Soit un nombre premier.
Montrer
En déduire que
Solution
On a
donc
Par suite, .
Or est premier et donc puis en vertu du théorème de Gauss.
Par récurrence finie sur
Pour : ok
Supposons la propriété établie au rang
Par la formule du binôme
car pour .
Récurrence établie.
Pour tout , il existe tel que et
Soit un entier. On suppose
Montrer que est un nombre premier
Solution
Pour tout , est premier avec . En effet, un diviseur commun à et est diviseur de et donc de 1.
On en déduit que est premier puisque premier avec chaque naturel strictement inférieur à lui-même.
(Nombres de Carmichael)
Soit un entier supérieur à 2.
On suppose que pour tout facteur premier de , ne divise pas mais divise .
Établir
Solution
Par hypothèse, on peut écrire avec nombres premiers deux à deux distincts.
Soit . Considérons .
Si ne divise pas , le petit théorème de Fermat assure .
Puisque divise , on a encore et donc
Si divise alors divise aussi et donc .
Enfin, chaque divisant et les étant deux à deux premiers entre eux, divise et finalement .
La réciproque de ce résultat est vraie.
Ce résultat montre que le petit théorème de Fermat ne caractérise pas les nombres premiers. Les nombres non premiers satisfaisant le petit théorème de Fermat, sont les nombres de Carmichael. Le plus petit d’entre eux est 561, le suivant 1105.
On désire établir qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme . Pour cela, on raisonne par l’absurde et l’on suppose que ceux-ci sont en nombre fini. On pose le produit de ceux-ci et l’on introduit
On suppose qu’il existe un facteur premier de de la forme . Établir
Conclure en exploitant le petit théorème de Fermat.
Édité le 29-08-2023
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