Commençons par rappeler que les éléments de $\mathrm{SO}(2)$ sont les matrices

$$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\hfill \cos (\theta )\hfill & \hfill -\sin (\theta )\hfill \\ \hfill \sin (\theta )\hfill & \hfill \cos (\theta )\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

Soit $G$ un sous-groupe fini de $(\mathrm{SO}(2),\times )$.
L’ensemble $T=\{\theta >0|R(\theta )\in G\}$ est une partie non vide (car $2\pi$ en est élément) et minorée de $ℝ$. On peut donc introduire

$${\theta }_0=infT\in {ℝ}_{+}\text{.}$$

Commençons par établir que ${\theta }_0$ est élément de $T$.
On peut construire une suite ${({\theta }_n)}_{n\ge 1}$ d’éléments de $T$ convergeant vers ${\theta }_0$. Puisque l’ensemble $G$ est fini, l’ensemble des $R({\theta }_n)$ est lui aussi fini. Il existe donc une infinité d’indices $n$ pour lesquels les ${\theta }_n$ sont égaux modulo $2\pi$ à une valeur $\alpha$. Puisque ${\theta }_n\to {\theta }_0$, il y a une infinité de ${\theta }_n$ égaux à ${\theta }_0$ et donc ${\theta }_0\in T$.
Puisque $R({\theta }_0)\in G$, on a $⟨R({\theta }_0)⟩\subset G$.
Inversement, soit $R$ un élément de $G$. Il existe $\theta \in ℝ$ tel que $R=R(\theta )$. On peut écrire $\theta =q{\theta }_0+{\theta }^{\prime }$ avec $q\in \mathbb{Z}$ et ${\theta }^{\prime }\in [0;2\pi [$. On a alors

$$R({\theta }^{\prime })=R(\theta )R{({\theta }_0)}^{-q}\in G\text{.}$$

Si ${\theta }^{\prime }>0$ alors ${\theta }^{\prime }\in T$ ce qui contredit la définition de ${\theta }_0=infT$ car ${\theta }^{\prime }<{\theta }_0$.
Nécessairement ${\theta }^{\prime }=0$ et donc $\theta =q{\theta }_0$ ce qui donne $R=R{({\theta }_0)}^q\in ⟨R({\theta }_0)⟩$.
Finalement,

$$G=⟨R({\theta }_0)⟩\text{.}$$

(i)$⟹$(ii) Supposons que $A$ soit élément d’un groupe multiplicatif $G$.

On sait que le rang d’un produit est inférieur au rang des facteurs. On a donc immédiatement $\mathrm{rg}(A^2)\le \mathrm{rg}(A)$. Soit $X$ l’inverse de $A$ dans le groupe $G$. On a $A^{2}X=A$ et donc $\mathrm{rg}(A^2)\le \mathrm{rg}(A)$. Par double inégalité¹¹ 1 Plus généralement, dans le groupe $G$, toutes les matrices ont le rang de la matrice élément neutre (qui n’est pas supposé nécessairement égale à ${\mathrm{I}}_n$ car le sujet parle de groupe multiplicatif inclus dans ${ℳ}_n(ℝ)$ et non de sous-groupe de ${\mathrm{GL}}_n(ℝ)$)., $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^2)$.

(ii)$⟹$(iii) Supposons $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}\left(A^2\right)$.

Par la formule du rang, $dim\mathrm{Ker}(A)=dim\mathrm{Ker}\left(A^2\right)$. Sachant $\mathrm{Ker}(A)\subset \mathrm{Ker}\left(A^2\right)$, il vient $\mathrm{Ker}(A)=\mathrm{Ker}\left(A^2\right)$.

(iii)$⟹$(iv) Supposons $\mathrm{Ker}(A)=\mathrm{Ker}\left(A^2\right)$.

Soit $y\in \mathrm{Im}(A)\cap \mathrm{Ker}(A)$. Il existe $x\in {ℝ}^n$ tel que $y=Ax$. Aussi, $Ay=0$ et donc $A^{2}x=0$. Ainsi, $x\in \mathrm{Ker}\left(A^2\right)$ et donc $x\in \mathrm{Ker}(A)$ ce qui donne $y=Ax=0$. Ainsi, $\mathrm{Im}(A)\cap \mathrm{Ker}(A)=\{0\}$. Les espaces $\mathrm{Im}(A)$ et $\mathrm{Ker}(A)$ sont en somme directe. Par la formule du rang, on conclut que ceux-ci sont supplémentaires.

(iv)$⟹$(v) Supposons que les espaces $\mathrm{Im}(A)$ et $\mathrm{Ker}(A)$ soient supplémentaires dans ${ℝ}^n$. Soit $P$ la matrice de passage de la base canonique de ${ℝ}^n$ à une base adaptée à la supplémentarité des espaces $\mathrm{Im}(A)$ et $\mathrm{Ker}(A)$. Par formule de changement de base,

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}\hfill B\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)\text{ avec }B\in {ℳ}_r(A)\text{ et }r=\mathrm{rg}(A)$$

La matrice $B$ est inversible car $\mathrm{rg}(B)=\mathrm{rg}(A)=r$. On peut alors introduire

$$X=P\left(\begin{array}{cc}\hfill B^{-1}\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)P^{-1}$$

et l’on vérifie les relations voulues.

(v)$⟹$(i) Supposons qu’il existe $X\in {ℳ}_n(ℝ)$ tel que $AX=XA$, $A^{2}X=A$ et $X^{2}A=X$. On vérifie que $G=\{AX,A,X\}$ est un groupe multiplicatif de neutre $AX$ et pour lequel $A$ et $X$ sont inverses l’un de l’autre.

• (a)

  $\mathrm{Im}(u)$ est stable pour $u$ donc $u_{E_2}$ est bien défini. Par le théorème du rang la restriction de $u$ à tout supplémentaire de $\mathrm{Ker}(u)$ définit un isomorphisme avec $\mathrm{Im}(u)$. Ici cela donne $u_{E_2}$ automorphisme.

• (b)

  Soient $u,v\in \mathrm{\Gamma }$. Si $x\in \mathrm{Ker}(v\circ u)$ alors $u(x)\in \mathrm{Im}(u)\cap \mathrm{Ker}(v)$ donc $u(x)\in E_1\cap E_2$ et $u(x)=0$ puis $x\in E_1$. Ainsi $\mathrm{Ker}(v\circ u)\subset E_1$ et l’inclusion réciproque est immédiate.
  $\mathrm{Im}(v\circ u)=v(u(E))=v(E_2)=E_2$ car $v_{E_2}$ est un automorphisme de $E_2$. Ainsi $v\circ u\in \mathrm{\Gamma }$.

• (c)

  Si $\varphi (u)=\varphi (v)$ alors $u_{E_2}=v_{E_2}$. Or $u_{E_1}=0=v_{E_1}$ donc les applications linéaires $u$ et $v$ coïncident sur des sous-espaces vectoriels supplémentaires et donc $u=v$.

• (d)

  Une application linéaire peut être définie de manière unique par ses restrictions linéaires sur deux sous-espaces vectoriels supplémentaires. Pour $w\in \mathrm{GL}(E_2)$ considérons $u\in ℒ(E)$ déterminé par $u_{E_1}=0$ et $u_{E_2}=w$. On vérifie aisément $E_1\subset \mathrm{Ker}(u)$ et $E_2\subset \mathrm{Im}(u)$. Pour $x\in \mathrm{Ker}(u)$, $x=a+b$ avec $a\in E_1$ et $b\in E_2$. La relation $u(x)=0$ donne alors $u(a)+u(b)=0$ c’est-à-dire $w(b)=0$. Or $w\in \mathrm{GL}(E_2)$ donc $b=0$ puis $x\in E_1$. Ainsi $\mathrm{Ker}(u)\subset E_1$ et finalement $\mathrm{Ker}(u)=E_1$. Pour $y\in \mathrm{Im}(u)$, il existe $x\in E$ tel que $y=u(x)$. Or on peut écrire $x=a+b$ avec $a\in E_1$ et $b\in E_2$. La relation $y=u(x)$ donne alors $y=u(a)+u(b)=w(b)\in E_2$. Ainsi $\mathrm{Im}(u)\subset E_1$ et finalement $\mathrm{Im}(u)=E_1$. On peut conclure que $u\in \mathrm{\Gamma }$ et $\tilde{u}=w$: $\varphi$ est surjectif.

• (e)

  $\phi$ est un morphisme bijectif: il transporte la structure de groupe existant sur $\mathrm{GL}(E_2)$ en une structure de groupe sur $(\mathrm{\Gamma },\circ )$. Le neutre est l’antécédent de ${\mathrm{Id}}_{E_2}$ c’est-à-dire la projection sur $E_2$ parallèlement à $E_1$.