[<] Groupes isomorphes [>] Groupe des classes de congruence
Établir que tout groupe fini dont le cardinal est un nombre premier est isomorphe à .
Décrire les sous-groupes finis de .
Soit une partie d’un groupe fini telle que .
Montrer que tout élément de peut s’écrire comme le produit de deux éléments de .
Soit un morphisme de groupes au départ d’un groupe fini.
Montrer la formule
Soient et deux sous-groupes d’un groupe fini noté multiplicativement. On note . Montrer
Solution
Introduisons l’application définie par . L’ensemble est exactement l’ensemble des valeurs prises par .
Méthode: On étudie l’ensemble des antécédents de chaque valeur prise par .
Soit une valeur prise par sur un certain couple . Déterminons les autres couples envoyés sur . Si est un tel couple, on a et donc . Notons cette valeur. Par opérations, l’élément est commun aux sous-groupes et et permet d’écrire et . Inversement, si et avec , et sont des éléments de et de produit . L’ensemble des antécédents de est donc
À chaque valeur de correspond un couple distinct, l’ensemble a donc le cardinal de .
Résumons, les valeurs de l’application sont les éléments de et chacun est une valeur prise fois. On a donc
Soient un groupe de cardinal et un entier premier avec .
Montrer que l’application est une permutation de .
Soit un groupe fini de cardinal impair. Montrer que pour tout , l’équation d’inconnue possède une solution unique.
Solution
Notons avec le cardinal de . On sait pour tout .
Analyse: Si est solution de l’équation alors
Cela détermine de façon unique.
Synthèse:
Pour , on vérifie
Ainsi, est solution de l’équation .
Soit un groupe commutatif de cardinal avec premiers entre eux.
On pose
Montrer que et sont des sous-groupes de .
Vérifier et .
Solution
Par commutativité du groupe , l’application est un morphisme de groupes pour toute valeur . Les ensembles et sont les noyaux du morphisme déterminé pour et : ce sont des sous-groupes de .
Par le théorème de Bézout, il existe tels que .
Pour , on peut écrire
Ainsi, puis car l’inclusion réciproque est entendue.
Pour , on sait et l’on peut écrire
On vérifie alors
et donc avec .
Ainsi, puis car l’inclusion réciproque est entendue.
(Lemme de Cauchy)
Soient un groupe fini noté multiplicativement et un nombre premier divisant le cardinal du groupe . On ambitionne de montrer qu’il existe au moins un élément d’ordre dans . On introduit pour cela l’ensemble
et la relation d’équivalence sur déterminée par
où l’on adopte une notation circulaire11 1 Plus précisément, on pose pour .: , , etc.
Déterminer le cardinal de .
Montrer qu’une classe d’équivalence pour la relation est de cardinal ou .
En déduire l’existence d’un élément de différent de et vérifiant .
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Édité le 29-08-2023
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