*}$ , il existe $P \in {GL}_{n} (ℝ)$ telle que

E = P J_{r} P^{- 1} avec J_{r} = (\begin{matrix} I_{r} & O \\ O & O \end{matrix}) \in ℳ_{n} (ℝ) .

Pour toute matrice $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ , on peut écrire par blocs

M = P (\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}) P^{- 1} .

L’identité $E M = M = M E$ donne la nullité des blocs $B, C$ et $D$ .
On peut alors introduire l’application $φ : G \to ℳ_{r} (ℝ)$ qui associe à $M \in G$ le bloc $A$ de la description ci-dessus. On vérifie aisément que l’application $φ$ est injective et que

\forall M, N \in G, φ (M N) = φ (M) \times φ (N) .

Enfin, on a aussi $φ (E) = I_{r}$ de sorte que l’on peut affirmer que l’image de $φ$ est un sous-groupe de $({GL}_{r} (ℝ), \times)$ . Le groupe $(G, \times)$ alors isomorphe à ce sous-groupe.

Exercice 4 4228

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un espace $E$ et

Γ = {u \in ℒ (E) | Im (u) = F et Ker (u) = G} .

(a)

Soit $u$ appartenant à $Γ$ . Justifier que la restriction de $u$ au départ de $F$ et à valeurs dans $F$ est un automorphisme.
(b)

Vérifier que $Γ$ est stable pour le produit de composition des applications.
(c)

Établir que $(Γ, \circ)$ est un groupe dont on précisera l’élément neutre.

Exercice 5 3845 Correction

Montrer que les sous-groupes finis du groupe $(SO (2), \times)$ des rotations du plan sont cycliques.

Solution

Commençons par rappeler que les éléments de $SO (2)$ sont les matrices

R (θ) = (\begin{matrix} \cos (θ) & - \sin (θ) \\ \sin (θ) & \cos (θ) \end{matrix}) .

Soit $G$ un sous-groupe fini de $(SO (2), \times)$ .
L’ensemble $T = {θ > 0 | R (θ) \in G}$ est une partie non vide (car $2 π$ en est élément) et minorée de $ℝ$ . On peut donc introduire

θ_{0} = inf T \in ℝ_{+} .

Commençons par établir que $θ_{0}$ est élément de $T$ .
On peut construire une suite ${(θ_{n})}_{n \geq 1}$ d’éléments de $T$ convergeant vers $θ_{0}$ . Puisque l’ensemble $G$ est fini, l’ensemble des $R (θ_{n})$ est lui aussi fini. Il existe donc une infinité d’indices $n$ pour lesquels les $θ_{n}$ sont égaux modulo $2 π$ à une valeur $α$ . Puisque $θ_{n} \to θ_{0}$ , il y a une infinité de $θ_{n}$ égaux à $θ_{0}$ et donc $θ_{0} \in T$ .
Puisque $R (θ_{0}) \in G$ , on a $⟨ R (θ_{0}) ⟩ \subset G$ .
Inversement, soit $R$ un élément de $G$ . Il existe $θ \in ℝ$ tel que $R = R (θ)$ . On peut écrire $θ = q θ_{0} + θ^{'}$ avec $q \in ℤ$ et $θ^{'} \in [0; 2 π [$ . On a alors

R (θ^{'}) = R (θ) R {(θ_{0})}^{- q} \in G .

Si $θ^{'} > 0$ alors $θ^{'} \in T$ ce qui contredit la définition de $θ_{0} = inf T$ car $θ^{'} < θ_{0}$ .
Nécessairement $θ^{'} = 0$ et donc $θ = q θ_{0}$ ce qui donne $R = R {(θ_{0})}^{q} \in ⟨ R (θ_{0}) ⟩$ .
Finalement,

G = ⟨ R (θ_{0}) ⟩ .

Exercice 6 3001 NAVALE (MP)Correction

Soit $A$ une matrice de $ℳ_{n} (ℝ)$ . Établir que les assertions suivantes sont équivalentes:

(i)

$A$ est élément d’un groupe multiplicatif inclus dans $ℳ_{n} (ℝ)$ ;
(ii)

$rg (A) = rg (A^{2})$ ;
(iii)

$Ker (A) = Ker (A^{2})$ ;
(iv)

$Im (A)$ et $Ker (A)$ sont supplémentaires dans $ℝ^{n}$ ;
(v)

$\exists X \in ℳ_{n} (ℝ), A X = X A, A^{2} X = A$ et $X^{2} A = X$ .

Solution

(i) $⟹$ (ii) Supposons que $A$ soit élément d’un groupe multiplicatif $G$ .

On sait que le rang d’un produit est inférieur au rang des facteurs. On a donc immédiatement $rg (A^{2}) \leq rg (A)$ . Soit $X$ l’inverse de $A$ dans le groupe $G$ . On a $A^{2} X = A$ et donc $rg (A^{2}) \leq rg (A)$ . Par double inégalité¹¹ 1 Plus généralement, dans le groupe $G$ , toutes les matrices ont le rang de la matrice élément neutre (qui n’est pas supposé nécessairement égale à $I_{n}$ car le sujet parle de groupe multiplicatif inclus dans $ℳ_{n} (ℝ)$ et non de sous-groupe de ${GL}_{n} (ℝ)$ )., $rg (A) = rg (A^{2})$ .

(ii) $⟹$ (iii) Supposons $rg (A) = rg (A^{2})$ .

Par la formule du rang, $dim Ker (A) = dim Ker (A^{2})$ . Sachant $Ker (A) \subset Ker (A^{2})$ , il vient $Ker (A) = Ker (A^{2})$ .

(iii) $⟹$ (iv) Supposons $Ker (A) = Ker (A^{2})$ .

Soit $y \in Im (A) \cap Ker (A)$ . Il existe $x \in ℝ^{n}$ tel que $y = A x$ . Aussi, $A y = 0$ et donc $A^{2} x = 0$ . Ainsi, $x \in Ker (A^{2})$ et donc $x \in Ker (A)$ ce qui donne $y = A x = 0$ . Ainsi, $Im (A) \cap Ker (A) = {0}$ . Les espaces $Im (A)$ et $Ker (A)$ sont en somme directe. Par la formule du rang, on conclut que ceux-ci sont supplémentaires.

(iv) $⟹$ (v) Supposons que les espaces $Im (A)$ et $Ker (A)$ soient supplémentaires dans $ℝ^{n}$ . Soit $P$ la matrice de passage de la base canonique de $ℝ^{n}$ à une base adaptée à la supplémentarité des espaces $Im (A)$ et $Ker (A)$ . Par formule de changement de base,

P^{- 1} A P = (\begin{matrix} B & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) avec B \in ℳ_{r} (A) et r = rg (A)

La matrice $B$ est inversible car $rg (B) = rg (A) = r$ . On peut alors introduire

X = P (\begin{matrix} B^{- 1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) P^{- 1}

et l’on vérifie les relations voulues.

(v) $⟹$ (i) Supposons qu’il existe $X \in ℳ_{n} (ℝ)$ tel que $A X = X A$ , $A^{2} X = A$ et $X^{2} A = X$ . On vérifie que $G = {A X, A, X}$ est un groupe multiplicatif de neutre $A X$ et pour lequel $A$ et $X$ sont inverses l’un de l’autre.

Exercice 7 760 CENTRALE (MP)Correction

Soit $E = E_{1} \oplus E_{2}$ un $𝕂$ -espace vectoriel. On considère

Γ = {u \in ℒ (E) | Ker (u) = E_{1} et Im (u) = E_{2}} .

(a)

Pour tout $u$ de $Γ$ , on note $\tilde{u}$ la restriction de $u$ au départ de $E_{2}$ et à valeurs dans $E_{2}$ . Montrer que $\tilde{u}$ est un automorphisme de $E_{2}$ .

On note $ϕ : Γ \to GL (E_{2})$ l’application définie par $ϕ (u) = \tilde{u}$ .

(b)

Montrer que $\circ$ est une loi interne dans $Γ$ .
(c)

Montrer que $ϕ$ est un morphisme injectif de $(Γ, \circ)$ dans $(GL (E_{2}), \circ)$ .
(d)

Montrer que $ϕ$ est surjectif.
(e)

En déduire que $(Γ, \circ)$ est un groupe. Quel est son élément neutre?

Solution

(a)

$Im (u)$ est stable pour $u$ donc $u_{E_{2}}$ est bien défini. Par le théorème du rang la restriction de $u$ à tout supplémentaire de $Ker (u)$ définit un isomorphisme avec $Im (u)$ . Ici cela donne $u_{E_{2}}$ automorphisme.
(b)

Soient $u, v \in Γ$ . Si $x \in Ker (v \circ u)$ alors $u (x) \in Im (u) \cap Ker (v)$ donc $u (x) \in E_{1} \cap E_{2}$ et $u (x) = 0$ puis $x \in E_{1}$ . Ainsi $Ker (v \circ u) \subset E_{1}$ et l’inclusion réciproque est immédiate.
$Im (v \circ u) = v (u (E)) = v (E_{2}) = E_{2}$ car $v_{E_{2}}$ est un automorphisme de $E_{2}$ . Ainsi $v \circ u \in Γ$ .
(c)

Si $ϕ (u) = ϕ (v)$ alors $u_{E_{2}} = v_{E_{2}}$ . Or $u_{E_{1}} = 0 = v_{E_{1}}$ donc les applications linéaires $u$ et $v$ coïncident sur des sous-espaces vectoriels supplémentaires et donc $u = v$ .
(d)

Une application linéaire peut être définie de manière unique par ses restrictions linéaires sur deux sous-espaces vectoriels supplémentaires. Pour $w \in GL (E_{2})$ considérons $u \in ℒ (E)$ déterminé par $u_{E_{1}} = 0$ et $u_{E_{2}} = w$ . On vérifie aisément $E_{1} \subset Ker (u)$ et $E_{2} \subset Im (u)$ . Pour $x \in Ker (u)$ , $x = a + b$ avec $a \in E_{1}$ et $b \in E_{2}$ . La relation $u (x) = 0$ donne alors $u (a) + u (b) = 0$ c’est-à-dire $w (b) = 0$ . Or $w \in GL (E_{2})$ donc $b = 0$ puis $x \in E_{1}$ . Ainsi $Ker (u) \subset E_{1}$ et finalement $Ker (u) = E_{1}$ . Pour $y \in Im (u)$ , il existe $x \in E$ tel que $y = u (x)$ . Or on peut écrire $x = a + b$ avec $a \in E_{1}$ et $b \in E_{2}$ . La relation $y = u (x)$ donne alors $y = u (a) + u (b) = w (b) \in E_{2}$ . Ainsi $Im (u) \subset E_{1}$ et finalement $Im (u) = E_{1}$ . On peut conclure que $u \in Γ$ et $\tilde{u} = w$ : $ϕ$ est surjectif.
(e)

$φ$ est un morphisme bijectif: il transporte la structure de groupe existant sur $GL (E_{2})$ en une structure de groupe sur $(Γ, \circ)$ . Le neutre est l’antécédent de ${Id}_{E_{2}}$ c’est-à-dire la projection sur $E_{2}$ parallèlement à $E_{1}$ .

Exercice 8 6091 MINES (MP)Correction

Soient $n, m \in ℕ^{*}$ . Déterminer les morphismes de $({GL}_{n} (ℝ), \times)$ vers $(ℤ / m ℤ, +)$ .

Solution

Soit $φ : {GL}_{n} (ℝ) \to ℤ / m ℤ$ un morphisme de groupes.

Pour toute matrice $A \in {GL}_{n} (ℝ)$ , on a $φ (A^{m}) = m φ (A) = \bar{0}$ .

Soit $M \in {GL}_{n} (ℝ)$ . Pour toute matrice $M$ dont on peut extraire une racine $m$ -ième, le calcul ci-dessus assure $φ (M) = \bar{0}$ .

En suivant l’algorithme du pivot de Gauss, nous allons transformer une matrice $M \in {GL}_{n} (ℝ)$ en une matrice simple en multipliant par des matrices dont on peut extraire des racines $m$ -ièmes. Ces opérations ne modifieront pas la valeur prise par $φ$ sur $M$ .

Cas: $m$ impair.

Étudions les matrices des opérations élémentaires

Soit $T = I_{n} + λ E_{i, j}$ avec $i \neq j$ une matrice de transvection. On a $M = A^{m}$ avec $A = I_{n} + \frac{1}{m} λ E_{i, j}$ et donc $φ (M) = \bar{0}$

Soit $E = I_{n} - E_{i, i} - E_{j, j} + E_{i, j} + E_{j, i}$ matrice d’échange. On a $M = M^{m}$ car $m$ impair et donc $φ (M) = \bar{0}$

Soit $D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ avec $λ_{1} \times \dots \times λ_{n} \neq 0$ . On a $M = A^{m}$ avec $A = diag (\sqrt[m]{(} λ_{1}), \dots, \sqrt[m]{(} λ_{n}))$ (pour $m$ impair, $x \mapsto \sqrt[m]{x}$ est la bijection réciproque $x \mapsto x^{m}$ de $ℝ$ vers $ℝ$ ) et donc $φ (M) = \bar{0}$ .

Soit $M \in {GL}_{n} (ℝ)$ . Par l’algorithme du pivot de Gauss, on transforme par opérations élémentaires sur les lignes la matrice $M$ en $I_{n}$ . Ces opérations sur les lignes se traduisent par des produits à gauche par des matrices d’opérations élémentaires et cela ne modifie pas la valeur de $φ (M)$ . On a donc $φ (M) = φ (I_{n}) = \bar{0}$ .

La fonction $φ$ est constante égale à $\bar{0}$ et, inversement, cela correspond bien à un morphisme de groupes.

Cas: $m$ pair. On peut reprendre les propos précédents pour les matrices transvections et les matrices diagonales à coefficients diagonaux strictement positifs.

Remplaçons la matrice d’échange $E$ par $E^{'} = I_{n} - E_{i, i} - E_{j, j} + E_{i, j} - E_{j, i}$ . Le produit à gauche par $E^{'}$ échange la $i$ -ème et la $j$ -ème ligne en réalisant au surplus un passage à l’opposé sur la $j$ -ième ligne. L’application linéaire canoniquement associée se comprend comme une rotation d’un quart de tour dans un plan engendré par les $i$ -ème et $j$ -ème vecteur de la base canonique: on peut extraire une racine $m$ -ième à l’aide d’une rotation d’angle $π / 2 m$ . Ainsi, $φ (E^{'}) = \bar{0}$ .

Par l’algorithme du pivot de Gauss suivi en réalisant les échanges de lignes par $E^{'}$ au lieu de $E$ , on transforme la matrice $M$ en une matrice diagonale. En réalisant encore des produits par des matrices $E^{'}$ convenables, on élimine les termes négatifs sur la diagonale sauf peut-être un. En multipliant par une matrice $E^{'}$ adaptée, on positionne ce terme en dernière position de la diagonale. Enfin, par produit par une matrice diagonale à coefficients strictement positifs, on finit de transformer la matrice $M$ en $I_{n}$ ou $J_{n} = diag (1, \dots, 1, - 1)$ . Ces transformations correspondent à des produits par des matrices dont la valeur par $φ$ est $\bar{0}$ donc $φ (M) = φ (I_{n})$ ou $φ (M) = φ (J_{n})$ .

Les différentes transformations sur les lignes réalisées pour passer de $M$ à $I_{n}$ ou $J_{n}$ n’ont pas modifié le signe du déterminant. La matrice $M$ est donc transformée en $I_{n}$ lorsque $\det (M) > 0$ et en $J_{n}$ lorsque $\det (M) < 0$ . On sait $φ (I_{n}) = \bar{0}$ . Il reste à calculer $φ (J_{n})$ .

On remarque $J_{n}^{2} = I_{n}$ et donc $2 φ (J_{n}) \equiv 0 [m]$ . Sachant $m$ pair, il y a deux possibilités $φ (J_{n}) = \bar{0}$ ou $φ (J_{n}) = \bar{p}$ avec $p = m / 2$ .

Si $φ (J_{n}) = \bar{0}$ , on obtient $φ$ constante égale à $\bar{0}$ et il s’agit bien d’un morphisme de groupes.

Si $φ (J_{n}) = \bar{p}$ , on obtient

φ : {\begin{matrix} {GL}_{n} (ℝ) & \to & ℤ / m ℤ \\ M & \mapsto & {\begin{matrix} \bar{0} & si \det (M) > 0 \\ \bar{p} & si \det (M) < 0 \end{matrix} \end{matrix}

On vérifie sans peine que cette application est bien un morphisme de groupes.

Exercice 9 6251 KER LANN (MP)Correction

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire. On note

	${GL}_{2} (A)$	$= {M \in ℳ_{2} (A) \| \exists N \in ℳ_{2} (A), M N = N M = I_{2}}$
	${SL}_{2} (A)$	$= {M \in ℳ_{2} (A) \| \det (M) = 1} .$

(a)

Montrer que ${GL}_{2} (A)$ est un groupe pour le produit matriciel et que ${SL}_{2} (A)$ est un sous-groupe de ${GL}_{2} (A)$ .
(b)

Donner les ordres des éléments du groupe ${SL}_{2} (ℤ / 2 ℤ)$ et reconnaître ce groupe.
(c)

On considère le cas $A = ℤ / 2^{n} ℤ$ (avec $n ⩾ 1$ ). Montrer que le morphisme naturel

$π_{n} : {SL}_{2} (ℤ / 2^{n + 1} ℤ) \to {SL}_{2} (ℤ / 2^{n} ℤ)$

est surjectif et en déduire que

$Card ({SL}_{2} (ℤ / 2^{n} ℤ)) = 3 \cdot 2^{3 n - 2} .$

Solution

(a)

$(ℳ_{2} (A), +, \times)$ est un anneau unitaire et ${GL}_{2} (A)$ regroupe ses éléments inversibles. $({GL}_{2} (A), \times)$ est donc un groupe puisqu’il s’agit du groupe des inversibles d’un anneau.

Par la relation, $Com {(M)}^{⊤} M = M Com M^{⊤} = \det (M) I_{2}$ , on peut affirmer que toute matrice élément de ${SL}_{2} (A)$ est inversible. Ainsi, ${SL}_{2} (A)$ est une partie de ${GL}_{2} (A)$ . Il est immédiat qu’elle contient $I_{2}$ , qu’elle est stable par produit et passage à l’inverse. ${SL}_{2} (A)$ est un sous-groupe de $({GL}_{2} (A), \times)$ .
(b)

Les éléments de ${SL}_{2} (ℤ / 2 ℤ)$ sont

$(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) .$

Ils sont d’ordres respectifs $1, 2, 2, 2, 3, 3$ .

Ce groupe à $6$ éléments est isomorphe à $ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 3 ℤ$ via l’application donnée par

$φ (a, b) = {(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})}^{a} {(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})}^{b}$

pour $a \in {0, 1}$ et $b \in {0, 1, 2}$ . En effet, les matrices $(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ et $(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ commutent.
(c)

Considérons la projection canonique

$Π_{n} : ℳ_{2} (ℤ / 2^{n + 1} ℤ) \to ℳ_{2} (ℤ / 2^{n} ℤ) .$

Pour $M \in ℳ_{2} (ℤ)$ , si $\det (M) \equiv 1 [2^{n + 1}]$ , alors $\det (M) \equiv 1 [2^{n}]$ . L’application $π_{n}$ , restriction de $Π_{n}$ , est donc correctement définie.

Soit $M \in {SL}_{2} (ℤ / 2^{n} ℤ)$ . On écrit de façon unique

$M = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$

avec $a, b, c, d \in ⟦ 0; 2^{n} - 1 ⟧$ tels que $a d - b c \equiv 1 [2^{n}]$ . Les coefficients de $M$ sont en réalité des classes de congruence mais, abusivement, on identifie celles-ci avec le plus petit entier positif qui les représente.

Déterminons les antécédents de $M$ par $π_{n}$ .

Pour $M^{'} \in ℳ_{2} (ℤ / 2^{n + 1} ℤ)$ , on écrit de façon unique

$M^{'} = (\begin{matrix} a^{'} & b^{'} \\ c^{'} & d^{'} \end{matrix})$

avec $a^{'}, b^{'}, c^{'}, d^{'} \in ⟦ 0; 2^{n + 1} - 1 ⟧$ . On réalise le même abus sur les coefficients de $M^{'}$ que sur $M$ .

On a $Π_{n} (M^{'}) = M$ si, et seulement si, $a^{'} = a + ε_{a} 2^{n}$ , $b^{'} = b + ε_{b} 2^{n}$ , $c^{'} = c + ε_{c} 2^{n}$ et $d^{'} = d + ε_{d} 2^{n}$ avec $ε_{a}, ε_{b}, ε_{c}, ε_{d} \in {0, 1}$ .

On a alors

$a^{'} d^{'} - b^{'} c^{'} \equiv a d - b c + (ε_{a} d + ε_{d} a - ε_{b} c - ε_{c} b) 2^{n} [2^{n + 1}] .$

Selon que $a d - b c \equiv 1 [2^{n + 1}]$ ou $a d - b c \equiv 1 + 2^{n} [2^{n + 1}]$ , la matrice $M^{'}$ est élément de ${SL}_{2} (ℤ / 2^{n} ℤ)$ si, et seulement si, $ε_{a} d + ε_{d} a - ε_{b} c - ε_{c} b$ a la parité convenable. Puisque $a, b, c, d$ ne peuvent être tous pairs, il en existe au moins un d’eux soit impair, par exemple $a$ . Les quadruplets $(ε_{a}, ε_{b}, ε_{c}, ε_{d})$ et $(1 - ε_{a}, ε_{b}, ε_{c}, ε_{d})$ génèrent des quantités de parités différentes. Il y a $2^{4}$ quadruplets possibles dont la moitié donne la parité souhaitée. On en déduit que tout élément $M \in {SL}_{2} (ℤ / 2^{n} ℤ)$ possède exactement $8$ antécédents dans ${SL}_{2} (ℤ / 2^{n + 1} ℤ)$ . L’application $π_{n}$ est donc surjective et

$Card ({SL}_{2} (ℤ / 2^{n + 1} ℤ)) = 8 \cdot Card ({SL}_{2} (ℤ / 2^{n} ℤ)) .$

Puisque, $Card ({SL}_{2} (ℤ / 2 ℤ)) = 6$ , on conclut

$\forall n ⩾ 1, Card ({SL}_{2} (ℤ / 2^{n} ℤ)) = 3 \cdot 2^{3 n - 2} .$

[<] Groupe des classes de congruence

Édité le 10-08-2026

Groupes en algèbre linéaire