[<] Nombres premiers entre eux [>] Études arithmétiques

 
Exercice 1  2653    ENTPE

Soit p un nombre premier supérieur à 5. Montrer que p2-1 est divisible par 24.

 
Exercice 2  3209    ENTPECorrection  

Soient n2 et N la somme de n entiers impairs consécutifs. Montrer que N n’est pas un nombre premier.

Solution

Notons 2p+1 le premier nombre impair sommé. On a

N=k=0n-1(2k+2p+1)=n(n+2p)

avec n2 et n+2p2. Ainsi, N est composé.

 
Exercice 3  1219  Correction  

Montrer que les nombres suivants sont composés:

  • (a)

    4n3+6n2+4n+1 avec n*

  • (b)

    n4-n2+16 avec n.

Solution

  • (a)

    4n3+6n2+4n+1=(n+1)4-n4=((n+1)2-n2)((n+1)2+n2)=(2n+1)(2n2+2n+1).
    Cet entier est composé pour n* car 2n+12 et 2n2+2n+12.

  • (b)

    n4-n2+16=(n2+4)2-9n2=(n2-3n+4)(n2+3n+4).
    De plus, les équations n2-3n+4=0,1 ou -1 et n2+3n+4=0,1 ou -1 n’ont pas de solutions car toutes de discriminant négatif. Par conséquent, n4-n2+16 est composée.

 
Exercice 4  4402  

Soient p un nombre premier et a un entier. Montrer

paoup et a sont premiers entre eux.
 
Exercice 5  3623  Correction  

Soit n un naturel non nul. Montrer qu’il existe toujours un nombre premier strictement compris entre n et n!+2.

Solution

Considérons l’entier n!+1. Celui-ci est divisible par un nombre premier p inférieur à n!+1.
Si ce nombre premier p est aussi inférieur à n alors il divise n! (car apparaît comme l’un des facteurs de ce produit) et donc il divise aussi 1=(n!+1)-n!. Ceci est absurde et donc le nombre premier en question est au moins égal à n+1. Finalement, il est strictement compris entre n et n!+2.

 
Exercice 6  1224   Correction  

Justifier l’existence de 1 000 entiers consécutifs sans nombres premiers.

Solution

Considérons les xk=1 001!+k avec 2k1001. Ce sont 1 000 entiers consécutifs.
Pour tout 2k1001, on a k(1001)! donc kxk avec 2k<xk donc xk𝒫.

 
Exercice 7  2369     CENTRALE (MP)Correction  

On suppose que n est un entier 2 tel que 2n-1 est premier.
Montrer que n est nombre premier.

Solution

Si n=ab avec a,b* alors

2n-1=(2a-1)(1+2a++2a(b-1))

donc 2a-12n-1 d’où 2a-1=1 ou 2a-1=2n-1 ce qui implique a=1 ou a=n.
Ainsi n ne possède que des diviseurs triviaux, il est premier.

 
Exercice 8  1220   

Soient a et p deux entiers supérieurs à 2. Montrer que, si ap-1 est un nombre premier, alors a=2 et p est premier.

 
Exercice 9  2656     MINES (MP)Correction  

Soient des entiers a>1 et n>0.
Montrer que si an+1 est premier alors n est une puissance de 2.

Solution

On peut écrire

n=2k(2p+1).

On a alors

an+1=b2p+1-(-1)2p+1=(b-(-1))k=02pbk(-1)2p-k=(b+1)c

avec b=a2k.
On en déduit que b+1an+1, or an+1 est supposé premier et b+1>1 donc b+1=an+1 puis n=2k.

 
Exercice 10  3351     X (PC)Correction  

Soient a,b{0,1} et n*.
On suppose que an+bn est un nombre premier. Montrer que n est une puissance de 2.

Solution

On peut écrire n=2k(2p+1) avec k,p et l’enjeu est d’établir p=0.
Posons α=a2k et β=b2k. On a

an+bn=α2p+1+β2p+1=α2p+1-(-β2p+1).

On peut alors factoriser par α-(-β)=α+β et puisque an+bn est un nombre premier, on en déduit que α+β=1 ou α+β=an+bn. Puisque α,β1, le cas α+β=1 est à exclure et puisque αan et βbn, le cas α+β=an+bn entraîne

α=an et β=bn.

Puisque a2, l’égalité α=an=α2p+1 entraîne p=0 et finalement n est une puissance de 2.

 
Exercice 11  4403   

(Morphisme de Frobenius)

Soit p un nombre premier.

  • (a)

    Pour tout 1k<p, montrer que le coefficient binomial (pk) est un multiple de p.

  • (b)

    En déduire que, pour tous entiers a et b, (a+b)pap+bp[p].

 
Exercice 12  3682   Correction  

Soit n avec n2.

  • (a)

    On suppose que n est premier. Montrer

    k{2,,n-1},n divise (nk).
  • (b)

    Inversement, on suppose que n est composé. Montrer

    k{2,,n-1},n ne divise pas (nk).

Solution

  • (a)

    On suppose n premier. On sait

    (nk)=nk(n-1k-1)

    donc

    k(nk)=n(n-1k-1)

    ce qui permet d’affirmer que n divise l’entier k(nk). Or n est premier et donc premier avec k puisque k<n. Par le théorème de Gauss, on peut alors affirmer que n divise (nk).

  • (b)

    Supposons maintenant n composé. On peut introduire p un facteur premier de n avec p<n. Nous allons alors montrer que n ne divise par (np) ce qui permet de conclure.
    Par l’absurde, supposons que m=1n(np) soit un entier. On peut écrire

    (n-1)!=mp!(n-p)!

    Puisque p divise n, on peut aussi écrire n=pq avec q entier et donc

    (pq-1)!=mp!(p(q-1))!

    Dans les produits définissant (pq-1)! et (p(q-1))!, on retrouve les mêmes multiples de p, à savoir p,2p,(q-1)p. On peut donc écrire

    (pq-1)!=kaet(p(q-1))!=kb

    avec k regroupant le produit des multiples de p précédents et a et b non divisibles par p.

    La relation initiale se simplifie alors pour donner

    a=mp!b

    ce qui entraîne que a est divisible par p. C’est absurde!

 
Exercice 13  2654      MINES (MP)

Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n-1 avec n entier.

 
Exercice 14  2657      MINES (MP)

(Nombres de Fermat)

Pour n, on introduit Fn=22n+1.

  • (a)

    On suppose n et m sont deux entiers naturels distincts. Montrer FnFm=1.

  • (b)

    Exploiter cette propriété afin de retrouver le théorème d’Euclide affirmant l’existence d’une infinité de nombres premiers.

[<] Nombres premiers entre eux [>] Études arithmétiques



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax