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Exercice 1  2073  Correction  

À partir des valeurs connues de k=1nk, k=1nk2 et k=1nk3, calculer:

  • (a)

    1i,jn(i+j)2

  • (b)

    1i<jnij

Solution

  • (a)

    On développe

    1i,jn(i+j)2=i=1nj=1n(i2+2ij+j2)

    puis

    1i,jn(i+j)2=ni=1ni2+2i=1nj=1nij+nj=1nj2=n2(n+1)(7n+5)6.
  • (b)

    Il s’agit d’une somme triangulaire

    1i<jnij=i=1n-1j=i+1nij=i=1n-1(ij=i+1nj)

    puis

    1i<jnij=i=1n-1in+i+12(n-i)=n(n-1)(n+1)(3n+2)24.
 
Exercice 2  2074   Correction  

Soit n*. Calculer Cn=1p<qn(p+q) en remarquant

1p,qnp+q=2Cn+2p=1np.

Solution

Après réorganisation des termes

1p,qnp+q=2Cn+2p=1np.

Or

2p=1np=n(n+1)

et

p=1nq=1np+q=n2(n+1)

d’où

Cn=(n-1)n(n+1)2.
 
Exercice 3  4422    

Soit n*. Calculer

1i,jnmin(i,j).

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Édité le 08-11-2019

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