[<] Équations, inéquations et systèmes [>] Sommes géométriques

 
Exercice 1  2062  Correction  

Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies:

  • (a)

    i=1n(α+ai)=α+i=1nai

  • (b)

    i=1n(ai+bi)=i=1nai+i=1nbi

  • (c)

    i=1nαai=αi=1nai

  • (d)

    i=1naibi=i=1naii=1nbi

  • (e)

    i=1naiα=(i=1nai)α

  • (f)

    j=1n(i=1nai,j)=i=1n(j=1nai,j)?

Solution

b) c) f)

 
Exercice 2  4415  

Soit n*. Calculer les sommes suivantes:

  • (a)

    An=k=0n(-1)kx2k

  • (b)

    Bn=k=12n(-1)kk3

  • (c)

    Cn=1i,jn(i+j)

  • (d)

    Dn=1ijn(i+j).

 
Exercice 3  2063  Correction  

Établir l’une des trois formules suivantes:

  • (a)

    k=1nk=n(n+1)2

  • (b)

    k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6

  • (c)

    k=1nk3=n2(n+1)24

Solution

Chacune des formules peut être acquise en raisonnant par récurrence.

 
Exercice 4  5167  

Soit n*. Justifier

k=1nk3=n2(n+1)24.
 
Exercice 5  4414  

Soit n*. Calculer les sommes suivantes:

  • (a)

    An=1×2+2×3++n×(n+1)

  • (b)

    Bn=1×n+2×(n-1)++n×1

  • (c)

    Cn=12+32++(2n+1)2

  • (d)

    Dn=11×2+12×3++1n(n+1).

 
Exercice 6  2064   Correction  

À partir des valeurs connues de k=1nk et k=1nk2, calculer:

  • (a)

    k=1nk(k+1)

  • (b)

    1.n+2.(n-1)++(n-1).2+n.1.

Solution

  • (a)

    En séparant la somme

    k=1nk(k+1)=k=1nk2+k=1nk=n(n+1)(n+2)3.
  • (b)

    On réécrit

    1.n+2.(n-1)++(n-1).2+n.1=k=1nk(n+1-k)

    et l’on réorganise

    k=1nk(n+1-k)=(n+1)k=1nk-k=1nk2=n(n+1)(n+2)6.
 
Exercice 7  2065   Correction  

Calculer

k=1n(-1)kk.

Solution

D’une part

k=12p(-1)kk==1p(-(2-1)+2)=p

et d’autre part

k=12p+1(-1)kk=p-(2p+1)=-(p+1).

Ainsi,

k=1n(-1)kk={n/2 si n est pair(-1)n(n+1)/2 si n est impair.
 
Exercice 8  2067   Correction  

Montrer

k=0nk!2n!  pour tout n.

Solution

Les cas n=0 et n=1 sont immédiats. On peut alors raisonner par récurrence en écrivant pour n1

k=0n+1k! =k=0nk!+(n+1)!
2n!+(n+1)!
(n+1)n!+(n+1)!
2(n+1)!.

On peut aussi mener un calcul direct pour n1 en écrivant

k=0nk!=k=0n-1k!+n!

avec

k=0n-1k!k=0n-1(n-1)!=n(n-1)!=n!.
 
Exercice 9  4421   

Soit n*. Calculer

k=1nkk!  etk=1nk(k+1)!.
 
Exercice 10  2069    Correction  
  • (a)

    Calculer

    k=1pkk!.
  • (b)

    Soit p. Montrer que pour tout n0,(p+1)!-1, il existe un uplet (n0,n1,,np)p+1 tel que

    k0;p, 0nkk et n=k=0pnkk!.
  • (c)

    Justifier l’unicité d’une telle suite.

Solution

  • (a)

    En écrivant k=(k+1)-1

    k=1pkk!=k=1p(k+1)!-k!=(p+1)!-1.
  • (b)

    Par récurrence forte sur p0.
    Pour p=0: ok
    Supposons la propriété établie jusqu’au rang p0.
    Soit n0,(p+2)!-1.
    Réalisons la division euclidienne de n par (p+1)!: n=q(p+1)!+r avec 0r<(p+1)!.
    Puisque 0n<(p+2)! on a 0qp+1.
    Par hypothèse de récurrence, on peut écrire r=k=0pnkk! et en prenant np+1=q on a n=k=0p+1nkk!.
    Récurrence établie.

  • (c)

    Supposons n=k=0pnkk!=k=0pnkk! avec les conditions requises.
    Si np<np alors

    k=0pnkk!npp!+k=0p-1kk!=(np+1)p!-1<npp!k=0pnkk!.

    Ceci est absurde donc nécessairement npnp puis par symétrie np=np.
    On simplifie alors le terme npp! et l’on reprend le principe pour conclure à l’unicité.

 
Exercice 11  5012    Correction  

Soient n* et x. Montrer

k=0n|cos(kx)|2n+58.

Solution

Méthode: Il n’est pas possible d’exprimer simplement la somme. On minore celle-ci en employant l’inégalité |cos(t)|cos2(t).

Pour tout k0;n, on a cos(kx)[-1;1] et donc

|cos(kx)|cos2(kx).

En sommant ces inégalités, il vient

k=0n|cos(kx)|k=0ncos2(kx).

Méthode: On peut calculer la somme en second membre en linéarisant cos2(kx).

On sait cos(2a)=2cos2(a)-1 et donc cos2(kx)=12(1+cos(2kx)). On en déduit

k=0ncos2(kx)=12k=0n(1+cos(2kx))=n+12+12k=0ncos(2kx).

Cas: x0[π]. On a cos(2kx)=1 pour tout k0;n et donc

12k=0ncos(2kx)=n+12.

On a alors

k=0n|cos(kx)|n+12n+58

(ce que l’on peut aussi trouver par un calcul direct).

Cas: x0[π]. On peut calculer la somme des cos(2kx) comme cela a déjà été réalisé dans le sujet 2028 et l’on obtient

12k=0ncos(2kx)=12cos(nx)sin((n+1)x)sin(x).

On transforme l’expression en employant

sin(a)cos(b)=12(sin(a+b)+sin(a-b))

et on écrit

12k=0ncos(2kx)=sin((2n+1)x)+sin(x)4sin(x)=14sin((2n+1)x)sin(x)+14.

Étudions ensuite la fonction φ donnée par

φ(x)=sin((2n+1)x)sin(x)pour x0[π].

Celle-ci est π périodique et paire ce qui permet de limiter son étude sur ]0;π/2].

Soit x]0;π/2]. Si xπ/(2n+1), la valeur φ(x) est positive. Sinon, on a

sin(x)sin(π2n+1)

et l’inégalité sin((2n+1)x)-1 entraîne

φ(x)=sin((2n+1)x)sin(x)-1sin(x)-1sin(π2n+1).

On en déduit

12k=0ncos(2kx)14(1-1sin(π2n+1))

puis

k=0n|cos(kx)|n+12+14(1-1sin(π2n+1)).

Enfin, en employant l’inégalité

sin(x)2πxpour tout x[0;π/2]

on conclut

k=0n|cos(kx)|2n+58.
 
Exercice 12  4429    

Soit n*. Vérifier

k=1n(-1)k-1k(nk)=k=1n1k.

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Édité le 08-11-2019

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