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Exercice 1  2071  Correction  

Calculer, pour tout q, la somme k=0nq2k.

Solution

Si q21 alors k=0nq2k=q2n+2-1q2-1 (somme géométrique de raison q2)
Si q2=1 alors k=0nq2k=n+1.

 
Exercice 2  2070  Correction  

Calculer, pour tout θ, la somme k=0neikθ.

Solution

Si θ0[2π] alors

k=0neikθ=ei(n+1)θ-1eiθ-1

(somme géométrique de raison eiθ1)
Si θ=0[2π] alors

k=0neikθ=k=0n1=n+1.
 
Exercice 3  2072  

Pour x un réel différent de 1 et n un entier naturel, on pose

Sn=k=0nkxk.
  • (a)

    Déterminer la valeur de Sn en calculant xSn-Sn.

  • (b)

    Retrouver la valeur de Sn en dérivant la fonction x1+x++xn.

 
Exercice 4  2053    Correction  

Soit n. Résoudre, lorsqu’elle a un sens, l’équation:

k=0ncos(kx)cosk(x)=0.

Solution

L’équation a un sens pour xπ/2[π]. En exploitant cos(kx)=Re(eikx), on peut écrire

k=0ncos(kx)cosk(x)=Re(k=0neikxcosk(x))

ce qui apparaît comme une somme géométrique.
Si x0[π] alors q=eixcos(x)1 et

k=0neikxcosk(x)=1cosn(x)cosn+1(x)-ei(n+1)xcos(x)-eix.

Il reste à en déterminer la partie réelle. Puisque

k=0neikxcosk(x)=1cosn(x)cosn+1(x)-cos(n+1)x-isin(n+1)x-isin(x)

on obtient

k=0ncos(kx)cosk(x)=sin(n+1)xsin(x)(cos(x))n.

Alors, pour les x considérés

k=0ncos(kx)cosk(x)=0 sin(n+1)x=0
x0[πn+1].

Si x0[π] alors x n’est pas solution car

k=0ncos(kx)cosk(x)=n+1.

Finalement, les solutions sont les

kπn+1

avec k, k non mutiple de n+1 et non multiple impaire de (n+1)/2 (lorsque n est impair et afin de tenir compte de la condition xπ/2[π].)

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Édité le 08-11-2019

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