Soient $a\in \mathbb{Z}$ et $b\in {\mathbb{N}}^{*}$, on note $q$ le quotient de la division euclidienne de $a-1$ par $b$.
Déterminer pour tout $n\in \mathbb{N}$, le quotient de la division euclidienne de $(a{b}^n-1)$ par $b^{n+1}$.

(Développement factoriel d’un entier)

• (a)

  Montrer que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, il existe $p\in {\mathbb{N}}^{*}$ et $(a_1,a_2,\mathrm{\dots },a_p)\in {\mathbb{N}}^p$ tels que

  $$n=\sum _{k=1}^p{a}_k\cdot k!\text{ avec }0\le a_k\le k\text{ et }{a}_p\ne 0\text{.}$$

• (b)

  Vérifier l’unicité de cette écriture.