[>] Division euclidienne

 
Exercice 1  4396  

Soit n. Établir les divisibilités suivantes:

  • (a)

    65n3+n

  • (b)

    522n+1+32n+1

  • (c)

    94n-1+6n.

 
Exercice 2  2358    CENTRALE (MP)Correction  

Pour n*, on désigne par N le nombre de diviseurs positifs de n et par P leur produit. Quelle relation existe-t-il entre n, N et P?

Solution

En associant dans P2=P×P chaque diviseur d avec celui qui lui est conjugué n/d, on obtient un produit de N termes égaux à n. Ainsi,

P2=nN.
 
Exercice 3  4404   

Déterminer les x tels que

  • (a)

    (x-2)(x+2)

  • (b)

    (x-1)(x2+x+1).

 
Exercice 4  1187   Correction  

Résoudre dans les équations suivantes:

  • (a)

    x-1x+3

  • (b)

    x+2x2+2.

Solution

  • (a)

    x=1 n’est pas solution. Pour x1,

    x-1x+3 x+3x-1=1+4x-1
    x-1𝒟(4)={1,2,4,-1,-2,-4}

    Ainsi,

    𝒮={2,3,5,0,-1,-3}.
  • (b)

    x=-2 n’est pas solution. Pour x-2,

    x+2x2+2 x2+2x+2=x-2+6x+2
    x+2𝒟(6)={1,2,3,6,-1,-2,-3,-6}.

    Ainsi,

    𝒮={-1,0,1,4,-3,-4,-5,-8}.
 
Exercice 5  4397   

(Équations diophantiennes)

Déterminer les couples (x,y)2 vérifiant

  • (a)

    xy=3x+y+2

  • (b)

    x2-6x-y2-2y=4.

 
Exercice 6  1188   Correction  

Résoudre dans 2 les équations suivantes:

  • (a)

    xy=3x+2y

  • (b)

    1x+1y=15

  • (c)

    x2-y2-4x-2y=5

Solution

  • (a)

    On a

    xy=3x+2y(x-2)(y-3)=6.

    En détaillant les diviseurs de 6 possibles, on obtient

    𝒮={(3,9),(4,6),(5,5),(8,4),(1,-3),(0,0),(-1,1),(-4,2)}.
  • (b)

    Pour x,y*,

    1x+1y=155x+5y=xy(x-5)(y-5)=25.

    En détaillant les diviseurs de 25 possibles, on obtient

    𝒮={(6,30),(10,10),(30,6),(4,-20),(-20,4)}.
  • (c)

    On a

    x2-y2-4x-2y=5(x-2)2-(y+1)2=8

    et donc

    x2-y2-4x-2y=5(x-y-3)(x+y-1)=8.

    En détaillant les diviseurs de 8 possibles et sachant

    {x-y-3=ax+y-1=b{x=a+b2+2y=b-a2-1

    on obtient

    𝒮={(5,0),(5,-2),(-1,0),(-1,-2)}.
 
Exercice 7  155   

Soit A un ensemble de n+12 entiers distincts tous inférieurs ou égaux à 2n.
Montrer qu’il existe deux éléments de A tels que l’un divise l’autre.

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Édité le 08-11-2019

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