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Exercice 1  5401  Correction  

Dans (*,×), déterminer le sous-groupe P engendré par l’ensemble 𝒫 des nombres premiers.

Solution

Tout entier naturel n2 est un produit d’un nombre fini de nombres premiers et est donc élément 𝒫. Aussi, le neutre 1 est élément de 𝒫 et donc

*𝒫.

Par stabilité d’un groupe par produit et passage à l’inverse, on peut affirmer que

(p,q)(*)2,pq=p×1q𝒫.

Ainsi,

+*𝒫.

Or +*=*+* est un sous-groupe de (*,×) contenant 𝒫 et donc

𝒫+*.

Par double inclusion,

𝒫=+*.
 
Exercice 2  3256  

Soit H un sous-groupe d’un groupe (G,) distinct de G. Déterminer le groupe engendré par le complémentaire H¯ de H dans G.

 
Exercice 3  4286  

Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe abélien (G,+). Montrer que le groupe engendré par HK est

H+K={h+k|hH et kK}.
 
Exercice 4  4199   

Montrer qu’un groupe fini G de cardinal n2 possède une partie génératrice constituée d’au plus log2n éléments.

 
Exercice 5  4285   

Dans le groupe (𝒮E,) des permutations de E={0,1}, déterminer le sous-groupe engendré par les fonctions f et g définies par

f(x)=1-xetg(x)=1/x.
 
Exercice 6  4278   

(Groupe engendré par deux éléments)

Soient a,b deux éléments d’un groupe G noté multiplicativement et

H={ak1b1ak2b2aknbn|n,k1,1,k2,2,,kn,n}

l’ensemble des produits finis d’itérés de a et de b.

  • (a)

    Montrer que H est le sous-groupe engendré par {a,b}.

  • (b)

    Simplifier la description de H lorsque a et b commutent.

 
Exercice 7  2229   Correction  

Dans (𝒮n,) on considère les permutations

τ=(12)etσ=(12n).
  • (a)

    Calculer σkτσ-k pour 0kn-2.

  • (b)

    En déduire que tout élément de 𝒮n peut s’écrire comme un produit de σ et de τ.

Solution

  • (a)

    στσ-1=(23), σ2τσ-2=(34),… σkτσ-k=(k+1k+2).

  • (b)

    Il est «  connu   » que toute permutation de 𝒮n peut s’écrire comme produit de transpositions de la forme (kk+1). Ces dernières peuvent s’écrire comme produit de σ, de τ, et de σ-1. Or σn=Id et donc σ-1=σn-1 et par conséquent, σ-1 peut s’écrire comme produit de σ.

 
Exercice 8  120   

Soit n tel que n3. Dans le groupe (𝒮n,) des permutations de 1;n, on considère la transposition t=(12) et le cycle c=(12n) de longueur n.

  • (a)

    Justifier que l’ensemble {c,t} constitue une partie génératrice de (𝒮n,).

  • (b)

    Existe-t-il une partie génératrice de (𝒮n,) formée d’un seul élément?

 
Exercice 9  2368     CENTRALE (MP)Correction  

Soit n un entier naturel non nul, (e1,,en) la base canonique de E=n.
Soit 𝒮n l’ensemble des permutations de {1,2,,n}. Soit ti=(1,i).
Pour s𝒮n, on définit us(ei)=es(i).

  • (a)

    Montrer que (t2,t3,,tn) engendre 𝒮n.

  • (b)

    Interpréter géométriquement us lorsque s est une transposition.

  • (c)

    Soit s=(1 2n-1n). On suppose que s est la composée de p transpositions. Montrer que pn-1.

  • (d)

    Quel est le cardinal minimal d’une famille de transpositions génératrice de 𝒮n?

Solution

  • (a)

    Pour ij{2,,n},

    (i,j)=(1,i)(1,j)(1,i).

    Toute transposition appartient à t2,t3,,tn et puisque celles-ci engendrent Sn,

    Sn=t2,t3,,tn.
  • (b)

    Si s=(i,j), us est la réflexion par rapport à l’hyperplan de vecteur normal ei-ej.

  • (c)

    Si s est le produit de p transpositions alors Ker(us-IdE) contient l’intersection de p hyperplans (ceux correspondant aux transpositions comme décrit ci-dessus). Or, ici Ker(us-IdE)=Vect(e1++en) et donc pn-1.

  • (d)

    n-1 en conséquence de ce qui précède.

 
Exercice 10  4231    

On note SLn() l’ensemble des matrices carrées de taille n2 à coefficients entiers et de déterminants 1.

  • (a)

    Montrer que SLn() est un groupe multiplicatif.

On note H le sous-groupe de SLn() engendré par les matrices In+Ei,j avec i,j éléments distincts de 1;n.

  • (b)

    Vérifier l’appartenance à H des matrices In+kEi,j pour tous indices i,j distincts dans 1;n et tout k.

  • (c)

    Soit MSLn(). Montrer qu’il existe une matrice AH telle que la première colonne de AM est constituée d’un 1 suivi de 0.

  • (d)

    Montrer H=SLn().

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Édité le 08-11-2019

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