Exercice 1 122 Correction

Les groupes $(ℚ, +)$ et $(ℚ^{*}, \times)$ sont-ils isomorphes?

Solution

Non, l’équation $x^{2} = 1$ admet deux solutions dans $(ℚ^{*}, \times)$ alors que l’équation analogue dans $(ℚ, +)$ , à savoir $2 x = 0$ , n’admet qu’une solution.

Exercice 2 5742 Correction

Soient $m$ et $n \in ℕ^{*}$ premiers entre eux.

Établir que l’application

φ : {\begin{matrix} 𝕌_{m n} & \to & 𝕌_{m} \times 𝕌_{n} \\ z & \mapsto & (z^{n}, z^{m}) \end{matrix}

est un isomorphisme de groupes.

Solution

L’application $φ$ est correctement définie car, si $z \in 𝕌_{m n}$ , on vérifie $z^{n} \in 𝕌_{m}$ et $z^{m} \in 𝕌_{n}$ . L’application $φ$ est aussi un morphisme de groupes multiplicatifs car, pour $z_{1}, z_{2} \in 𝕌_{m n}$ ,

φ (z_{1} z_{2}) = (z_{1}^{n} z_{2}^{n}, z_{1}^{m} z_{2}^{m}) = (z_{1}^{n}, z_{1}^{m}) \times (z_{2}^{n}, z_{2}^{m}) = φ (z_{1}) φ (z_{2}) .

Étudions le noyau de $φ$ . Pour $z \in 𝕌_{m n}$ , supposons $φ (z) = (1,1)$ , c’est-à-dire $z^{n} = z^{m} = 1$ . Puisque les entiers $m$ et $n$ sont premiers entre eux, il existe $u, v \in ℤ$ tels que $m u + n v = 1$ et alors $z = {(z^{m})}^{u} {(z^{n})}^{v} = 1$ . Ainsi, $Ker φ = {1}$ .

Le morphisme $φ$ est donc injectif. Or $Card 𝕌_{m n} = m n = Card (𝕌_{m} \times 𝕌_{n})$ donc l’application $φ$ est bijective. Finalement, $φ$ est un isomorphisme de groupe.

Exercice 3 5498 Correction

Soient $p, q$ deux entiers naturels premiers entre eux et $n = p q$ . Soit $(G, \cdot)$ un groupe fini commutatif vérifiant $x^{n} = 1$ pour tout $x \in G$ . On forme

M = {x \in G | x^{p} = 1} et N = {x \in G | x^{q} = 1} .

(a)

Montrer que $M$ et $N$ sont des sous-groupes de $(G, \cdot)$ .
(b)

Vérifier $M \cap N = {1}$ .
(c)

Établir que l’application

$f : {\begin{matrix} M \times N & \to & G \\ (x, y) & \mapsto & x y \end{matrix}$

est un isomorphisme de groupes.

Solution

(a)

$M$ est une partie de $G$ contenant $1$ car $1^{p} = 1$ .

Pour $x, y \in M$ , on vérifie par commutativité, ${(x y)}^{p} = x^{p} y^{p}$ et donc ${(x y)}^{p} = 1 \times 1 = 1$ . Ainsi, $x y \in M$ .

Pour $x \in M$ , on vérifie

${(x^{- 1})}^{p} = {(x^{p})}^{- 1} = 1^{- 1} = 1$

et donc $x^{- 1} \in M$ . Ainsi, $M$ est un sous-groupe de $(G, \cdot)$ et l’on montre qu’il en est de même pour $N$ .
(b)

Par le théorème de Bézout, il existe $u, v \in ℤ$ tels que $p u + q v = 1$ .

Pour $x \in M \cap N$ ,

$x = x^{p u + q v} = {(x^{p})}^{u} {(x^{q})}^{v} = 1^{u} \times 1^{v} = 1 .$

Ainsi, $M \cap N \subset {1}$ et l’inclusion réciproque est entendue.
(c)

L’application $f$ est correctement définie. Au départ, l’ensemble $M \times N$ est muni de la loi produit définie

$(x, y) \times (x^{'}, y^{'}) = (x x^{'}, y y^{'}) pour tout (x, y), (x^{'}, y^{'}) \in M \times N .$

Pour $(x, y), (x^{'}, y^{'}) \in M \times N$ ,

$f ((x, y) \times (x^{'}, y^{'})) = f (x x^{'}, y y^{'}) = x x^{'} y y^{'} = x y x^{'} y^{'} = f (x, y) f (x^{'}, y^{'}) .$

L’application $f$ est bien un morphisme de groupes.

Soit $(x, y) \in Ker (f)$ . On a $x y = 1$ . D’une part, $x \in M$ et, d’autre part, $y \in N$ donne $x = y^{- 1} \in N$ . On en déduit $x = 1$ . Ainsi, $Ker (f) = {1}$ ce qui permet d’affirmer que le morphisme $f$ est injectif.

Soit $z \in G$ . On peut écrire

$z = z^{p u + q v} = z^{q v} \times z^{p u} = x y avec x = z^{q v} et y = z^{p u} .$

On remarque alors

$x^{p} = z^{p q v} = {(z^{n})}^{v} = 1^{v} = 1 et y^{q} = z^{p q u} = {(z^{n})}^{u} = 1^{u} = 1 .$

Ainsi, $z = x y$ avec $(x, y) \in M \times N$ ce qui assure la surjectivité de $f$ .

Finalement, $f$ est un isomorphisme de groupes.

Exercice 4 4288

Parmi les groupes suivants, lesquels sont isomorphes?

(a)

$(ℤ / 4 ℤ, +)$
(b)

$(𝕌_{4}, \times)$
(c)

$(ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ, +)$
(d)

$(ℤ / 6 ℤ, +)$
(e)

$(ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 3 ℤ, +)$
(f)

$(𝒮_{3}, \circ)$
(g)

$(ℚ, +)$
(h)

$(ℚ^{*}, \times)$
(i)

$(ℚ_{+}^{*}, \times)$ .

Exercice 5 4281

Soient $n \in ℕ^{*}$ et $ω = e^{2 i π / n}$ .

(a)

Montrer que l’application $φ : ℤ / n ℤ \to 𝕌_{n}$ déterminée par $φ (\bar{k}) = ω^{k}$ est un isomorphisme du groupe $(ℤ / n ℤ, +)$ vers $(𝕌_{n}, \times)$ .
(b)

Quelles sont les générateurs du groupe $𝕌_{n}$ ?

Exercice 6 2650 MINES (MP)Correction

On note $V$ l’ensemble des matrices à coefficients entiers du type

(\begin{matrix} a & b & c & d \\ d & a & b & c \\ c & d & a & b \\ b & c & d & a \end{matrix})

et $G$ l’ensemble des $M \in V$ inversibles dans $ℳ_{4} (ℝ)$ et dont l’inverse est dans $V$ .

(a)

Quelle est la structure de $G$ ?
(b)

Soit $M \in V$ . Montrer que $M \in G$ si, et seulement si, $\det (M) = \pm 1$ .
(c)

Donner un groupe standard isomorphe à $G$ muni du produit.

Solution

(a)

$G \subset {GL}_{4} (ℝ)$ , $G$ est non vide, stable par passage à l’inverse et par produit car $V$ l’est. Ainsi $G$ est un sous-groupe de ${GL}_{4} (ℝ)$ donc un groupe.
(b)

Si $M \in G$ alors $\det (M), \det (M^{- 1}) \in ℤ$ et $\det (M) \times \det (M^{- 1}) = \det (I_{4}) = 1$ donc $\det (M) = \pm 1$ .

Inversement, si $\det (M) = \pm 1$ alors $M^{- 1} = \pm Com {(M)}^{⊤}$ est à coefficients entiers. On peut remarquer que

$E = {(\begin{matrix} a & b & c & d \\ d & a & b & c \\ c & d & a & b \\ b & c & d & a \end{matrix}) | a, b, c, d \in ℝ}$

est un sous-espace vectoriel de $ℳ_{4} (ℝ)$ stable par produit et contenant $I_{n}$ . L’application $φ : X \mapsto M X$ y définit un endomorphisme injectif donc bijectif. On en déduit que $M^{- 1} = φ^{- 1} (I_{n})$ est élément de $E$ donc de $V$ . Par conséquent, $M \in G$ .
(c)

$\det (M) = ({(a + c)}^{2} - {(b + d)}^{2}) ({(a - c)}^{2} + {(b - d)}^{2})$

donc

$\det (M) = \pm 1 \Leftrightarrow {\begin{matrix} {(a + c)}^{2} - {(b + d)}^{2} & = \pm 1 \\ {(a - c)}^{2} + {(b - d)}^{2} & = \pm 1 . \end{matrix}$

La résolution de ce système à coefficients entiers donne à l’ordre près: $a, b, c, d = \pm 1,0,0,0$ .
Posons $J$ la matrice obtenue pour $a = c = d = 0$ et $b = 1$ . On vérifie $J^{4} = I_{4}$ .
L’application $φ : U_{2} \times ℤ / 4 ℤ \to G$ définie par $φ (ε, n) = ε J^{n}$ est bien définie, c’est un morphisme de groupe, injectif et surjectif. Ainsi $G$ est isomorphe à $U_{2} \times ℤ / 4 ℤ$ ou plus élégamment à $ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 4 ℤ$ .

Exercice 7 4295

À isomorphisme près, déterminer tous les groupes à $6$ éléments.

Exercice 8 2649 MINES (MP)Correction

Soit $(G, .)$ un groupe fini tel que

\forall g \in G, g^{2} = e

où $e$ est le neutre de $G$ . On suppose $G$ non réduit à ${e}$ .

Montrer qu’il existe $n \in ℕ^{*}$ tel que $G$ est isomorphe à $({(ℤ / 2 ℤ)}^{n}, +)$ .

Solution

Le groupe $(G, .)$ est abélien. En effet, pour tout $x \in G$ , on a $x^{- 1} = x$ donc, pour $x, y \in G$ , ${(x y)}^{- 1} = x y$ . Or ${(x y)}^{- 1} = y^{- 1} x^{- 1} = y x$ donc $x y = y x$ .

Pour $\bar{0}, \bar{1} \in ℤ / 2 ℤ$ et $x \in G$ , posons

\bar{0} . x = e et \bar{1} . x = x .

On vérifie que l’on définit alors un produit extérieur sur $G$ munissant le groupe abélien $(G, .)$ d’une structure de $ℤ / 2 ℤ$ -espace vectoriel. En effet, pour $(x, y) \in G^{2}$ et $(λ, μ) \in {(ℤ / 2 ℤ)}^{2}$ on a

(λ + μ) . x = λ . x + μ . x, λ . (x + y) = λ . x + λ . y, λ . (μ . x) = (λ μ) . x et \bar{1} . x = x .

De plus, cet espace est de dimension finie car $Card (G) < + \infty$ , il est donc isomorphe à l’espace $({(ℤ / 2 ℤ)}^{n}, +, .)$ pour un certain $n \in ℕ^{*}$ .
En particulier, le groupe $(G, .)$ est isomorphe à $({(ℤ / 2 ℤ)}^{n}, +)$ .

[<] Éléments d'ordre fini [>] Groupe fini

Édité le 29-08-2023

Groupes isomorphes