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Exercice 1  115  Correction  

Montrer que le sous-ensemble formé des éléments d’ordre fini d’un groupe abélien en est un sous-groupe.

Solution

Notons T l’ensemble des éléments d’ordre fini d’un groupe abélien (G,*) de neutre e.
On a évidemment TG et eT.
Si x,yT avec xn=ym=e alors

(x*y-1)mn=xmn*y-mn=e

donc x*y-1T.

 
Exercice 2  116  Correction  

Soient (G,*) un groupe fini commutatif d’ordre n et aG.

  • (a)

    Justifier que l’application xa*x est une permutation de G.

  • (b)

    En considérant le produit des éléments de G, établir que an=e.

Solution

  • (a)

    Puisque a est inversible, a est régulier ce qui fournit l’injectivité de l’application xa*x.
    Un argument de cardinalité finie donne la bijectivité de l’application.

  • (b)

    Par permutation

    xGx=xG(a*x)=an*xGx

    donc an=e.

 
Exercice 3  2363     CENTRALE (MP)Correction  

Quel est le plus petit entier n tel qu’il existe un groupe non commutatif de cardinal n?

Solution

Notons, pour n=6 que (𝒮3,) est un groupe non commutatif à 6 éléments.
Un groupe à n=1 élément est évidemment commutatif.
Pour n=2, 3 ou 5, les éléments d’un groupe à n éléments vérifient xn=e. Puisque n est premier, un élément autre que e de ce groupe est un élément d’ordre n et le groupe est donc cyclique donc commutatif.
Pour n=4, s’il y a un élément d’ordre 4 dans le groupe, celui-ci est cyclique. Sinon, tous les éléments du groupe vérifient x2=e. Il est alors classique de justifier que le groupe est commutatif.

 
Exercice 4  4280  

Soient a et b deux éléments d’un groupe11 1 Le groupe est ici noté multiplicativement. (G,).

  • (a)

    Montrer que a et bab-1 ont le même ordre.

  • (b)

    On suppose ab d’ordre fini égal à n. Que dire de ba?

  • (c)

    On suppose a d’ordre fini égal à n. Pour k, quel est l’ordre de ak?

 
Exercice 5  4290   

Soit a un élément d’un groupe G noté multiplicativement. On suppose a d’ordre pq avec p et q dans * premiers entre eux. Déterminer des éléments b et c d’ordres respectifs p et q tels que a=bc=cb.

 
Exercice 6  3332   

Soient a et b deux éléments d’ordres respectifs m et n d’un groupe abélien (G,).

  • (a)

    On suppose que m et n sont premiers entre eux. Montrer que ab est d’ordre mn.

  • (b)

    On ne suppose plus m et n premiers entre eux, l’élément ab est-il nécessairement d’ordre mn?

  • (c)

    Soit d un diviseur de m. Montrer qu’il existe un élément d’ordre d dans G.

  • (d)

    Existe-t-il dans G un élément d’ordre mn?

 
Exercice 7  4053   Correction  

Soit (G,.) un groupe abélien fini de neutre e.

  • (a)

    Soient x et y deux éléments de G d’ordres finis p et q premiers entre eux.
    Montrer que l’élément z=xy est d’ordre pq.

  • (b)

    On note m le ppcm des ordres des éléments de (G,.) et l’on introduit sa décomposition en facteurs premiers

    m=p1α1pNαN.

    Montrer qu’il existe un élément xi dans G d’ordre piαi pour chaque i1;N.

  • (c)

    Établir l’existence dans G d’un élément d’ordre m exactement.

Solution

  • (a)

    Puisque G est abélien

    zpq=xpqypq=(xp)q(yq)p=e.

    De plus, pour k, si zk=e alors zkp=e donc ykp=e ce qui entraîne que q divise kp. Or p et q sont premiers entre eux donc q divise k. De même, on obtient que p divise k. À nouveau puisque p et q sont premiers entre eux, on conclut que pq divise k. L’ordre de z est donc exactement pq.

  • (b)

    Puisque piαi est facteur du ppcm des ordres des éléments de (G,.), il existe un élément x dans G d’ordre piαid pour un certain d*. L’élément xi=xd est alors d’ordre exactement piαi.

  • (c)

    Une petite récurrence et l’élément y=x1xm fait l’affaire.

 
Exercice 8  4292   

Soient G et G deux groupes notés multiplicativement. On suppose que le groupe G est cyclique engendré par un élément a.

  • (a)

    Soit b un élément de G. Montrer qu’il existe un morphisme φ:GG vérifiant φ(a)=b si, et seulement si, b est d’ordre fini divisant celui de a.

  • (b)

    Combien existe-t-il de morphismes de (/n,+) dans lui-même?

  • (c)

    Combien existe-t-il de morphismes de (/n,+) dans (*,×)?

 
Exercice 9  3453   Correction  

Soit (G,.) un groupe de cardinal 2n.

  • (a)

    Justifier que l’on définit une relation d’équivalence sur G en posant

    xyx=y ou x=y-1.
  • (b)

    En déduire l’existence dans G d’un élément d’ordre 2.

Solution

  • (a)

    La relation est immédiatement réflexive et symétrique.
    En discutant selon les cas d’égalité, on montre aussi qu’elle est transitive.

  • (b)

    S’il n’existe pas dans (G,.) d’élément d’ordre 2, les classes d’équivalence de la relation comportent toutes deux éléments sauf celle de e qui ne comporte qu’un élément. Les classes d’équivalence étant disjointes de réunion G, le cardinal de G est alors impair ce qui est contraire aux hypothèses.

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Édité le 08-11-2019

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