Exercice 1 5811 Correction

(a)

Vérifier que

$\frac{1}{3} ℤ + \frac{3}{5} ℤ$

est un sous-groupe monogène de $(ℚ, +)$ .
(b)

Même question avec

$\frac{2}{3} ℤ + \frac{4}{5} ℤ .$

Solution

(a)

Par opérations sur les sous-groupes d’un groupe commutatif¹¹ 1 Dans un groupe $(G, ⋆)$ commutatif, on vérifie que $H ⋆ K$ est un sous-groupe lorsque $H$ et $K$ le sont, on peut affirmer que $H = \frac{1}{3} ℤ + \frac{3}{5} ℤ$ est un sous-groupe de $(ℚ, +)$ .

Il s’agit de déterminer $a \in H$ tel que $1 / 3 \in a ℤ$ et $3 / 5 \in a ℤ$ . Les éléments de $H$ s’écrivent

$\frac{1}{3} u + \frac{3}{5} v = \frac{5 u + 9 v}{15} avec u, v \in ℤ .$

Les entiers $5$ et $9$ étant premiers entre eux, il existe $u, v \in ℤ$ tel que $\frac{1}{15} = \frac{1}{3} u + \frac{3}{5} v$ (en l’occurrence $u = 2$ et $v = - 1$ ). On en déduit

$\frac{1}{15} \in \frac{1}{3} ℤ + \frac{3}{5} ℤ donc \frac{1}{15} ℤ \subset \frac{1}{3} ℤ + \frac{3}{5} ℤ .$

Inversement, on vérifie

$\frac{1}{3} = 5 \cdot \frac{1}{15} \in \frac{1}{15} ℤ et \frac{3}{5} = 9 \cdot \frac{1}{15} \in \frac{1}{15} ℤ .$

On en déduit

$\frac{1}{3} ℤ + \frac{3}{5} ℤ = \frac{1}{15} ℤ .$
(b)

On remarque

$\frac{2}{3} u + \frac{4}{5} v = \frac{10 u + 12 v}{15} = \frac{2 (5 u + 6 v)}{15} avec u \land v = 1 .$

La même étude qu’au-dessus conduit à

$\frac{2}{3} ℤ + \frac{4}{5} ℤ = \frac{2}{15} ℤ .$

Exercice 2 5401 Correction

Dans $(ℂ^{*}, \times)$ , déterminer le sous-groupe $⟨ 𝒫 ⟩$ engendré par l’ensemble $𝒫$ des nombres premiers.

Solution

Tout entier naturel $n \geq 2$ est un produit d’un nombre fini de nombres premiers et est donc élément $⟨ 𝒫 ⟩$ . Aussi, le neutre $1$ est élément de $⟨ 𝒫 ⟩$ et donc

ℕ^{*} \subset ⟨ 𝒫 ⟩ .

Par stabilité d’un groupe par produit et passage à l’inverse, on peut affirmer que

\forall (p, q) \in {(ℕ^{*})}^{2}, \frac{p}{q} = p \times \frac{1}{q} \in ⟨ 𝒫 ⟩ .

Ainsi,

ℚ_{+}^{*} \subset ⟨ 𝒫 ⟩ .

Or $ℚ_{+}^{*} = ℚ^{*} \cap ℝ_{+}^{*}$ est un sous-groupe de $(ℂ^{*}, \times)$ contenant $𝒫$ et donc

⟨ 𝒫 ⟩ \subset ℚ_{+}^{*} .

Par double inclusion,

⟨ 𝒫 ⟩ = ℚ_{+}^{*} .

Exercice 3 3256

Soit $H$ un sous-groupe d’un groupe $(G, ⋆)$ distinct de $G$ .

Déterminer le groupe engendré par le complémentaire $\bar{H}$ de $H$ dans $G$ .

Exercice 4 4286

Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes d’un groupe abélien $(G, +)$ . Montrer que le sous-groupe engendré par $H \cup K$ est

H + K = {h + k | h \in H et k \in K} .

Exercice 5 4199

Montrer qu’un groupe fini $G$ de cardinal $n \geq 2$ possède une partie génératrice constituée d’au plus $\log_{2} (n)$ éléments.

Exercice 6 4285

Dans le groupe $(𝒮_{E}, \circ)$ des permutations de $E = ℝ ∖ {0,1}$ , déterminer le sous-groupe engendré par les fonctions $f$ et $g$ définies par

f (x) = 1 - x et g (x) = 1 / x .

Exercice 7 4278

(Sous-groupe engendré par deux éléments)

Soient $a, b$ deux éléments d’un groupe $G$ noté multiplicativement et

H = {a^{k_{1}} b^{ℓ_{1}} a^{k_{2}} b^{ℓ_{2}} \dots a^{k_{n}} b^{ℓ_{n}} | n \in ℕ, k_{1}, ℓ_{1}, k_{2}, ℓ_{2}, \dots, k_{n}, ℓ_{n} \in ℤ}

l’ensemble des produits finis d’itérés de $a$ et de $b$ .

(a)

Montrer que $H$ est le sous-groupe engendré par ${a, b}$ .
(b)

Simplifier la description de $H$ lorsque $a$ et $b$ commutent.

Exercice 8 5863 Correction

Soit $A$ est une partie non vide d’un groupe $(G, ⋆)$ .

Montrer

⟨ A ⟩ = {a_{1} ⋆ \dots ⋆ a_{n} | n \in ℕ^{*}, a_{1}, \dots, a_{n} \in A \cup A^{'}}

en notant

A^{'} = {a^{- 1} | a \in A} .

Solution

Notons

H = {a_{1} ⋆ \dots ⋆ a_{n} | n \in ℕ^{*}, a_{1}, \dots, a_{n} \in A \cup A^{'}} .

Montrons l’égalité $⟨ A ⟩ = H$ par double inclusion.

Par définition, $A \subset ⟨ A ⟩$ .

Pour tout $x \in A \subset ⟨ A ⟩$ , $x^{- 1} \in ⟨ A ⟩$ car le sous-groupe $⟨ A ⟩$ est stable par passage à l’inverse. On a donc $A^{'} \subset ⟨ A ⟩$ .

Pour tout $n \in ℕ^{*}$ et tous $a_{1}, \dots, a_{n} \in A \cup A^{'} \subset ⟨ A ⟩$ , on a $a_{1} ⋆ \dots ⋆ a_{n} \in ⟨ A ⟩$ car le sous-groupe $⟨ A ⟩$ est stable par composition.

Ainsi, on dispose d’une première inclusion $H \subset ⟨ A ⟩$ . Pour établir l’inclusion réciproque, il suffit d’observer que $H$ est un sous-groupe de $(G, ⋆)$ contenant $A$ .

Pour tout $x \in A$ , on peut écrire $x = a_{1}$ avec $a_{1} \in A \cup A^{'}$ . On a donc $x \in H$ ce qui fournit l’inclusion $A \subset H$ . Vérifions maintenant que $H$ est un sous-groupe de $(G, ⋆)$ .

Immédiatement, $H$ est une partie non vide de $(G, ⋆)$ .

Soit $x \in H$ . On peut écrire $x = a_{1} ⋆ \dots ⋆ a_{n}$ avec $n \in ℕ^{*}$ et $a_{1}, \dots, a_{n} \in A \cup A^{'}$ .

On a $x^{- 1} = a_{n}^{- 1} ⋆ \dots ⋆ a_{1}^{- 1}$ avec $a_{n}^{- 1}, \dots, a_{1}^{- 1} \in A \cup A^{'}$ donc $x^{- 1} \in H$ .

Soit de plus $y \in H$ . On peut écrire $y = b_{1} ⋆ \dots ⋆ b_{m}$ avec $m \in ℕ^{*}$ et $b_{1}, \dots, b_{m} \in A \cup A^{'}$ .

On a alors $x ⋆ y = c_{1} ⋆ \dots c_{p}$ en posant $p = n + m \in ℕ^{*}$ ,

c_{1}, \dots, c_{n} = a_{1}, \dots, a_{n} et c_{n + 1}, \dots, c_{n + m} = b_{1}, \dots, b_{m}

de sorte que $c_{1}, \dots, c_{p} \in A \cup A^{'}$ . Ainsi, $x ⋆ y \in H$ .

Finalement, $H$ est un sous-groupe de $(G, ⋆)$ contenant $A$ . Or $⟨ A ⟩$ est le plus petit sous-groupe contenant $A$ donc $⟨ A ⟩ \subset H$ .

Par double inclusion, $⟨ A ⟩ = H$ .

Exercice 9 5626 Correction

Soient $x = (a, b)$ et $y = (c, d)$ deux éléments du groupe $(ℤ^{2}, +)$ .

(a)

Établir $⟨ {x, y} ⟩ = {(k a + ℓ c, k b + ℓ d) | k, ℓ \in ℤ}$ .
(b)

Montrer que ${x, y}$ est une partie génératrice de $(ℤ^{2}, +)$ si, et seulement si, $a d - b c = \pm 1$ .

Solution

(a)

Considérons

$H = {(k a + ℓ c, k b + ℓ d) | k, ℓ \in ℤ} .$

Pour tout $k \in ℤ$ , $(k a, k b) = k . x \in ⟨ x ⟩ \subset ⟨ {x, y} ⟩$ . Aussi, pour tout $ℓ \in ℤ$ , $(ℓ c, ℓ d) = ℓ . y \in ⟨ y ⟩ \subset ⟨ x, y ⟩$ . Par additition,

$(k a + ℓ c, k b + ℓ d) = (k a, k b) + (ℓ c, ℓ d) \in ⟨ x, y ⟩ .$

Ainsi, $H \subset ⟨ {x, y} ⟩$ .

Inversement, on vérifie que $H$ est un sous-groupe de $(ℤ^{2}, +)$ contenant les éléments $x$ et $y$ et donc $⟨ {x, y} ⟩ \subset H$ .

Par double inclusion,

$⟨ {x, y} ⟩ = H .$
(b)

$(⟹)$ Si $a d - b c = 1$ , on observe

$d . (a, b) - b . (c, d) = (1,0) et - c . (a, b) + a . (c, d) = (0,1) .$

Par conséquent,

$(1,0), (0,1) \in ⟨ {x, y} ⟩ .$

On en déduit $ℤ^{2} = ⟨ {(1,0), (0,1)} ⟩ = ⟨ {x, y} ⟩$

Si $a d - b c = - 1$ , on opère de façon semblable.

$(⟸)$ Supposons $⟨ {x, y} ⟩ = ℤ^{2}$ . Il existe $k, ℓ \in ℤ$ tels que

$(1,0) = k . x + ℓ . y .$

Il existe aussi $m, n \in ℤ$ tels que

$(0,1) = m . x + n . y .$

On en déduit

$(\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}) (\begin{matrix} k & m \\ ℓ & n \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .$

En passant au déterminant,

$(a d - b c) (k n - ℓ m) = 1 .$

Or $a d - b c, k n - ℓ m \in ℤ$ donc $a d - b c = \pm 1$ .

Exercice 10 2229 Correction

Dans $(𝒮_{n}, \circ)$ on considère les permutations

τ = (\begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}) et σ = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \end{matrix}) .

(a)

Calculer $σ^{k} \circ τ \circ σ^{- k}$ pour $0 \leq k \leq n - 2$ .
(b)

En déduire que tout élément de $𝒮_{n}$ peut s’écrire comme un produit de $σ$ et de $τ$ .

Solution

(a)

$σ \circ τ \circ σ^{- 1} = (\begin{matrix} 2 & 3 \end{matrix})$ , $σ^{2} \circ τ \circ σ^{- 2} = (\begin{matrix} 3 & 4 \end{matrix})$ ,… $σ^{k} \circ τ \circ σ^{- k} = (\begin{matrix} k + 1 & k + 2 \end{matrix})$ .
(b)

Il est « connu » que toute permutation de $𝒮_{n}$ peut s’écrire comme produit de transpositions de la forme $(\begin{matrix} k & k + 1 \end{matrix})$ . Ces dernières peuvent s’écrire comme produit de $σ$ , de $τ$ , et de $σ^{- 1}$ . Or $σ^{n} = Id$ et donc $σ^{- 1} = σ^{n - 1}$ et par conséquent, $σ^{- 1}$ peut s’écrire comme produit de $σ$ .

Exercice 11 120

Soit $n \in ℕ$ tel que $n \geq 3$ . Dans le groupe $(𝒮_{n}, \circ)$ des permutations de $⟦ 1; n ⟧$ , on considère la transposition $t = (\begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix})$ et le cycle $c = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \end{matrix})$ de longueur $n$ .

(a)

Justifier que l’ensemble ${c, t}$ constitue une partie génératrice de $(𝒮_{n}, \circ)$ .
(b)

Existe-t-il une partie génératrice de $(𝒮_{n}, \circ)$ formée d’un seul élément?

Exercice 12 2368 CENTRALE (MP)Correction

Soit $n$ un entier naturel non nul, $(e_{1}, \dots, e_{n})$ la base canonique de $E = ℝ^{n}$ .
Soit $𝒮_{n}$ l’ensemble des permutations de ${1,2, \dots, n}$ . Soit $t_{i} = (1, i)$ .
Pour $s \in 𝒮_{n}$ , on définit $u_{s} (e_{i}) = e_{s (i)}$ .

(a)

Montrer que $(t_{2}, t_{3}, \dots, t_{n})$ engendre $𝒮_{n}$ .
(b)

Interpréter géométriquement $u_{s}$ lorsque $s$ est une transposition.
(c)

Soit $s = (1 2 \dots n - 1 n)$ . On suppose que $s$ est la composée de $p$ transpositions. Montrer que $p \geq n - 1$ .
(d)

Quel est le cardinal minimal d’une famille de transpositions génératrice de $𝒮_{n}$ ?

Solution

(a)

Pour $i \neq j \in {2, \dots, n}$ ,

$(i, j) = (1, i) \circ (1, j) \circ (1, i) .$

Toute transposition appartient à $⟨ t_{2}, t_{3}, \dots, t_{n} ⟩$ et puisque celles-ci engendrent $S_{n}$ ,

$S_{n} = ⟨ t_{2}, t_{3}, \dots, t_{n} ⟩ .$
(b)

Si $s = (i, j)$ , $u_{s}$ est la réflexion par rapport à l’hyperplan de vecteur normal $e_{i} - e_{j}$ .
(c)

Si $s$ est le produit de $p$ transpositions alors $Ker (u_{s} - {Id}_{E})$ contient l’intersection de $p$ hyperplans (ceux correspondant aux transpositions comme décrit ci-dessus). Or, ici $Ker (u_{s} - {Id}_{E}) = Vect (e_{1} + \dots + e_{n})$ et donc $p \geq n - 1$ .
(d)

$n - 1$ en conséquence de ce qui précède.

Exercice 13 4231

On note ${SL}_{n} (ℤ)$ l’ensemble des matrices carrées de taille $n \geq 2$ à coefficients entiers et de déterminants $1$ .

(a)

Montrer que ${SL}_{n} (ℤ)$ est un groupe multiplicatif.

On note $H$ le sous-groupe de ${SL}_{n} (ℤ)$ engendré par les matrices $I_{n} + E_{i, j}$ avec $i, j$ éléments distincts de $⟦ 1; n ⟧$ .

(b)

Vérifier l’appartenance à $H$ des matrices $I_{n} + k E_{i, j}$ pour tous indices $i, j$ distincts dans $⟦ 1; n ⟧$ et tout $k \in ℤ$ .
(c)

Soit $M \in {SL}_{n} (ℤ)$ . Montrer qu’il existe une matrice $A \in H$ telle que la première colonne de $A M$ est constituée d’un $1$ suivi de $0$ .
(d)

Montrer $H = {SL}_{n} (ℤ)$ .

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Édité le 29-08-2023

Groupe engendré par une partie