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Exercice 1  4282  

Montrer que tout groupe fini de cardinal un nombre premier p est isomorphe à (/p,+).

 
Exercice 2  4283  

Décrire les sous-groupes finis de (*,×).

 
Exercice 3  4284   

Soit A une partie d’un groupe fini (G,). On suppose 2Card(A)>Card(G). Montrer que tout élément de G peut s’écrire comme le produit de deux éléments de A.

 
Exercice 4  4287   

Soit f un morphisme de groupes au départ d’un groupe G fini. Montrer la formule

Card(G)=Card(Im(f))×Card(Ker(f)).
 
Exercice 5  4200   Correction  

Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe fini G noté multiplicativement. On note HK={hk|hH et kK}. Montrer

Card(HK)Card(HK)=Card(H)Card(K).

Solution

Introduisons l’application f:H×KG définie par f(h,k)=hk. L’ensemble HK est exactement l’ensemble des valeurs prises par f.

Méthode: On étudie l’ensemble des antécédents de chaque valeur prise par f.

Soit y une valeur prise par f sur un certain couple (h,k)H×K. Déterminons les autres couples (h,k)H×K envoyés sur y. Si (h,k) est un tel couple, on a hk=hk et donc h-1h=kk-1. Notons a cette valeur. Par opérations, l’élément a est commun aux sous-groupes H et K et permet d’écrire h=ha et k=a-1k. Inversement, si h=ha et k=a-1k avec aHK, h et k sont des éléments de H et K de produit y. L’ensemble des antécédents de y est donc

f-1({y})={(ha,a-1k)|aHK}.

À chaque valeur de a correspond un couple (ha,a-1k) distinct, l’ensemble f-1({y}) a donc le cardinal de HK.

Résumons, les valeurs de l’application f sont les éléments de H×K et chacun est une valeur prise Card(HK) fois. On a donc

Card(HK)Card(HK)=Card(H×K)=Card(H)×Card(K).
 
Exercice 6  4289   

Soient (G,) un groupe de cardinal n et k un entier premier avec n. Montrer que l’application φ:xxk est une permutation de G.

 
Exercice 7  5332   Correction  

Soit (G,) un groupe fini de cardinal impair. Montrer que pour tout aG, l’équation x2=a d’inconnue xG possède une solution unique.

Solution

Notons 2n+1 avec n le cardinal de G. On sait y2n+1=1 pour tout yG.

Analyse: Si x est solution de l’équation x2=a alors

x=xx2n+1=x2n+2=(x2)n+1=an+1

Cela détermine x de façon unique.

Synthèse:

Pour x=an+1, on vérifie

x2=(an+1)2=a2n+2=a2n+1a=1a=a.

Ainsi, x est solution de l’équation x2=a.

 
Exercice 8  5331   Correction  

Soit (G,) un groupe commutatif de cardinal ab avec a,b* premiers entre eux.

On pose

A={xG|xa=e}etB={xG|xb=e}.
  • (a)

    Montrer que A et B sont des sous-groupes de (G,).

  • (b)

    Vérifier AB={e} et G=AB={xy|xA et yB}.

Solution

  • (a)

    Par commutativité du groupe (G,), l’application xxn est un morphisme de groupes pour toute valeur n. Les ensembles A et B sont les noyaux du morphisme déterminé pour n=a et n=b: ce sont des sous-groupes de (G,).

  • (b)

    Par le théorème de Bézout, il existe u,v tels que au+bv=1.

    Pour xAB, on peut écrire

    x=xau+bv=(xa)u(xb)v=euev=1.

    Ainsi, AB{e} puis AB{e} car l’inclusion réciproque est entendue.

    Pour xG, on sait xab=e et l’on peut écrire

    x=xbvxau=yz avec y=xbv et z=xau.

    On vérifie alors

    ya=xabv=ev=eetzb=xabu=eu=e

    et donc x=yz avec (y,z)A×B.

    Ainsi, GAB puis G=AB car l’inclusion réciproque est entendue.

 
Exercice 9  4296    

(Lemme de Cauchy)

Soit G un groupe fini noté multiplicativement. Soit p un nombre premier divisant le cardinal n du groupe G. On ambitionne de montrer qu’il existe dans G au moins un élément d’ordre p. On introduit pour cela l’ensemble

E={(g1,g2,,gp)Gp|g1g2gp=1}

et la relation d’équivalence sur E déterminée par

(g1,g2,,gp)(h1,h2,,hp)k,i1;p,hi=gi+k

où l’on adopte une notation circulaire: gp+1=g1, gp+2=g2, etc. Plus précisément, on pose gi=gj pour ij[p].

  • (a)

    Déterminer le cardinal de E.

  • (b)

    Montrer qu’une classe d’équivalence pour la relation est de cardinal 1 ou p.

  • (c)

    En déduire l’existence d’un élément g1 vérifiant gp=1.

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Édité le 08-11-2019

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