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Exercice 1  122  Correction  

Les groupes (,+) et (*,×) sont-ils isomorphes?

Solution

Non, l’équation x2=1 admet deux solutions dans (*,×) alors que l’équation analogue dans (,+), à savoir 2x=0, n’admet qu’une solution.

 
Exercice 2  4288   

Parmi les groupes suivants, lesquels sont isomorphes?

  • (a)

    (/4,+)

  • (b)

    (𝕌4,×)

  • (c)

    (/2×/2,+)

  • (d)

    (/6,+)

  • (e)

    (/2×/3,+)

  • (f)

    (𝒮3,)

  • (g)

    (,+)

  • (h)

    (*,×)

  • (i)

    (+*,×).

 
Exercice 3  4281   

Soient n* et ω=e2iπ/n.

  • (a)

    Montrer que l’application φ:/n𝕌n déterminée par φ(k¯)=ωk est un isomorphisme du groupe (/n,+) vers (𝕌n,×).

  • (b)

    Quelles sont les générateurs du groupe 𝕌n?

 
Exercice 4  2650     MINES (MP)Correction  

On note V l’ensemble des matrices à coefficients entiers du type

(abcddabccdabbcda)

et G l’ensemble des MV inversibles dans 4() et dont l’inverse est dans V.

  • (a)

    Quelle est la structure de G?

  • (b)

    Soit MV. Montrer que MG si, et seulement si, det(M)=±1.

  • (c)

    Donner un groupe standard isomorphe à G muni du produit.

Solution

  • (a)

    GGL4(), G est non vide, stable par passage à l’inverse et par produit car V l’est. Ainsi G est un sous-groupe de GL4() donc un groupe.

  • (b)

    Si MG alors det(M),det(M-1) et det(M)×det(M-1)=det(I4)=1 donc det(M)=±1.

    Inversement, si det(M)=±1 alors M-1=±Comt(M) est à coefficients entiers. On peut remarquer que

    E={(abcddabccdabbcda)|a,b,c,d}

    est un sous-espace vectoriel de 4() stable par produit et contenant In. L’application φ:XMX y définit un endomorphisme injectif donc bijectif. On en déduit que M-1=φ-1(In) est élément de E donc de V. Par conséquent, MG.

  • (c)
    det(M)=((a+c)2-(b+d)2)((a-c)2+(b-d)2)

    donc

    det(M)=±1{(a+c)2-(b+d)2=±1(a-c)2+(b-d)2=±1.

    La résolution de ce système à coefficients entiers donne à l’ordre près: a,b,c,d=±1,0,0,0.
    Posons J la matrice obtenue pour a=c=d=0 et b=1. On vérifie J4=I4.
    L’application φ:U2×/4G définie par φ(ε,n)=εJn est bien définie, c’est un morphisme de groupe, injectif et surjectif. Ainsi G est isomorphe à U2×/4 ou plus élégamment à /2×/4.

 
Exercice 5  4295    

À isomorphisme près, déterminer tous les groupes à 6 éléments.

 
Exercice 6  2649      MINES (MP)Correction  

Soit (G,.) un groupe fini tel que

gG,g2=e

e est le neutre de G. On suppose G non réduit à {e}.

Montrer qu’il existe n* tel que G est isomorphe à ((/2)n,+).

Solution

Le groupe (G,.) est abélien. En effet, pour tout xG, on a x-1=x donc, pour x,yG, (xy)-1=xy. Or (xy)-1=y-1x-1=yx donc xy=yx.

Pour 0¯,1¯/2 et xG, posons

0¯.x=eet1¯.x=x.

On vérifie que l’on définit alors un produit extérieur sur G munissant le groupe abélien (G,.) d’une structure de /2-espace vectoriel. En effet, pour (x,y)G2 et (λ,μ)(/2)2 on a

(λ+μ).x=λ.x+μ.x,λ.(x+y)=λ.x+λ.y,λ.(μ.x)=(λμ).x et 1¯.x=x.

De plus, cet espace est de dimension finie car Card(G)<+, il est donc isomorphe à l’espace ((/2)n,+,.) pour un certain n*.
En particulier, le groupe (G,.) est isomorphe à ((/2)n,+).

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Édité le 08-11-2019

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