[>] Groupe engendré par une partie
Montrer que
est un sous-groupe de .
Solution
Pour , avec , et . On a donc
puis . Ainsi .
On vérifie car on peut écrire avec .
Pour , on a avec des notations immédiates,
avec , et . Ainsi .
Enfin, pour et avec des notations immédiates,
On vérifie , et . De plus, puisque et , on a donc . Ainsi .
Finalement, est un sous-groupe de .
Un sous-groupe d’un groupe produit est-il nécessairement produit de deux sous-groupes?
Solution
Non, est un sous-groupe de mais n’est pas produit de deux sous-groupes de !
Soient un groupe, un sous-groupe de , une partie non vide de . On pose . Montrer que si, et seulement si, .
Solution
Supposons .
donc .
Supposons . Pour , avec , . Or donc . Ainsi, .
Inversement, pour (il en existe car ) et pour tout , avec donc . Ainsi, puis .
Soit un espace euclidien. On note l’ensemble des endomorphismes de vérifiant
Montrer que est un groupe pour la loi de composition des applications.
Solution
On vérifie que est un sous-groupe du groupe des automorphismes de .
Soit . Pour , on a donc pour tout . On en déduit
Le vecteur est orthogonal à tout vecteur de , c’est donc le vecteur nul. Ainsi, . L’endomorphisme est donc bijectif: .
L’endomorphisme est bien évidemment élément de .
Pour ,
et donc .
Enfin
et donc .
On peut conclure que est un sous-groupe de , c’est donc un groupe pour la loi de composition des applications.
En fait, est le groupe des similitudes de , c’est l’ensemble des endomorphismes de la forme avec et .
Soient et deux sous-groupes d’un groupe . Montrer que est un sous-groupe de si, et seulement si, ou .
(Sous-groupe distingué)
Un sous-groupe de est dit distingué lorsque
Montrer que le noyau d’un morphisme de groupes au départ de est distingué.
Soient deux sous-groupes de . On suppose le sous-groupe distingué, montrer que l’ensemble
est un sous-groupe de .
Solution
Soient un tel morphisme et son noyau.
On sait déjà que est un sous-groupe de .
Soient et . Par morphisme,
donc .
Le sous-groupe est donc distingué.
On a immédiatement et .
Soient . On peut écrire
On a alors
Puisque , on a encore
Aussi
avec .
Ainsi, est bien un sous-groupe de .
(Sous-groupe distingué)
Un sous-groupe de est dit distingué lorsque
Montrer que le noyau d’un morphisme de groupes au départ de est distingué.
Soit un sous-groupe d’un groupe .
Montrer que l’on définit une relation d’équivalence sur en posant
On note la classe d’équivalence d’un élément de pour la relation et l’on note l’ensemble des classes d’équivalence pour la relation .
On suppose le sous-groupe distingué. Vérifier que l’on définit une opération sur en posant
Établir qu’alors est un groupe.
Solution
Soient un tel morphisme et son noyau.
On sait déjà que est un sous-groupe de .
Soient et . Par morphisme,
donc .
Le sous-groupe est donc distingué.
Soient .
On vérifie car .
Si alors donc et ainsi .
Si et alors et donc et ainsi .
est donc une relation d’équivalence.
Il s’agit de vérifier que le résultat du calcul ne dépend pas des réprésentants et choisis pour et .
Supposons et . On a et donc
En effet, il s’agit du produit de deux éléments de car est de la forme avec .
On a donc vérifié .
Pour ,
La loi est associative
Aussi,
La loi possède un neutre .
Enfin,
Tout élément de est donc inversible avec .
Finalement, est un groupe.
(Théorème de Lagrange)
Soient un groupe de cardinal fini et un sous-groupe de .
Pour tout , on note .
Observer pour tout .
Montrer que les ensembles sont disjoints ou confondus.
En déduire que le cardinal de divise celui de .
Application : Décrire lorsque et sont deux sous-groupes de de cardinaux premiers entre eux.
Montrer que
est un sous-groupe de .
Vérifier
En déduire que .
Solution
Pour , avec , et . On a donc
puis . Ainsi .
On vérifie car on peut écrire avec .
Pour , on a avec des notations immédiates,
avec , et . Ainsi .
Enfin, pour et avec des notations immédiates,
On vérifie , et . De plus, puisque et , on a donc . Ainsi .
Finalement, est un sous-groupe de .
On remarque que si est un élément de alors . Ainsi,
Par conséquent,
La plus petite valeur que l’on peut acquérir de cette forme est obtenue pour et cela donne
On a immédiatement .
Soit . Il existe tel que
On vérifie alors
et donc puis . Ainsi, puis l’égalité.
(Sous-groupes additifs de )
Soit un sous-groupe de non réduit à . On pose
On suppose . Montrer que appartient à puis que .
On suppose . Montrer que est une partie dense de .
Application : Établir11 1 Ici, la notation désigne l’adhérence topologique d’une partie. .
Montrer que tout sous-groupe additif de qui n’est pas monogène est dense dans .
Soit . Montrer qu’il existe une infinité de tels que
Montrer la divergence de la suite de terme général
Solution
Soit un tel groupe. Nécessairement ce qui permet d’introduire
Si , on montre que puis par division euclidienne que tout est multiple de . Ainsi, ce qui est exclu. Il reste et alors pour tout , il existe . On a alors et donc pour tout , il existe vérifiant . Ainsi, est dense dans .
Soit . Pour , considérons l’application
définie par . Puisque les valeurs prises par sont dans les intervalles (avec ), il existe au moins deux valeurs prises dans le même intervalle. Ainsi, il existe tel que
. En posant et , on a et donc
En faisant varier , on peut construire des couples distincts et donc affirmer qu’il existe une infinité de couple vérifiant
Puisque est irrationnel, il existe une suite de rationnels vérifiant
avec .
On a alors
Ainsi, la suite ne tend pas vers .
Puisque le sous-groupe , n’est pas monogène (car irrationnel), est dense dans et par l’application qui est une surjection continue de sur , on peut affirmer que est dense dans .
En particulier, il existe une infinité de tel que et pour ceux-ci .
Ainsi, il existe une suite extraite de convergeant vers .
Au final, la suite diverge.
(Description des sous-groupes )
Dans ce sujet, on étudie les sous-groupes de .
Soient et deux éléments de . Montrer
Soit un sous-groupe de non réduit au neutre. On note le plus petit pgcd de et pour parcourant et l’on introduit et tels que .
Soit . Montrer qu’il existe tel que
Déterminer .
On introduit et avec
Montrer que et qu’il existe tel que .
Vérifier que divise .
[>] Groupe engendré par une partie
Édité le 29-08-2023
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