Exercice 1 115 Correction

Montrer que le sous-ensemble formé des éléments d’ordre fini d’un groupe abélien en est un sous-groupe.

Solution

Notons $T$ l’ensemble des éléments d’ordre fini d’un groupe abélien $(G, *)$ de neutre $e$ .
On a évidemment $T \subset G$ et $e \in T$ .
Si $x, y \in T$ avec $x^{n} = y^{m} = e$ alors

{(x * y^{- 1})}^{m n} = x^{m n} * y^{- m n} = e

donc $x * y^{- 1} \in T$ .

Exercice 2 4279

Soit $a$ un élément d’un groupe $(G, ⋆)$ .

(a)

Montrer que l’application $φ : k \mapsto a^{k}$ définit un morphisme du groupe $(ℤ, +)$ vers $(G, ⋆)$ .
(b)

Déterminer l’image et le noyau de $φ$ en discutant selon l’ordre de $a$ .

Exercice 3 116 Correction

Soient $(G, *)$ un groupe fini commutatif d’ordre $n$ et $a \in G$ .

(a)

Justifier que l’application $x \mapsto a * x$ est une permutation de $G$ .
(b)

En considérant le produit des éléments de $G$ , établir que $a^{n} = e$ .

Solution

(a)

Puisque $a$ est inversible, $a$ est régulier ce qui fournit l’injectivité de l’application $x \mapsto a * x$ .
Un argument de cardinalité finie donne la bijectivité de l’application.
(b)

Par permutation

$\prod_{x \in G} x = \prod_{x \in G} (a * x) = a^{n} * \prod_{x \in G} x$

donc $a^{n} = e$ .

Exercice 4 2363 CENTRALE (MP)Correction

Quel est le plus petit entier $n$ tel qu’il existe un groupe non commutatif de cardinal $n$ ?

Solution

Notons, pour $n = 6$ que $(𝒮_{3}, \circ)$ est un groupe non commutatif à 6 éléments.
Un groupe à $n = 1$ élément est évidemment commutatif.
Pour $n = 2$ , $3$ ou $5$ , les éléments d’un groupe à $n$ éléments vérifient $x^{n} = e$ . Puisque $n$ est premier, un élément autre que $e$ de ce groupe est un élément d’ordre $n$ et le groupe est donc cyclique donc commutatif.
Pour $n = 4$ , s’il y a un élément d’ordre 4 dans le groupe, celui-ci est cyclique. Sinon, tous les éléments du groupe vérifient $x^{2} = e$ . Il est alors classique de justifier que le groupe est commutatif.

Exercice 5 5493 Correction

Soit $a$ un élément d’ordre $n$ d’un groupe multiplicatif $(G, \cdot)$

(a)

Montrer que si $d \in ℕ^{*}$ divise $n$ alors $a^{d}$ est d’ordre $n / d$ .
(b)

Plus généralement, montrer que $a^{m}$ est d’ordre $n / pgcd (n, m)$ pour tout $m \in ℤ$ .

Solution

Rappelons que si $a$ est un élément d’ordre $n$ , son ordre est caractérisé par la propriété

\forall k \in ℤ, a^{k} = 1 \Leftrightarrow n ∣ k .

(a)

Posons $d^{'} = n / d$ de sorte que $n = d d^{'}$ .

Pour tout $k \in ℤ$ ,

${(a^{d})}^{k} = 1$ $\Leftrightarrow a^{d k} = 1$

$\Leftrightarrow n ∣ d k$

$\Leftrightarrow d^{'} ∣ k .$

On en déduit que $a^{d}$ est un élément d’ordre $d^{'}$ .
(b)

Posons $d = pgcd (n, m)$ . On peut écrire $n = d n^{'}$ et $m = d m^{'}$ avec $n^{'}, m^{'}$ entiers premiers entre eux. Pour tout $k \in ℤ$ ,

${(a^{m})}^{k} = 1$ $\Leftrightarrow a^{m k} = 1$

$\Leftrightarrow n ∣ m k$

$\Leftrightarrow n^{'} ∣ m^{'} k$

$\Leftrightarrow n^{'} ∣ k$

car $n^{'} \land m^{'} = 1$ . On en déduit que $a^{m}$ est d’ordre $n^{'}$ .

Exercice 6 4280

Soient $a$ et $b$ deux éléments d’un groupe¹¹ 1 Le groupe est ici noté multiplicativement. $(G, \cdot)$ .

(a)

On suppose $a b$ d’ordre fini égal à $n$ . Que dire de $b a$ ?
(b)

On suppose $a$ d’ordre fini égal à $n$ . Pour $k \in ℤ$ , quel est l’ordre de $a^{k}$ ?

Exercice 7 5506 Correction

Pour tout $(a, b) \in ℂ^{*} \times ℂ$ , on considère la fonction $f_{a, b} : ℂ \to ℂ$ définie par

f_{a, b} (z) = a z + b .

(a)

Montrer que l’ensemble ${f_{a, b} | a \in ℂ^{*}, b \in ℂ}$ est muni d’une structure de groupe pour la loi de composition des applications.
(b)

Déterminer les éléments d’ordre fini de ce groupe.

Solution

(a)

Notons

$H = {f_{a, b} | a \in ℂ^{*}, b \in ℂ}$

et montrons que $H$ est un sous-groupe du groupe $(𝒮_{ℂ}, \circ)$ des permutations de $ℂ$ .

La permutation ${Id}_{ℂ}$ est élément de $H$ car ${Id}_{ℂ} = f_{1,0}$ .

Pour tout $z \in ℂ$ et tout $Z \in ℂ$ ,

$Z = a z + b \Leftrightarrow z = \frac{1}{a} Z - \frac{b}{a} .$

On en déduit que $f_{a, b}$ est une bijection de $ℂ$ vers $ℂ$ et $f_{a, b}^{- 1} = f_{1 / a, - b / a}$ . Ainsi, $H \subset 𝒮_{ℂ}$ et

$\forall f \in H, f^{- 1} \in H .$

Enfin,

$\forall z \in ℂ, f_{a, b} \circ f_{c, d} (z) = a (c z + d) + b = a c z + (a d + b)$

donc $f_{a, b} \circ f_{c, d} = f_{a c, a d + b}$ . Ainsi,

$\forall f, g \in H, f \circ g \in H .$

On peut conclure que $H$ est un sous-groupe de $(𝒮_{ℂ}, \circ)$ et donc $(H, \circ)$ est un groupe.
(b)

Par récurrence sur $n \in ℕ$ , on vérifie

$f_{a, b}^{n} = f_{a^{n}, (a^{n - 1} + \dots + a + 1) b}$

(où l’exposant $n$ doit être compris comme un itéré de composition et non une puissance multiplicative).

Pour que $f_{a, b}$ soit un élément d’ordre fini, il faut et il suffit qu’il existe $n \in ℕ$ tel que $f_{a, b}^{n} = {Id}_{ℂ}$ c’est-à-dire $f_{a^{n}, (a^{n - 1} + \dots + a + 1) b} = f_{1,0}$ . Puisque l’on vérifie aisément

$\forall (a, b), (c, d) \in ℂ^{*} \times ℂ, f_{a, b} = f_{c, d} \Leftrightarrow (a, b) = (c, d)$

on parvient au système

${\begin{matrix} a^{n} = 1 \\ (a^{n - 1} + \dots + a + 1) b = 0 . \end{matrix}$

Cas: $a = 1$ . Le système se résume à la condition $b = 0$ .

Cas: $a \neq 1$ . La deuxième équation du système se relit par sommation géométrique

$\frac{1 - a^{n}}{1 - a} b = 0 .$

Elle est automatiquement vérifiée lorsque la première équation l’est.

En résumé, les éléments d’ordre fini de $H$ sont l’application $f_{1,0} = Id$ et les applications $f_{a, b}$ pour $a \neq 1$ une racine de l’unité et $b \in ℂ$ quelconque.

Exercice 8 4290

Soit $a$ un élément d’un groupe $G$ noté multiplicativement. On suppose $a$ d’ordre $p q$ avec $p$ et $q$ dans $ℕ^{*}$ premiers entre eux.

Déterminer des éléments $b$ et $c$ d’ordres respectifs $p$ et $q$ tels que $a = b c = c b$ .

Exercice 9 3332

Soient $a$ et $b$ deux éléments d’ordres respectifs $m$ et $n$ d’un groupe abélien $(G, \cdot)$ .

(a)

On suppose que $m$ et $n$ sont premiers entre eux. Montrer que $a b$ est d’ordre $m n$ .
(b)

On ne suppose plus $m$ et $n$ premiers entre eux, l’élément $a b$ est-il nécessairement d’ordre $m \lor n$ ?
(c)

Soit $d$ un diviseur de $m$ . Montrer qu’il existe un élément d’ordre $d$ dans $G$ .
(d)

Existe-t-il dans $G$ un élément d’ordre $m \lor n$ ?

Exercice 10 4053 Correction

Soit $(G, \cdot)$ un groupe abélien fini de neutre $e$ .

(a)

Soient $x$ et $y$ deux éléments de $G$ d’ordres finis $p$ et $q$ premiers entre eux.

Montrer que l’élément $z = x y$ est d’ordre $p q$ .
(b)

On note $m$ le ppcm des ordres des éléments de $(G, \cdot)$ et l’on introduit sa décomposition en facteurs premiers

$m = p_{1}^{α_{1}} \dots p_{N}^{α_{N}} .$

Montrer qu’il existe un élément $x_{i}$ dans $G$ d’ordre $p_{i}^{α_{i}}$ pour chaque $i \in ⟦ 1; N ⟧$ .
(c)

Établir l’existence dans $G$ d’un élément d’ordre $m$ exactement.

Solution

(a)

Puisque le groupe $(G, \cdot)$ est commutatif,

$z^{p q} = x^{p q} y^{p q} = {(x^{p})}^{q} {(y^{q})}^{p} = e .$

De plus, pour $k \in ℕ$ , si $z^{k} = e$ alors $z^{k p} = e$ donc $y^{k p} = e$ ce qui entraîne que $q$ divise $k p$ . Or $p$ et $q$ sont premiers entre eux donc $q$ divise $k$ . De même, on obtient que $p$ divise $k$ . À nouveau, puisque $p$ et $q$ sont premiers entre eux, on conclut que $p q$ divise $k$ . L’ordre de $z$ est donc exactement $p q$ .
(b)

Puisque $p_{i}^{α_{i}}$ est facteur du ppcm des ordres des éléments de $(G, .)$ , il existe un élément $x$ dans $G$ d’ordre $p_{i}^{α_{i}} d$ pour un certain $d \in ℕ^{*}$ . L’élément $x_{i} = x^{d}$ est alors d’ordre exactement $p_{i}^{α_{i}}$ .
(c)

Une petite récurrence et l’élément $y = x_{1} \dots x_{m}$ fait l’affaire.

Exercice 11 4292

Soient $G$ et $G^{'}$ deux groupes notés multiplicativement. On suppose que le groupe $G$ est cyclique engendré par un élément $a$ .

(a)

Soit $b$ un élément de $G^{'}$ . Montrer qu’il existe un morphisme $φ : G \to G^{'}$ vérifiant $φ (a) = b$ si, et seulement si, $b$ est d’ordre fini divisant celui de $a$ .
(b)

Combien existe-t-il de morphismes de $(ℤ / n ℤ, +)$ dans lui-même?
(c)

Combien existe-t-il de morphismes de $(ℤ / n ℤ, +)$ dans $(ℂ^{*}, \times)$ ?

Exercice 12 3453 Correction

Soit $(G, \cdot)$ un groupe de cardinal $2 n$ .

(a)

Justifier que l’on définit une relation d’équivalence $ℛ$ sur $G$ en posant

$x ℛ y \Leftrightarrow x = y ou x = y^{- 1} .$
(b)

En déduire l’existence dans $G$ d’un élément d’ordre $2$ .

Solution

(a)

La relation est immédiatement réflexive et symétrique.
En discutant selon les cas d’égalité, on montre aussi qu’elle est transitive.
(b)

S’il n’existe pas dans $(G, \cdot)$ d’élément d’ordre $2$ , les classes d’équivalence de la relation $ℛ$ comportent toutes deux éléments sauf celle de $e$ qui ne comporte qu’un élément. Les classes d’équivalence étant disjointes de réunion $G$ , le cardinal de $G$ est alors impair ce qui est contraire aux hypothèses.

Exercice 13 6050 Correction

On souhaite discuter les ordres possibles des éléments $A$ de ${GL}_{2} (ℤ)$ . Pour cela, on écrit :

χ_{A} (X) = X^{2} - t X + d .

Préciser les valeurs possibles de $t$ et $d$ et discuter ensuite des ordres possibles.

Fournir des exemples explicites pour les différents ordres proposés.

Solution

Soit $A$ un élément d’ordre fini de ${GL}_{2} (ℤ)$ . On introduit ses valeurs propres $λ$ et $μ$ dans $ℂ$ . Celles-ci sont d’ordres finis: ce sont des racines de l’unité. En particulier, $λ$ et $μ$ sont de module $1$ .

Une matrice inversible à coefficients entiers est de déterminant $\pm 1$ . On a donc

d = λ μ = \pm 1 .

Aussi, $t = λ + μ \in ℤ$ et $| t | \leq | λ | + | μ | = 2$ donc $t \in ⟦ - 2; 2 ⟧$ .

Cas: $λ μ = 1$ . On a $μ = 1 / λ = \bar{λ}$ et donc $t = 2 Re (λ)$ . Ainsi, $Re (λ) \in {0, \pm 1 / 2, \pm 1}$ . On en déduit les couples $(λ, μ)$ possibles (à l’ordre près):

(i, - i), (j, j^{2}), (- j, - j^{2}), (1, 1) et (- 1, - 1) .

Cela conduit respectivement aux ordres $4$ , $3$ , $6$ , $1$ et $2$ .

Cas: $λ μ = - 1$ . On a $μ = - 1 / λ = - \bar{λ}$ et donc $t = 2 i Im (λ)$ . Ainsi, $Im (λ) = 0$ . On en déduit $λ = \pm 1$ et $μ = - λ$ . Cela conduit à des éléments d’ordre $2$ .

Les ordres finis possibles sont donc $1$ , $2$ , $3$ , $4$ et $6$ .

Les matrices suivantes sont des exemples respectifs de matrices de l’ordre souhaité:

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) et (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) .

Enfin,

(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

et d’ordre infini.

[<] Groupes cycliques [>] Groupes isomorphes

Édité le 17-06-2025

	${(a^{d})}^{k} = 1$	$\Leftrightarrow a^{d k} = 1$
		$\Leftrightarrow n ∣ d k$
		$\Leftrightarrow d^{'} ∣ k .$

	${(a^{m})}^{k} = 1$	$\Leftrightarrow a^{m k} = 1$
		$\Leftrightarrow n ∣ m k$
		$\Leftrightarrow n^{'} ∣ m^{'} k$
		$\Leftrightarrow n^{'} ∣ k$

Éléments d'ordre fini