[<] Morphismes de groupes [>] Groupe engendré par une partie

 
Exercice 1  2366    CENTRALE (MP)Correction  

Montrer que

{x+y3|x,y,x2-3y2=1}

est un sous-groupe de (+*,×).

Solution

Notons

H={x+y3|x,y,x2-3y2=1}.

Pour aH, a=x+y3 avec x, y et x2-3y2=1. On a donc x=1+3y2>3|y| puis a>0. Ainsi H+*.
1H car on peut écrire 1=1+03 avec 12-3.02=1.
Pour aH, on a avec des notations immédiates,

1a=x-y3

avec x, -y et x2-3(-y)2=1. Ainsi 1/aH.
Pour a,bH et avec des notations immédiates,

ab=xx+3yy+(xy+xy)3

avec xx+3yy, xy+xy et (xx+3yy)2-3(xy+xy)2=1.
Enfin puisque x>3|y| et x>3|y|, on a xx+3yy0 et finalement abH.

 
Exercice 2  113  Correction  

Un sous-groupe d’un groupe produit est-il nécessairement produit de deux sous-groupes?

Solution

Non, {(x,x)|x} est un sous-groupe de (2,+) mais n’est pas produit de deux sous-groupes de (,+)!

 
Exercice 3  2648    MINES (MP)Correction  

Soient G un groupe, H un sous-groupe de G, A une partie non vide de G. On pose AH={ah|aA,hH}. Montrer que AH=H si, et seulement si, AH.

Solution

Supposons AH=H.

aA,a=aeAH=H

donc AH.

Supposons AH. Pour xAH, x=ah avec aA, hH. Or a,hH donc x=ahH. Ainsi, AHH.

Inversement, pour aA (il en existe car A) et pour tout hH, h=a(a-1h) avec a-1hH donc hAH. Ainsi, HAH puis AH=H.

 
Exercice 4  4277   

Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe (G,). Montrer que HK est un sous-groupe de (G,) si, et seulement si, HK ou KH.

 
Exercice 5  3432   Correction  

(Sous-groupe distingué)

Un sous-groupe H de (G,.) est dit distingué si

xH,aG,axa-1H.
  • (a)

    Montrer que le noyau d’un morphisme de groupes au départ de (G,.) est distingué.

  • (b)

    Soient H,K deux sous-groupes de (G,.).
    On suppose le sous-groupe H distingué, montrer que l’ensemble

    HK={xy|xH,yK}

    est un sous-groupe de (G,.).

Solution

  • (a)

    Soient φ:GG un tel morphisme et H={xG|φ(x)=eG} son noyau.
    On sait déjà que H est un sous-groupe de (G,.).
    Soient xH et aG. On a

    φ(axa-1)=φ(a)φ(x)φ(a)-1=φ(a)eGφ(a)-1=eG

    donc axa-1H.

  • (b)

    HKG et e=e.eHK.
    Soient a,bHK. On peut écrire

    a=xy et b=xy avec x,xH et y,yK.

    On a alors

    ab=xyxy.

    Puisque z=yxy-1H, on a encore

    ab=(xz)(yy)HK.

    Aussi

    a-1=y-1x-1=zy-1HK

    avec z=y-1x-1yH.
    Ainsi, HK est bien un sous-groupe de (G,.).

 
Exercice 6  117   

(Théorème de Lagrange)

Soient (G,) un groupe fini et H un sous-groupe de G.

Pour tout aG, on note aH={ah|hH}.

  • (a)

    Montrer que les ensembles aH sont disjoints ou confondus.

  • (b)

    En déduire que le cardinal de H divise celui de G.

  • (c)

    Application: Décrire HK lorsque H et K sont deux sous-groupes de G de cardinaux premiers entre eux.

 
Exercice 7  4294    

(Sous-groupes additifs de R)

Soit H un sous-groupe de (,+) non réduit à {0}. On pose a=inf{hH|h>0}

  • (a)

    On suppose a>0. Montrer que a appartient à H puis que H=a.

  • (b)

    On suppose a=0. Montrer que H est une partie dense de .

  • (c)

    En déduire11 1 Ici, la notation A¯ désigne l’adhérence topologique d’une partie. {cos(n)|n}¯=[-1;1].

 
Exercice 8  2948      X (MP)Correction  
  • (a)

    Montrer que tout sous-groupe additif de qui n’est pas monogène est dense dans .

  • (b)

    Soit x. Montrer qu’il existe une infinité de (p,q)×* tels que

    |x-pq|<1q2.
  • (c)

    Montrer la divergence de la suite de terme général

    un=1nsin(n).

Solution

  • (a)

    Soit H un tel groupe. Nécessairement H{0} ce qui permet d’introduire

    a=inf{h>0|hH}.

    Si a0, on montre que aH puis par division euclidienne que tout xH est multiple de a. Ainsi, H=a ce qui est exclu. Il reste a=0 et alors pour tout ε>0, il existe αH]0;ε]. On a alors αH et donc pour tout x, il existe hαH vérifiant |x-h|αε. Ainsi, H est dense dans .

  • (b)

    Soit x. Pour N*, considérons l’application

    f:{0,,N}[0;1[

    définie par f(k)=kx-kx. Puisque les N+1 valeurs prises par f sont dans les N intervalles [i/N;(i+1)/N[ (avec i{0,,N-1}), il existe au moins deux valeurs prises dans le même intervalle. Ainsi, il existe k<k{0,,N} tel que

    |f(k)-f(k)|<1N

    . En posant p=kx-kx et q=k-k{1,,N}, on a |qx-p|<1/N et donc

    |x-pq|<1Nq<1q2.

    En faisant varier N, on peut construire des couples (p,q) distincts et donc affirmer qu’il existe une infinité de couple (p,q)×* vérifiant

    |x-pq|<1q2.
  • (c)

    Puisque π est irrationnel, il existe une suite de rationnels pn/qn vérifiant

    |π-pnqn|<1qn2

    avec qn+.
    On a alors

    |upn|=|1pnsin(pn)|=|1pnsin(pn-qnπ)|1|pn|1|pn-qnπ|qnpn1π.

    Ainsi, la suite (un) ne tend pas vers 0.

    {|sin(n)||n}={|sin(n+2kπ)||n,k}=|sin(+2π)|.

    Puisque le sous-groupe H=+2π, n’est pas monogène (car π irrationnel), H est dense dans et par l’application |sin(.)| qui est une surjection continue de sur [0;1], on peut affirmer que {|sin(n)||n} est dense dans [0;1].
    En particulier, il existe une infinité de n tel que |sin(n)|1/2 et pour ceux-ci |un|2/n.
    Ainsi, il existe une suite extraite de (un) convergeant vers 0.
    Au final, la suite (un) diverge.

 
Exercice 9  4297    

(Description des sous-groupes Z2)

Dans ce sujet, on étudie les sous-groupes de (2,+).

  • (a)

    Soient e1=(x1,y1) et e2=(x2,y2) deux éléments de 2. Montrer

    e1,e2=2|x1x2y1y2|=±1.

Soit H un sous-groupe de 2 non réduit au neutre. On note d le plus petit pgcd de x et y pour (x,y) parcourant H{(0,0)} et l’on introduit (u0,v0)2 et (x0,y0)H tels que d=u0x0+v0y0.

  • (b)

    Soit (u,v)2. Montrer qu’il existe au,v tel que

    Hu,v={ux+vy|(x,y)H}=au,v.
  • (c)

    Déterminer au0,v0.

On introduit e1=(x1,y1) et e2=(x2,y2) avec

x1=x0d,y1=y0d,x2=-v0ety2=u0.
  • (d)

    Montrer que e1,e2=2 et qu’il existe n tel que de1,ne2=H.

  • (e)

    Vérifier que d divise n.

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Édité le 08-11-2019

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