[<] Coefficients binomiaux

 
Exercice 1  4418  

Soit n. Calculer

k=0n2k(nk).
 
Exercice 2  2083  

Soit n*.

  • (a)

    Calculer

    k=0n(nk)etk=0n(-1)k(nk).
  • (b)

    En déduire les valeurs de

    An=p=0n2(n2p)etBn=p=0(n-1)2(n2p+1).
 
Exercice 3  4424  

Soit n. En considérant la fonction f:x(1+x)n, calculer

k=1nk(nk)etk=1nk2(nk).
 
Exercice 4  2088  Correction  

Développer (a+b+c)n.

Solution

Par la formule du binôme de Newton,

(a+b+c)n =k=0nan-k(b+c)k
=k=0n=0k(nk)(k)an-kbk-c

avec

(nk)(k)=n!(n-k)!(k-)!!.

On peut aussi exprimer

(a+b+c)n=i+j+k=nn!i!j!k!aibjck.
 
Exercice 5  4426   

Soit n avec n2. Calculer

A=p=0n3(n3p),B=p=0n-13(n3p+1)etC=p=0n-23(n3p+2).
 
Exercice 6  2085   

(Formule de Chu-Vandermonde)

Soient n, p et q trois entiers naturels vérifiant np+q.

En développant de deux manières (1+x)p+q, établir

k=0n(pk)(qn-k)=(p+qn).
 
Exercice 7  4425   

Soit n. Calculer

k=0n(nk)2etk=0n(-1)k(nk)2.
 
Exercice 8  2089   Correction  
  • (a)

    Soit n. Calculer

    k=0n(-1)k(nk).
  • (b)

    Soient k,,n tels que kn. Comparer

    (nk)(k)et(n)(n-k-).
  • (c)

    Soit (xn) une suite de réels. On pose

    k,yk==0k(k)x.

    Montrer que

    n,xn=k=0n(-1)n-k(nk)yk.

Solution

  • (a)

    Par la formule du binôme

    k=0n(-1)k(nk)=(1+(-1))n={1 si n=00 sinon.
  • (b)

    On a

    (nk)(kell)=n!k!(n-k)!k!!(k-)!=n!!(n-)!(n-)!(n-k)!(k-)!=(nell)(n-k-).
  • (c)

    On a

    k=0n(-1)n-k(nk)yk=k=0n=0k(-1)n-k(nk)(k)x==0nxk=n(-1)n-k(nk)(k).

    Or

    k=n(-1)n-k(nk)(k)=(-1)n-(n)k=n(-1)k-(n-k-)

    avec

    k=n(-1)k-(n-k-)={1 si =n0 sinon.

    Par suite,

    k=0n(-1)n-k(nk)yk=xn.

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Édité le 08-11-2019

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