• (a)

  On développe

  $$\sum _{1\le i,j\le n}{(i+j)}^2=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\left(i^2+2ij+j^2\right)$$

  puis

  $$\sum _{1\le i,j\le n}{(i+j)}^2=n\sum _{i=1}^n{i}^2+2\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}ij+n\sum _{j=1}^n{j}^2=\frac{n^2(n+1)(7n+5)}{6}\text{.}$$

• (b)

  Il s’agit d’une somme triangulaire

  $$\sum _{1\le i<j\le n}ij=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}ij=\sum _{i=1}^{n-1}\left(i\sum _{j=i+1}^{n}j\right)$$

  puis

  $$\sum _{1\le i<j\le n}ij=\sum _{i=1}^{n-1}i\frac{n+i+1}{2}(n-i)=\frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{24}\text{.}$$

Après réorganisation des termes,

$$\sum _{1\le p,q\le n}(p+q)=2C_n+2\sum _{p=1}^{n}p\text{.}$$

Or

$$2\sum _{p=1}^{n}p=n(n+1)$$

et

$$\sum _{p=1}^n\left(\sum _{q=1}^n(p+q)\right)=n^2(n+1)$$

d’où

$$C_n=\frac{(n-1)n(n+1)}{2}\text{.}$$