Exercice 1 3364 Correction

Soit $x$ est un élément d’un groupe cyclique de cardinal $n$ . Calculer $x^{n}$ .

Solution

Soit $a$ un générateur du groupe cyclique $(G, *)$ introduit dans l’énoncé.
On sait

G = {e, a, a^{2}, \dots, a^{n - 1}} avec a^{n} = e .

Puisque $x$ est élément de $G$ , il existe $k \in ⟦ 0; n - 1 ⟧$ tel que $x = a^{k}$ et alors

x^{n} = a^{k n} = e .

Exercice 2 123

On désire établir que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est lui-même cyclique.

Soient $(G, \cdot)$ un groupe cyclique de générateur $a$ et $H$ un sous-groupe de $(G, \cdot)$ .

(a)

Justifier l’existence d’un plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $a^{n} \in H$ .
(b)

Établir que $H$ est alors le sous-groupe engendré par $a^{n}$ .

Exercice 3 124

Soit $G$ un groupe cyclique de cardinal $n$ .

Montrer que pour tout diviseur¹¹ 1 On a vu que le cardinal d’un sous-groupe divise le cardinal du groupe (voir le sujet 117): l’hypothèse que $d$ divise $n$ est nécessaire à l’existence d’un sous-groupe de cardinal $d$ . $d \in ℕ^{*}$ de $n$ , il existe un unique sous-groupe de cardinal $d$ dans $G$ .

Exercice 4 3715 Correction

Soit $(G, ⋆)$ un groupe cyclique à $n \geq 2$ éléments engendré par $a$ .

Pour $r \in ℕ^{*}$ , on introduit l’application $f : G \to G$ définie par

f (x) = x^{r} pour tout x \in G .

Enfin, on pose $d = n \land r$ .

(a)

Vérifier que $f$ est un endomorphisme du groupe $(G, ⋆)$ .
(b)

Déterminer le noyau $f$ .
(c)

Montrer que l’image de $f$ est le sous-groupe engendré par $a^{d}$ .
(d)

Pour $y \in G$ , combien l’équation $x^{r} = y$ possède-t-elle de solutions?

Solution

(a)

Le groupe $(G, ⋆)$ est nécessairement commutatif car cyclique. Pour tout $x, y \in G$ , on a

$f (x ⋆ y) = {(x ⋆ y)}^{r} = x^{r} ⋆ y^{r} = f (x) ⋆ f (y) .$
(b)

Pour $x \in G$ , on peut écrire $x = a^{k}$ avec $k \in ℤ$ et alors

$f (x) = e \Leftrightarrow a^{k r} = e .$

Puisque $a$ est d’ordre $n$

$f (x) = e \Leftrightarrow n ∣ k r .$

Pour $d = pgcd (n, r)$ , on peut écrire $n = d n^{'}$ et $r = d r^{'}$ avec $n^{'} \land r^{'} = 1$ et alors le théorème de Gauss donne

$n ∣ k r \Leftrightarrow n^{'} ∣ k .$

Par conséquent,

$Ker (f) = ⟨ a^{n^{'}} ⟩ .$
(c)

Par l’égalité de Bézout, on peut écrire $n u + r v = d$ et alors

$a^{d} = a^{n u} ⋆ a^{r v} = a^{r v} = f (a^{v}) \in Im (f) .$

Puisque $Im (f)$ est un sous-groupe, on a déjà $⟨ a^{d} ⟩ \subset Im (f)$ .

Inversement, soit $y \in Im (f)$ . On peut écrire $y = x^{r}$ avec $x$ de la forme $a^{k}$ où $k \in ℤ$ . On a donc

$y = a^{k r} .$

Or $d ∣ r$ et donc $y \in ⟨ a^{d} ⟩$ . Ainsi, $Im (f) \subset ⟨ a^{d} ⟩$ puis l’égalité.
(d)

Si $y \notin Im (f)$ , l’équation n’a pas de solution. Sinon, il existe $x_{0} \in G$ tel que $x_{0}^{r} = y$ et alors

$x^{r} = y \Leftrightarrow {(x ⋆ x_{0}^{- 1})}^{r} = e .$

Cela permet de mettre en correspondance bijective les solutions de l’équation $x^{r} = y$ avec les éléments du noyau de $f$ . Dans ce cas, il y a exactement $n / n^{'} = d$ solutions à l’équation.

Exercice 5 4291

Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes d’un groupe abélien $(G, \cdot)$ de cardinaux $p$ et $q$ nombres premiers distincts.

Montrer que $H K = {h k | h \in H et k \in K}$ est un sous-groupe cyclique de $G$ .

Exercice 6 125 Correction

Soient $H$ et $K$ deux groupes notés multiplicativement.

(a)

Montrer que si $h$ est un élément d’ordre $p$ de $H$ et $k$ un élément d’ordre $q$ de $K$ alors $(h, k)$ est un élément d’ordre $ppcm (p, q)$ de $H \times K$ .
(b)

On suppose $H$ et $K$ cycliques. Montrer que le groupe produit $H \times K$ est cyclique si, et seulement si, les ordres de $H$ et $K$ sont premiers entre eux.

Solution

(a)

${(h, k)}^{n} = 1_{H \times K} \Leftrightarrow p ∣ n$ et $q ∣ n$ donc $(h, k)$ est un élément d’ordre $ppcm (p, q)$ .
(b)

Posons $p$ et $q$ les ordres de $H$ et $K$ .
Supposons $p$ et $q$ premiers entre eux.
Si $h$ et $k$ sont générateurs de $H$ et $K$ alors $(h, k)$ est un élément d’ordre $ppcm (p, q) = p q$ de $H \times K$ .
Or $Card (H \times K) = p q$ donc $H \times K$ est cyclique.
Inversement, supposons $H \times K$ cyclique.
Si $(h, k)$ est générateur de $H \times K$ alors $h$ et $k$ sont respectivement générateurs de $H$ et $K$ .
On en déduit que $h$ est un élément d’ordre $p$ , $k$ d’ordre $q$ et puisque $(h, k)$ est d’ordre $ppcm (p, q)$ et $p q$ , on conclut que $p$ et $q$ sont premiers entre eux.

Exercice 7 4293

(Groupe $p$ -quasi-cyclique de Prüfer)

Soit $p$ un nombre premier. On pose

𝕌_{p^{\infty}} = {z \in ℂ | \exists k \in ℕ, z^{p^{k}} = 1} .

(a)

Montrer que $𝕌_{p^{\infty}}$ est un groupe multiplicatif dont tous les éléments sont d’ordre finis.
(b)

Montrer que les sous-groupes propres¹¹ 1 Un sous-groupe propre d’un groupe $(G, ⋆)$ est un sous-groupe non trivial, c’est-à-dire un sous-groupe distinct de ${e}$ et de $G$ . de $𝕌_{p^{\infty}}$ sont cycliques.

[<] Groupe engendré par une partie [>] Éléments d'ordre fini

Édité le 29-08-2023

Groupes cycliques