[<] Valuation p-adique

 
Exercice 1  1222  Correction  

Soit p un nombre premier.

  • (a)

    Montrer

    k{1,2,,p-1},p(pk).
  • (b)

    En déduire que

    n,npn[p].

Solution

  • (a)

    On a

    (pk)=pk(p-1k-1)

    donc

    k(pk)=p(p-1k-1).

    Par suite, pk(pk).
    Or p est premier et k<p donc kp=1 puis p(pk) en vertu du théorème de Gauss.

  • (b)

    Par récurrence finie sur n{0,1,,p-1}
    Pour n=0: ok
    Supposons la propriété établie au rang n{0,1,,p-2}
    Par la formule du binôme

    (n+1)p=np+k=1p-1(pk)nk+1n+1[p]

    car pour 1kp-1.

    (pk)0[p].

    Récurrence établie.
    Pour tout n, il existe r{0,1,,p-1} tel que nr[p] et

    nprprn[p].
 
Exercice 2  3636  Correction  

Soit n2 un entier. On suppose

a{1,,n-1},an-11[n].

Montrer que n est un nombre premier

Solution

Pour tout a{1,,n-1}, a est premier avec n. En effet, un diviseur commun à a et n est diviseur de an-1-1 et donc de 1.
On en déduit que n est premier puisque premier avec chaque naturel strictement inférieur à lui-même.

 
Exercice 3  204   Correction  

(Nombres de Carmichael)

Soit n un entier supérieur à 2.
On suppose que n pour tout facteur premier p de n, p2 ne divise pas n mais p-1 divise n-1.
Établir

a,ana[n].

Solution

Par hypothèse, on peut écrire n=p1p2pr avec p1,,pr nombres premiers deux à deux distincts.
Soit a. Considérons i{1,,r}.
Si pi ne divise pas a, le petit théorème de Fermat assure api-11[pi].
Puisque pi-1 divise n-1, on a encore an-11[pi] et donc ana[pi]
Si pi divise a alors pi divise aussi an et donc an0a[pi].
Enfin, chaque pi divisant an-a et les pi étant deux à deux premiers entre eux, n=p1pr divise an-a et finalement ana[n].
La réciproque de ce résultat est vraie.
Ce résultat montre que le petit théorème de Fermat ne caractérise pas les nombres premiers. Les nombres non premiers satisfaisant le petit théorème de Fermat, sont les nombres de Carmichael. Le plus petit d’entre eux est 561, le suivant 1105.

 
Exercice 4  3686    

On désire établir qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+1. Pour cela on raisonne par l’absurde et l’on suppose que ceux-ci sont en nombre fini. On pose N le produit de ceux-ci et l’on introduit

M=(2N)2+1.
  • (a)

    On suppose qu’il existe un facteur premier q de M de la forme 4n+3. Établir

    (2N)q-1-1[q].
  • (b)

    Conclure en exploitant le petit théorème de Fermat.

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Édité le 08-11-2019

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