• (a)

  On développe

  $$\sum _{1\le i,j\le n}{(i+j)}^2=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\left(i^2+2ij+j^2\right)$$

  puis

  $$\sum _{1\le i,j\le n}{(i+j)}^2=n\sum _{i=1}^n{i}^2+2\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}ij+n\sum _{j=1}^n{j}^2=\frac{n^2(n+1)(7n+5)}{6}\text{.}$$

• (b)

  Il s’agit d’une somme triangulaire

  $$\sum _{1\le i<j\le n}ij=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}ij=\sum _{i=1}^{n-1}\left(i\sum _{j=i+1}^{n}j\right)$$

  puis

  $$\sum _{1\le i<j\le n}ij=\sum _{i=1}^{n-1}i\frac{n+i+1}{2}(n-i)=\frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{24}\text{.}$$

Après réorganisation des termes,

Or

et

d’où