Exercice 1 2075 Correction

Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies?

(a)

$\prod_{i = 1}^{n} (α a_{i}) = α \prod_{i = 1}^{n} a_{i}$
(b)

$\prod_{i = 1}^{n} (a_{i} b_{i}) = \prod_{i = 1}^{n} a_{i} \prod_{i = 1}^{n} b_{i}$
(c)

$\prod_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{i}) = \prod_{i = 1}^{n} a_{i} + \prod_{i = 1}^{n} b_{i}$ .

Solution

Seule la formule (b) est correcte.

Exercice 2 4416

Soit $n \in ℕ^{*}$ . Calculer les produits suivants:

(a)

$\prod_{k = 1}^{n} q^{k}$ avec $q \in ℂ$
(b)

$\prod_{k = 1}^{n} (1 + \frac{1}{k})$ .

Exercice 3 3498 Correction

Pour $n \in ℕ^{*}$ , simplifier

\prod_{k = 1}^{n} \frac{2 k + 3}{2 k - 1} .

Solution

Pour $n \geq 2$ , on a

\prod_{k = 1}^{n} \frac{2 k + 3}{2 k - 1} = \frac{(2 n + 3) (2 n + 1) (2 n - 1) \times \dots \times 5}{(2 n - 1) (2 n - 3) \times \dots \times 5 \times 3 \times 1}

puis après simplification

\prod_{k = 1}^{n} \frac{2 k + 3}{2 k - 1} = \frac{(2 n + 3) (2 n + 1)}{3}

et pour $n = 1$

\prod_{k = 1}^{n} \frac{2 k + 3}{2 k - 1} = 5

ce qui rend la formule précédente encore valable.

Exercice 4 2077 Correction

On désire calculer le produit

P (x) = \prod_{0 \leq k \leq n} \cos (2^{k} x)

pour tout $x \in ℝ$ .

(a)

Commencer par traiter le cas $x \equiv 0 [π]$ .
(b)

Pour $x ≢ 0 [π]$ , simplifier $\sin (x) P (x)$ et exprimer $P (x)$ .

Solution

(a)

Cas: $x \equiv 0 [2 π]$ . Tous les facteurs sont égaux à $1$ donc $P (x) = 1$ .

Cas: $x \equiv π [2 π]$ . Tous les facteurs sont égaux à $1$ sauf le premier qui vaut $- 1$ . On a donc $P (x) = - 1$ .
(b)

En exploitant successivement la formule $\sin (2 a) = 2 \sin (a) \cos (a)$

$\sin (x) P (x) = \sin (x) . \cos (x) . \cos (2 x) \dots \cos (2^{n} x) = \frac{1}{2^{n + 1}} \sin (2^{n + 1} x)$

donc

$P (x) = \frac{\sin (2^{n + 1} x)}{2^{n + 1} \sin (x)} .$

Exercice 5 2078

Soit $a \in ℝ$ . Pour $n \in ℕ$ , on pose

P_{n} = \prod_{k = 0}^{n} (1 + a^{2^{k}}) .

(a)

Calculer $P_{n}$ lorsque $a = 1$ .
(b)

On suppose $a \neq 1$ . Donner la valeur de $P_{n}$ en calculant $(1 - a) P_{n}$ .

Exercice 6 4428

Soient $n \in ℕ^{*}$ , $a_{1}, \dots, a_{n}$ des réels positifs et $s_{n} = a_{1} + \dots + a_{n}$ leur somme.

Vérifier

\prod_{k = 1}^{n} (1 + a_{k}) \leq \sum_{k = 0}^{n} \frac{s_{n}^{k}}{k!} .

Exercice 7 4964 X (PC)

Soit $A$ une partie finie de $ℂ$ telle que l’application $z \mapsto z^{2}$ réalise une bijection¹¹ 1 $A = {0,1, j, j^{2}}$ avec $j = e^{2 i π / 3}$ est un exemple parmi d’autres d’ensemble de cette forme. de $A$ vers $A$ . Montrer

\prod_{a \in A} (1 + a) = 1 ou 2 .

Produits