Exercice 1 4396

Soit $n \in ℕ$ . Établir les divisibilités suivantes:

(a)

$6 ∣ 5 n^{3} + n$
(b)

$5 ∣ 2^{2 n + 1} + 3^{2 n + 1}$
(c)

$9 ∣ 4^{n} - 1 + 6 n$ .

Exercice 2 2358 CENTRALE (MP)Correction

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on désigne par $N$ le nombre de diviseurs positifs de $n$ et par $P$ leur produit. Quelle relation existe-t-il entre $n$ , $N$ et $P$ ?

Solution

En associant dans $P^{2} = P \times P$ chaque diviseur $d$ avec celui qui lui est conjugué $n / d$ , on obtient un produit de $N$ termes égaux à $n$ . Ainsi,

P^{2} = n^{N} .

Exercice 3 4404

Déterminer les $x \in ℤ$ tels que:

(a)

$(x - 2) ∣ (x + 2)$
(b)

$(x - 1) ∣ (x^{2} + x + 1)$ .

Exercice 4 1187 Correction

Résoudre dans $ℤ$ les équations suivantes:

(a)

$x - 1 ∣ x + 3$
(b)

$x + 2 ∣ x^{2} + 2$ .

Solution

(a)

$x = 1$ n’est pas solution. Pour $x \neq 1$ ,

$x - 1 ∣ x + 3$ $\Leftrightarrow \frac{x + 3}{x - 1} = 1 + \frac{4}{x - 1} \in ℤ$

$\Leftrightarrow x - 1 \in 𝒟 (4) = {1,2,4, - 1, - 2, - 4} .$

Ainsi,

$𝒮 = {2,3,5,0, - 1, - 3} .$
(b)

$x = - 2$ n’est pas solution. Pour $x \neq - 2$ ,

$x + 2 ∣ x^{2} + 2$ $\Leftrightarrow \frac{x^{2} + 2}{x + 2} = x - 2 + \frac{6}{x + 2} \in ℤ$

$\Leftrightarrow x + 2 \in 𝒟 (6) = {1,2,3,6, - 1, - 2, - 3, - 6} .$

Ainsi,

$𝒮 = {- 1,0,1,4, - 3, - 4, - 5, - 8} .$

Exercice 5 4397

(Équations diophantiennes)

Déterminer les couples $(x, y) \in ℤ^{2}$ vérifiant:

(a)

$x y = 3 x + y + 2$
(b)

$x^{2} - 6 x - y^{2} - 2 y = 4$ .

Exercice 6 1188 Correction

Résoudre dans $ℤ^{2}$ les équations suivantes:

(a)

$x y = 3 x + 2 y$
(b)

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$
(c)

$x^{2} - y^{2} - 4 x - 2 y = 5$

Solution

(a)

On a

$x y = 3 x + 2 y \Leftrightarrow (x - 2) (y - 3) = 6 .$

En détaillant les diviseurs de 6 possibles, on obtient

$𝒮 = {(3,9), (4,6), (5,5), (8,4), (1, - 3), (0,0), (- 1,1), (- 4,2)} .$
(b)

Pour $x, y \in ℤ^{*}$ ,

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow 5 x + 5 y = x y \Leftrightarrow (x - 5) (y - 5) = 25 .$

En détaillant les diviseurs de 25 possibles, on obtient

$𝒮 = {(6,30), (10,10), (30,6), (4, - 20), (- 20,4)} .$
(c)

On a

$x^{2} - y^{2} - 4 x - 2 y = 5 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} - {(y + 1)}^{2} = 8$

et donc

$x^{2} - y^{2} - 4 x - 2 y = 5 \Leftrightarrow (x - y - 3) (x + y - 1) = 8 .$

En détaillant les diviseurs de 8 possibles et sachant

${\begin{matrix} x - y - 3 & = a \\ x + y - 1 & = b \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x & = \frac{a + b}{2} + 2 \\ y & = \frac{b - a}{2} - 1 \end{matrix}$

on obtient

$𝒮 = {(5,0), (5, - 2), (- 1,0), (- 1, - 2)} .$

Exercice 7 155

Soit $A$ un ensemble de $n + 1 \geq 2$ entiers distincts tous inférieurs ou égaux à $2 n$ .
Montrer qu’il existe deux éléments de $A$ tels que l’un divise l’autre.

Exercice 8 5964 CENTRALE (MP)Correction

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on note $τ (n)$ le nombre de diviseurs positifs de $n$ et $σ (n)$ la somme de ceux-ci.

(a)

Coder une fonction qui donne $σ (n)$ et une autre qui donne $τ (n)$ .
(b)

Déterminer $n \geq 2$ tel que $σ (τ (n)) = n$ .
(c)

Tracer $n \mapsto σ (τ (n))$ et $n \mapsto 2^{5 / 2} n^{3 / 4}$ et conjecturer une inégalité.
(d)

Montrer $τ (n) \leq 2 \sqrt{n}$ .
(e)

Démontrer la conjecture de la question (c).
(f)

En déduire les points fixes de $σ \circ τ$ .
(g)

De même trouver les points fixes de $τ \circ σ$ .

On considère la série

\sum_{n \geq 1} \frac{τ^{2} (n)}{n^{3}} .

(h)

Montrer que cette série converge et donner une valeur approchée de $S$ à $10^{- 3}$ près.

Solution

(a)

On parcourt les entiers allant de $1$ à $n$ et l’on cumule les diviseurs de $n$ .

def s(n):
    res = 0
    for d in range(1, n+1):
        if n % d == 0:
            res += d
    return res

def t(n):
    res = 0
    for d in range(1, n+1):
        if n % d == 0:
            res += 1
    return res

(b)
À l’aide d’une boucle while, on recherche $n$ convenable.
```
n = 2
while s(t(n)) != n:
    n += 1
print(n)
```
On obtient $n = 3$ .

(c)

On représente les deux courbes


import matplotlib.pyplot as plt

N = list(range(1, 21))
plt.plot(N, [s(t(n)) for n in N])
plt.plot(N, [2**(5/2)*n**(3/4) for n in N])
plt.show()

On observe $σ (τ (n)) \leq 2^{5 / 2} n^{3 / 4}$ .

(d)

Les diviseurs $d$ de $n$ vont par paires $(d, n / d)$ et l’un des deux entiers est assurément inférieur à $\sqrt{n}$ . Il y a au plus $\sqrt{n}$ paires $(d, n / d)$ avec $d \leq n / d$ . Il y a donc au plus $2 \sqrt{n}$ diviseurs positifs de $n$ .
(e)

Il y a au plus $2 \sqrt{n}$ diviseurs de $n$ tous inférieurs à $n$ donc

$σ (n) \leq 2 \sqrt{n} \cdot n = 2 n^{3 / 2} .$

On en déduit

$σ (τ (n)) \leq 2 τ {(n)}^{3 / 2} \leq 2 \cdot 2^{3 / 2} \cdot n^{3 / 4} = 2^{5 / 2} \cdot n^{3 / 4} .$
(f)

Pour $n > 2^{10}$ ,

$n^{1 / 4} > 2^{5 / 2} donc n > 2^{5 / 2} \cdot n^{3 / 4} > σ (τ (n)) .$

Il n’y a donc pas de points fixes à $σ \circ τ$ en dehors de $⟦ 1; 1024 ⟧$
Il suffit de rechercher les solutions dans cet intervalle pour conclure.
```
n = 2
while n <= 1024:
    if s(t(n)) == n:
        print(n)
    n += 1
```
On obtient les valeurs $3$ , $4$ et $12$ .
(g)

On a

$τ (σ (n)) \leq 2 \sqrt{σ (n)} \leq 2 \cdot 2^{1 / 2} \cdot n^{3 / 4} = 2^{3 / 2} \cdot n^{3 / 4} .$

Cette fois-ci, les solutions figurent nécessairement dans $⟦ 1; 2^{6} ⟧$ . On obtient les valeurs $2$ , $3$ et $6$ .
(h)

On a

$0 \leq \frac{τ^{2} (n)}{n^{3}} \leq \frac{4 n}{n^{3}} = \frac{4}{n^{2}} .$

Par comparaison de séries à termes positifs, la série étudiée converge.
Le reste de rang $n$ de cette série vérifie

$0 \leq R_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{τ^{2} (k)}{k^{3}} \leq 4 \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{k^{2}} \leq 4 \int_{n}^{+ \infty} \frac{d t}{t^{2}} = \frac{4}{n} .$

Pour $n$ vérifiant $4 / n \leq 0.5 \cdot 10^{- 3}$ (par exemple $n = 8 000$ ), une valeur décimale approchée de $S_{n}$ à $10^{- 3}$ près répond à la question.
```
def S(n):
    res = 0
    for i in range(1, n+1):
        res += t(i)**2 / i**3
    return res

print(S(8000))
```
On obtient $S = 2, 052$ à $10^{- 3}$ près.

[>] Division euclidienne

Édité le 18-06-2024

	$x - 1 ∣ x + 3$	$\Leftrightarrow \frac{x + 3}{x - 1} = 1 + \frac{4}{x - 1} \in ℤ$
		$\Leftrightarrow x - 1 \in 𝒟 (4) = {1,2,4, - 1, - 2, - 4} .$

	$x + 2 ∣ x^{2} + 2$	$\Leftrightarrow \frac{x^{2} + 2}{x + 2} = x - 2 + \frac{6}{x + 2} \in ℤ$
		$\Leftrightarrow x + 2 \in 𝒟 (6) = {1,2,3,6, - 1, - 2, - 3, - 6} .$

Divisibilité