Exercice 1 4418

Soit $n \in ℕ$ . Calculer

\sum_{k = 0}^{n} 2^{k} (\binom{n}{k}) .

Exercice 2 5730 Correction

Pour $n \in ℕ$ , calculer

\sum_{0 \leq p \leq q \leq n} (\binom{q}{p}) .

Solution

On organise le calcul en deux sommes emboîtées

\sum_{0 \leq p \leq q \leq n} (\binom{q}{p}) = \sum_{q = 0}^{n} \sum_{p = 0}^{q} (\binom{q}{p}) .

Pour $q \in ℕ$ , la formule du binôme de Newton donne

\sum_{p = 0}^{q} (\binom{q}{p}) = \sum_{p = 0}^{q} (\binom{q}{p}) 1^{p} \cdot 1^{q - p} = {(1 + 1)}^{q} .

On peut alors conclure par sommation géométrique

\sum_{0 \leq p \leq q \leq n} (\binom{q}{p}) = \sum_{q = 0}^{n} 2^{q} = \frac{2^{n + 1} - 1}{2 - 1} = 2^{n + 1} - 1 .

Exercice 3 2083

Soit $n \in ℕ^{*}$ .

(a)

Calculer

$\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) et \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} (\binom{n}{k}) .$
(b)

En déduire les valeurs de

$A_{n} = \sum_{p = 0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} (\binom{n}{2 p}) et B_{n} = \sum_{p = 0}^{⌊ \frac{(n - 1)}{2} ⌋} (\binom{n}{2 p + 1}) .$

Exercice 4 4424

Soit $n \in ℕ$ . En considérant la fonction $f : x \mapsto {(1 + x)}^{n}$ , calculer

\sum_{k = 1}^{n} k (\binom{n}{k}) et \sum_{k = 1}^{n} k^{2} (\binom{n}{k}) .

Exercice 5 2088 Correction

Développer ${(a + b + c)}^{n}$ .

Solution

Par la formule du binôme de Newton,

	${(a + b + c)}^{n}$	$= \sum_{k = 0}^{n} a^{n - k} {(b + c)}^{k}$
		$= \sum_{k = 0}^{n} \sum_{ℓ = 0}^{k} (\binom{n}{k}) (\binom{k}{ℓ}) a^{n - k} b^{k - ℓ} c^{ℓ}$

avec

(\binom{n}{k}) (\binom{k}{ℓ}) = \frac{n!}{(n - k)! (k - ℓ)! ℓ!} .

On peut aussi exprimer

{(a + b + c)}^{n} = \sum_{i + j + k = n} \frac{n!}{i! j! k!} a^{i} b^{j} c^{k} .

Exercice 6 4426

Soit $n \in ℕ$ avec $n \geq 2$ . Calculer

A = \sum_{p = 0}^{⌊ \frac{n}{3} ⌋} (\binom{n}{3 p}), B = \sum_{p = 0}^{⌊ \frac{n - 1}{3} ⌋} (\binom{n}{3 p + 1}) et C = \sum_{p = 0}^{⌊ \frac{n - 2}{3} ⌋} (\binom{n}{3 p + 2}) .

Exercice 7 2085

(Formule de Chu-Vandermonde)

Soient $n$ , $p$ et $q$ trois entiers naturels vérifiant $n \leq p + q$ .

En développant de deux manières ${(1 + x)}^{p + q}$ , établir

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{p}{k}) (\binom{q}{n - k}) = (\binom{p + q}{n}) .

Exercice 8 4425

Soit $n \in ℕ$ . Calculer

\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} et \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} {(\binom{n}{k})}^{2} .

Exercice 9 2089 Correction

(a)

Soit $n \in ℕ$ . Calculer

$\sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} (\binom{n}{k}) .$
(b)

Soient $k, ℓ, n \in ℕ$ tels que $ℓ \leq k \leq n$ . Comparer

$(\binom{n}{k}) (\binom{k}{ℓ}) et (\binom{n}{ℓ}) (\binom{n - ℓ}{k - ℓ}) .$
(c)

Soit $(x_{n})$ une suite de réels. On pose

$\forall k \in ℕ, y_{k} = \sum_{ℓ = 0}^{k} (\binom{k}{ℓ}) x_{ℓ} .$

Montrer que

$\forall n \in ℕ, x_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{n - k} (\binom{n}{k}) y_{k} .$

Solution

(a)

Par la formule du binôme

$\sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} (\binom{n}{k}) = {(1 + (- 1))}^{n} = {\begin{matrix} 1 & si n = 0 \\ 0 & sinon. \end{matrix}$
(b)

On a

$(\binom{n}{k}) (\binom{k}{ℓ}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} \frac{k!}{ℓ! (k - ℓ)!} = \frac{n!}{ℓ! (n - ℓ)!} \frac{(n - ℓ)!}{(n - k)! (k - ℓ)!} = (\binom{n}{ℓ}) (\binom{n - ℓ}{k - ℓ}) .$
(c)

On a

$\sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{n - k} (\binom{n}{k}) y_{k} = \sum_{k = 0}^{n} \sum_{ℓ = 0}^{k} {(- 1)}^{n - k} (\binom{n}{k}) (\binom{k}{ℓ}) x_{ℓ} = \sum_{ℓ = 0}^{n} x_{ℓ} \sum_{k = ℓ}^{n} {(- 1)}^{n - k} (\binom{n}{k}) (\binom{k}{ℓ}) .$

Or

$\sum_{k = ℓ}^{n} {(- 1)}^{n - k} (\binom{n}{k}) (\binom{k}{ℓ}) = {(- 1)}^{n - ℓ} (\binom{n}{ℓ}) \sum_{k = ℓ}^{n} {(- 1)}^{k - ℓ} (\binom{n - ℓ}{k - ℓ})$

avec

$\sum_{k = ℓ}^{n} {(- 1)}^{k - ℓ} (\binom{n - ℓ}{k - ℓ}) = {\begin{matrix} 1 & si ℓ = n \\ 0 & sinon. \end{matrix}$

Par suite,

$\sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{n - k} (\binom{n}{k}) y_{k} = x_{n} .$

Édité le 29-08-2023

Formule du binôme de Newton