[<] Nombres premiers entre eux [>] Études arithmétiques
Soit un nombre premier supérieur à .
Montrer que est divisible par .
Soient et la somme de entiers impairs consécutifs. Montrer que n’est pas un nombre premier.
Solution
Notons le premier nombre impair sommé. On a
avec et . Ainsi, est composé.
Montrer que les nombres suivants sont composés:
avec
avec .
Solution
.
Cet entier est composé pour car et .
.
De plus, les équations n’ont pas de solutions car toutes de discriminant négatif. Par conséquent, est composée.
Soient un nombre premier et un entier. Montrer
Soit un naturel non nul. Montrer qu’il existe toujours un nombre premier strictement compris entre et .
Solution
Considérons l’entier . Celui-ci est divisible par un nombre premier inférieur à .
Si ce nombre premier est aussi inférieur à alors il divise (car apparaît comme l’un des facteurs de ce produit) et donc il divise aussi . Ceci est absurde et donc le nombre premier en question est au moins égal à . Finalement, il est strictement compris entre et .
Justifier l’existence de entiers consécutifs sans nombres premiers.
Solution
Considérons les avec . Ce sont entiers consécutifs.
Pour tout , on a donc avec donc .
On suppose que est un entier tel que est premier.
Montrer que est nombre premier.
Solution
Supposons avec . On a alors
On a . On en déduit ou ce qui implique ou .
Ainsi, ne possède que des diviseurs triviaux, il s’agit d’un nombre premier.
Soient et deux nombres entiers supérieurs à . Montrer que, si est un nombre premier, alors et est premier.
Soient des entiers et .
Montrer que si est premier alors est une puissance de 2.
Solution
On peut écrire
On a alors
avec .
On en déduit que , or est supposé premier et donc puis .
Soient et .
On suppose que est un nombre premier. Montrer que est une puissance de 2.
Solution
On peut écrire avec et l’enjeu est d’établir .
Posons et . On a
On peut alors factoriser par et puisque est un nombre premier, on en déduit que ou . Puisque , le cas est à exclure et puisque et , le cas entraîne
Puisque , l’égalité entraîne et finalement est une puissance de 2.
(Morphisme de Frobenius)
Soit un nombre premier.
Pour tout , montrer que le coefficient binomial est un multiple de .
En déduire que pour tous entiers et , .
Soit avec .
On suppose que est premier. Montrer
Inversement, on suppose que est composé. Montrer
Solution
On suppose premier. On sait
donc
ce qui permet d’affirmer que divise l’entier . Or est premier et donc premier avec puisque . Par le théorème de Gauss, on peut alors affirmer que divise .
Supposons maintenant composé. On peut introduire un facteur premier de avec . Nous allons alors montrer que ne divise par ce qui permet de conclure.
Par l’absurde, supposons que soit un entier. On peut écrire
Puisque divise , on peut aussi écrire avec entier et donc
Dans les produits définissant et , on retrouve les mêmes multiples de , à savoir . On peut donc écrire
avec regroupant le produit des multiples de précédents et et non divisibles par .
La relation initiale se simplifie alors pour donner
ce qui entraîne que est divisible par . C’est absurde!
Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme avec entier.
(Nombres de Fermat)
Pour , on introduit .
On suppose et sont deux entiers naturels distincts. Montrer .
Exploiter cette propriété afin de retrouver le théorème d’Euclide affirmant l’existence d’une infinité de nombres premiers.
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Édité le 29-08-2023
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