[<] Nombres factoriels [>] Formule du binôme de Newton

 
Exercice 1  2081  

Soit n*.

  • (a)

    Vérifier que pour tout entier p compris entre 1 et n,

    (np)=np(n-1p-1).
  • (b)

    En déduire la valeur de

    p=1np(np).
 
Exercice 2  2086   

Pour tous n, p et q entiers naturels, calculer la somme

k=p+1q(n+kk).
 
Exercice 3  5168   

(Formule de Chu-Vandermonde)

Soient n, p et q trois entiers naturels vérifiant np+q.

Proposer une preuve combinatoire de la formule de Chu-Vandermonde11 1 Voir aussi le sujet 2085.

k=0n(pk)(qn-k)=(p+qn).
 
Exercice 4  2087   Correction  

Calculer pour n,p*, la somme

i=0n(j=1p(i+j)).

Solution

On commence par exprimer le produit comme un rapport de nombres factoriels

i=0n(j=1p(i+j))=i=0n(i+p)!i!

puis on introduit un coefficient du binôme

i=0n(j=1p(i+j))=p!i=0n(i+pi).

La somme introduite peut être calculée grâce à la formule de Pascal

i=0n(j=1p(i+j))=p!(p+n+1n)=(p+n+1)!(p+1)n!.
 
Exercice 5  2091   

Calculer

Sn=k=0n(-1)k(2n+1k).
 
Exercice 6  2090   Correction  

Montrer que pour tout n*

k=1n(-1)k+1k(nk)=k=1n1k.

Solution

Par récurrence sur n1.

Pour n=1, l’égalité est vraie.

Supposons la propriété vérifiée au rang n1.

On écrit

k=1n+1(-1)k+1k(n+1k)=k=1n(-1)k+1k(nk)+k=1n+1(-1)k+1k(nk-1).

Or

k=1n+1(-1)k+1k(nk-1)=k=1n+1(-1)k+1n+1(n+1k)=1n+1-(1-1)n+1n+1=1n+1

donc

k=1n+1(-1)k+1k(n+1k)=k=1n+11k.

La récurrence est établie.

On peut aussi aquérir l’identité par un calcul intégral sachant

01(1-t)n-1tdt=u=1-t011-un1-udu

Il suffit alors de développement le premier membre par la formule du binôme de Newton et le second par sommation géométrique.

 
Exercice 7  3688   Correction  

Soient n*.

  • (a)

    Justifier

    1kn,(nk)=n-k+1k(nk-1).
  • (b)

    En déduire que pour tout entier k vérifiant 1kn/2

    (nk-1)<(nk)

    et pour tout entier k vérifiant n/2kn-1

    (nk+1)<(nk).
  • (c)

    Comment interpréter simplement les inégalités qui viennent d’être obtenues?

Solution

  • (a)

    On peut écrire

    n!k!(n-k)!=(n-k+1)kn!(k-1)!(n-k+1)!

    ce qui donne directement la relation soumise.

  • (b)

    Si 1kn/2 alors 2k<n+1 et donc n-k+1>k puis

    (nk)=n-k+1k(nk-1)>(nk-1).

    La deuxième inégalité s’en déduit par la relation de symétrie

    (nk)=(nn-k).
  • (c)

    Pour n fixé, la suite finie des coefficients binomiaux croît puis décroît en étant extrémale en son milieu.

 
Exercice 8  4427   

Soit n*.

  • (a)

    Vérifier que pour tout entier k compris entre 1 et n,

    (nk)=n-k+1k(nk-1).
  • (b)

    En déduire que

    (nk-1)<(nk)  si 1kn2
    (nk+1)<(nk)  si n2kn-1.
  • (c)

    Application: Montrer

    (2nn)4n2n+1.

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Édité le 08-11-2019

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