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Exercice 1  2075  Correction  

Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies?

  • (a)

    i=1n(αai)=αi=1nai

  • (b)

    i=1n(aibi)=i=1naii=1nbi

  • (c)

    i=1n(ai+bi)=i=1nai+i=1nbi.

Solution

Seule la formule (b) est correcte.

 
Exercice 2  4416  

Soit n*. Calculer les produits suivants:

  • (a)

    k=1nqk  avec q

  • (b)

    k=1n(1+1k).

 
Exercice 3  3498  Correction  

Pour n*, simplifier

k=1n2k+32k-1.

Solution

Pour n2, on a

k=1n2k+32k-1=(2n+3)(2n+1)(2n-1)××5(2n-1)(2n-3)××5×3×1

puis après simplification

k=1n2k+32k-1=(2n+3)(2n+1)3

et pour n=1

k=1n2k+32k-1=5

ce qui rend la formule précédente encore valable.

 
Exercice 4  2077   Correction  

On désire calculer le produit

P(x)=0kncos(2kx)

pour tout x.

  • (a)

    Commencer par traiter le cas x0[π].

  • (b)

    Pour x0[π], simplifier sin(x)P(x) et exprimer P(x).

Solution

  • (a)

    Cas: x0[2π]. Tous les facteurs sont égaux à 1 donc P(x)=1.

    Cas: xπ[2π]. Tous les facteurs sont égaux à 1 sauf le premier qui vaut -1. On a donc P(x)=-1.

  • (b)

    En exploitant successivement la formule sin(2a)=2sin(a)cos(a)

    sin(x)P(x)=sin(x).cos(x).cos(2x)cos(2nx)=12n+1sin(2n+1x)

    donc

    P(x)=sin(2n+1x)2n+1sin(x).
 
Exercice 5  2078  

Soit a. Pour n, on pose

Pn=k=0n(1+a2k).
  • (a)

    Calculer Pn lorsque a=1.

  • (b)

    On suppose a1. Donner la valeur de Pn en calculant (1-a)Pn.

 
Exercice 6  4428   

Soient n*, a1,,an des réels positifs et sn=a1++an leur somme.

Vérifier

k=1n(1+ak)k=0nsnkk!.
 
Exercice 7  4964      X (PC)

Soit A une partie finie de telle que l’application zz2 réalise une bijection11 1 A={0,1,j,j2} avec j=e2iπ/3 est un exemple parmi d’autres d’ensemble de cette forme. de A vers A. Montrer

aA(1+a)=1 ou 2.

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Édité le 08-11-2019

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