[>] Groupe engendré par une partie

 
Exercice 1  2366    CENTRALE (MP)Correction  

Montrer que

{x+y3|x,y,x2-3y2=1}

est un sous-groupe de (+*,×).

Solution

Pour aH, a=x+y3 avec x, y et x2-3y2=1. On a donc

x=1+3y2>3|y|

puis a>0. Ainsi H+*.

On vérifie 1H car on peut écrire 1=1+03 avec 12-302=1.

Pour aH, on a avec des notations immédiates,

a-1=1a=x-y3

avec x, -y et x2-3(-y)2=1. Ainsi a-1H.

Enfin, pour a,bH et avec des notations immédiates,

ab=xx+3yy=x′′+(xy+xy)=y′′3.

On vérifie x′′, y′′ et x′′2-3y2=(xx+3yy)2-3(xy+xy)2=1. De plus, puisque x>3|y| et x>3|y|, on a x′′=xx+3yy0 donc x′′. Ainsi abH.

Finalement, H est un sous-groupe de (+*,×).

 
Exercice 2  113  Correction  

Un sous-groupe d’un groupe produit est-il nécessairement produit de deux sous-groupes?

Solution

Non, {(x,x)|x} est un sous-groupe de (2,+) mais n’est pas produit de deux sous-groupes de (,+)!

 
Exercice 3  2648    MINES (MP)Correction  

Soient G un groupe, H un sous-groupe de G, A une partie non vide de G. On pose AH={ah|aA,hH}. Montrer que AH=H si, et seulement si, AH.

Solution

Supposons AH=H.

aA,a=aeAH=H

donc AH.

Supposons AH. Pour xAH, x=ah avec aA, hH. Or a,hH donc x=ahH. Ainsi, AHH.

Inversement, pour aA (il en existe car A) et pour tout hH, h=a(a-1h) avec a-1hH donc hAH. Ainsi, HAH puis AH=H.

 
Exercice 4  5648   Correction  

Soit E un espace euclidien. On note 𝒮 l’ensemble des endomorphismes f de E vérifiant

(x,y)E2,x,y=0f(x),f(y)=0.

Montrer que 𝒮 est un groupe pour la loi de composition des applications.

Solution

On vérifie que 𝒮 est un sous-groupe du groupe (GL(E),) des automorphismes de E.

Soit f𝒮. Pour xKer(f), on a f(x)=0 donc f(x),f(y)=0 pour tout yE. On en déduit

yE,x,y=0.

Le vecteur x est orthogonal à tout vecteur de E, c’est donc le vecteur nul. Ainsi, Ker(f)={0E}. L’endomorphisme est donc bijectif: 𝒮GL(E).

L’endomorphisme IdE est bien évidemment élément de 𝒮.

Pour f,g𝒮,

(x,y)E2,x,y=0 f(x),f(y)=0
g(f(x)),g(f(y))=0

et donc gf𝒮.

Enfin

(x,y)E2,x,y=0 f(f1(x)),f(f1(y))=0
f1(x),f1(y)=0

et donc f1𝒮.

On peut conclure que 𝒮 est un sous-groupe de (GL(E),), c’est donc un groupe pour la loi de composition des applications.

En fait, 𝒮 est le groupe des similitudes de E, c’est l’ensemble des endomorphismes de la forme kφ avec k+* et φO(E).

 
Exercice 5  4277   

Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe (G,). Montrer que HK est un sous-groupe de (G,) si, et seulement si, HK ou KH.

 
Exercice 6  3432   Correction  

(Sous-groupe distingué)

Un sous-groupe H de (G,) est dit distingué lorsque

xH,aG,axa-1H.
  • (a)

    Montrer que le noyau d’un morphisme de groupes au départ de (G,) est distingué.

  • (b)

    Soient H,K deux sous-groupes de (G,). On suppose le sous-groupe H distingué, montrer que l’ensemble

    HK={xy|xH,yK}

    est un sous-groupe de (G,).

Solution

  • (a)

    Soient φ:GG un tel morphisme et H={xG|φ(x)=eG} son noyau.

    On sait déjà que H est un sous-groupe de (G,).

    Soient xH et aG. Par morphisme,

    φ(axa-1)=φ(a)φ(x)φ(a)-1=φ(a)eGφ(a)-1=eG

    donc axa-1H.

    Le sous-groupe H est donc distingué.

  • (b)

    On a immédiatement HKG et e=eeHK.

    Soient a,bHK. On peut écrire

    a=xyetb=xy avec x,xH et y,yK.

    On a alors

    ab=xyxy.

    Puisque z=yxy-1H, on a encore

    ab=(xz)(yy)HK.

    Aussi

    a-1=y-1x-1=zy-1HK

    avec z=y-1x-1yH.

    Ainsi, HK est bien un sous-groupe de (G,).

 
Exercice 7  5620   Correction  

(Sous-groupe distingué)

Un sous-groupe H de (G,) est dit distingué lorsque

xH,aG,axa-1H.
  • (a)

    Montrer que le noyau d’un morphisme de groupes au départ de (G,) est distingué.

Soit H un sous-groupe d’un groupe (G,).

  • (b)

    Montrer que l’on définit une relation d’équivalence sur G en posant

    xyxy-1H

On note x¯ la classe d’équivalence d’un élément x de G pour la relation et l’on note G=G/ l’ensemble des classes d’équivalence pour la relation .

  • (c)

    On suppose le sous-groupe H distingué. Vérifier que l’on définit une opération () sur G en posant

    x¯y¯=xy¯pour tous x,yG
  • (d)

    Établir qu’alors (G,) est un groupe.

Solution

  • (a)

    Soient φ:GG un tel morphisme et H={xG|φ(x)=eG} son noyau.

    On sait déjà que H est un sous-groupe de (G,).

    Soient xH et aG. Par morphisme,

    φ(axa-1)=φ(a)φ(x)φ(a)-1=φ(a)eGφ(a)-1=eG

    donc axa-1H.

    Le sous-groupe H est donc distingué.

  • (b)

    Soient x,y,zG.

    On vérifie xx car xx-1=1H.

    Si xy alors xy-1H donc yx-1=(xy-1)-1H et ainsi yx.

    Si xy et yz alors xy-1H et yz-1H donc xz-1=xy-1yz-1H et ainsi xz.

    est donc une relation d’équivalence.

  • (c)

    Il s’agit de vérifier que le résultat du calcul x¯y¯ ne dépend pas des réprésentants x et y choisis pour x¯ et y¯.

    Supposons x¯=x¯ et y¯=y¯. On a xx-1H et yy-1H donc

    (xy)(xy)-1=xyy-1x-1=(xyy-1x-1)xx-1H

    En effet, il s’agit du produit de deux éléments de H car xyy-1x-1=x(yy-1)x-1 est de la forme axa-1 avec xH.

    On a donc vérifié xy¯=xy¯.

  • (d)

    Pour x,y,zG,

    (x¯y¯)z¯=(xy)z¯=x(yz)¯=x¯(y¯z¯)

    La loi () est associative

    Aussi,

    x¯1¯=x1¯=x¯et1¯x¯=1x¯=x¯

    La loi () possède un neutre 1¯.

    Enfin,

    x¯x-1¯=xx-1¯=1¯etx-1¯x¯=x-1x¯=1¯

    Tout élément x¯ de G est donc inversible avec x¯-1=x-1¯.

    Finalement, (G,) est un groupe.

 
Exercice 8  117   

(Théorème de Lagrange)

Soient (G,) un groupe de cardinal fini et H un sous-groupe de G.

Pour tout aG, on note aH={ah|hH}.

  • (a)

    Observer Card(aH)=Card(H) pour tout aG.

  • (b)

    Montrer que les ensembles aH sont disjoints ou confondus.

  • (c)

    En déduire que le cardinal de H divise celui de G.

  • (d)

    Application : Décrire HK lorsque H et K sont deux sous-groupes de G de cardinaux premiers entre eux.

 
Exercice 9  5621   Correction  
  • (a)

    Montrer que

    H={x+y3|x,y,x2-3y2=1}

    est un sous-groupe de (+*,×).

  • (b)

    Vérifier

    min{zH|z>1}=2+3.
  • (c)

    En déduire que H=2+3.

Solution

  • (a)

    Pour aH, a=x+y3 avec x, y et x2-3y2=1. On a donc

    x=1+3y2>3|y|

    puis a>0. Ainsi H+*.

    On vérifie 1H car on peut écrire 1=1+03 avec 12-302=1.

    Pour aH, on a avec des notations immédiates,

    a-1=1a=x-y3

    avec x, -y et x2-3(-y)2=1. Ainsi a-1H.

    Enfin, pour a,bH et avec des notations immédiates,

    ab=xx+3yy=x′′+(xy+xy)=y′′3.

    On vérifie x′′, y′′ et x′′2-3y2=(xx+3yy)2-3(xy+xy)2=1. De plus, puisque x>3|y| et x>3|y|, on a x′′=xx+3yy0 donc x′′. Ainsi abH.

    Finalement, H est un sous-groupe de (+*,×).

  • (b)

    On remarque que si z=x+y3 est un élément de H alors y3=±x2-1. Ainsi,

    z={x+x2-1>1 si y>01 si y=0x-x2-1<1 si y<0.

    Par conséquent,

    {zH|z>1}={x+y3|x,y*,x2-3y2=1}.

    La plus petite valeur que l’on peut acquérir de cette forme est obtenue pour (x,y)=(2,1) et cela donne z=2+3

  • (c)

    On a immédiatement 2+3H.

    Soit zH. Il existe n tel que

    (2+3)nz<(2+3)n+1à savoirn=ln(x)ln(2+3).

    On vérifie alors

    z=z(2+3)nH[1;2+3[

    et donc z=1 puis z=(2+3)n. Ainsi, H2+3 puis l’égalité.

 
Exercice 10  4294    

(Sous-groupes additifs de R )

Soit H un sous-groupe de (,+) non réduit à {0}. On pose a=inf{hH|h>0}

  • (a)

    On suppose a>0. Montrer que a appartient à H puis que H=a.

  • (b)

    On suppose a=0. Montrer que H est une partie dense de .

  • (c)

    Application : Établir11 1 Ici, la notation A¯ désigne l’adhérence topologique d’une partie. {cos(n)|n}¯=[-1;1].

 
Exercice 11  2948      X (MP)Correction  
  • (a)

    Montrer que tout sous-groupe additif de qui n’est pas monogène est dense dans .

  • (b)

    Soit x. Montrer qu’il existe une infinité de (p,q)×* tels que

    |x-pq|<1q2.
  • (c)

    Montrer la divergence de la suite de terme général

    un=1nsin(n).

Solution

  • (a)

    Soit H un tel groupe. Nécessairement H{0} ce qui permet d’introduire

    a=inf{h>0|hH}.

    Si a0, on montre que aH puis par division euclidienne que tout xH est multiple de a. Ainsi, H=a ce qui est exclu. Il reste a=0 et alors pour tout ε>0, il existe αH]0;ε]. On a alors αH et donc pour tout x, il existe hαH vérifiant |x-h|αε. Ainsi, H est dense dans .

  • (b)

    Soit x. Pour N*, considérons l’application

    f:{0,,N}[0;1[

    définie par f(k)=kx-kx. Puisque les N+1 valeurs prises par f sont dans les N intervalles [i/N;(i+1)/N[ (avec i{0,,N-1}), il existe au moins deux valeurs prises dans le même intervalle. Ainsi, il existe k<k{0,,N} tel que

    |f(k)-f(k)|<1N

    . En posant p=kx-kx et q=k-k{1,,N}, on a |qx-p|<1/N et donc

    |x-pq|<1Nq<1q2.

    En faisant varier N, on peut construire des couples (p,q) distincts et donc affirmer qu’il existe une infinité de couple (p,q)×* vérifiant

    |x-pq|<1q2.
  • (c)

    Puisque π est irrationnel, il existe une suite de rationnels pn/qn vérifiant

    |π-pnqn|<1qn2

    avec qn+.
    On a alors

    |upn|=|1pnsin(pn)|=|1pnsin(pn-qnπ)|1|pn|1|pn-qnπ|qnpn1π.

    Ainsi, la suite (un) ne tend pas vers 0.

    {|sin(n)||n}={|sin(n+2kπ)||n,k}=|sin(+2π)|.

    Puisque le sous-groupe H=+2π, n’est pas monogène (car π irrationnel), H est dense dans et par l’application |sin(.)| qui est une surjection continue de sur [0;1], on peut affirmer que {|sin(n)||n} est dense dans [0;1].
    En particulier, il existe une infinité de n tel que |sin(n)|1/2 et pour ceux-ci |un|2/n.
    Ainsi, il existe une suite extraite de (un) convergeant vers 0.
    Au final, la suite (un) diverge.

 
Exercice 12  4297    

(Description des sous-groupes Z2 )

Dans ce sujet, on étudie les sous-groupes de (2,+).

  • (a)

    Soient e1=(x1,y1) et e2=(x2,y2) deux éléments de 2. Montrer

    e1,e2=2|x1x2y1y2|=±1.

Soit H un sous-groupe de 2 non réduit au neutre. On note d le plus petit pgcd de x et y pour (x,y) parcourant H{(0,0)} et l’on introduit (u0,v0)2 et (x0,y0)H tels que d=u0x0+v0y0.

  • (b)

    Soit (u,v)2. Montrer qu’il existe au,v tel que

    Hu,v={ux+vy|(x,y)H}=au,v.
  • (c)

    Déterminer au0,v0.

On introduit e1=(x1,y1) et e2=(x2,y2) avec

x1=x0d,y1=y0d,x2=-v0ety2=u0.
  • (d)

    Montrer que e1,e2=2 et qu’il existe n tel que de1,ne2=H.

  • (e)

    Vérifier que d divise n.

 [>] Groupe engendré par une partie



Édité le 29-08-2023

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