Exercice 1 1190 Correction

Montrer que $11 ∣ 2^{123} + 3^{121}$ .

Solution

$2^{5} = - 1 [11]$ donc $2^{10} = 1 [11]$ puis $2^{123} = 2^{120} \times 2^{3} = {(2^{10})}^{12} \times 8 = 1 \times 8 = 8 [11]$ .
$3^{5} = 1 [11]$ donc $3^{121} = 3^{120} \times 3 = {(3^{5})}^{24} \times 3 = 1 \times 3 = 3 [11]$ .
Ainsi $2^{123} + 3^{121} = 8 + 3 = 0 [11]$ et donc $11 ∣ 2^{123} + 3^{121}$ .

Exercice 2 1191 Correction

Quel est le reste de la division euclidienne de $1234^{4321} + 4321^{1234}$ par 7?

Solution

$1234 = 2 [7]$ et $2^{3} = 1 [7]$ donc $1234^{4321} = 2^{4321} = 2^{4320} \times 2 = 1 \times 2 = 2 [7]$ .
$4321 = 2 [7]$ donc $4321^{1234} = 2^{1234} = 2^{1233} \times 2 = 1 \times 2 = 2 [7]$ .
Par suite, $1234^{4321} + 4321^{1234} = 2 + 2 = 4 [7]$ . Le reste cherché est 4.

Exercice 3 1193 Correction

Trouver les entiers $n \in ℤ$ tel que $10 ∣ n^{2} + {(n + 1)}^{2} + {(n + 3)}^{2}$ .

Solution

On a

\begin{matrix} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ n^{2} + {(n + 1)}^{2} + {(n + 3)}^{2} & 0 & 1 & 8 & 1 & 0 & 5 & 6 & 3 & 6 & 5 \end{matrix}

donc $10 ∣ n^{2} + {(n + 1)}^{2} + {(n + 3)}^{2} \Leftrightarrow n = 0$ ou $4 [10]$ .

Exercice 4 1192 Correction

Montrer que pour tout $n \in ℕ$ :

(a)

$6 ∣ 5 n^{3} + n$
(b)

$7 ∣ 3^{2 n + 1} + 2^{n + 2}$
(c)

$5 ∣ 2^{2 n + 1} + 3^{2 n + 1}$
(d)

$11 ∣ 3^{8 n} \times 5^{4} + 5^{6 n} \times 7^{3}$
(e)

$9 ∣ 4^{n} - 1 - 3 n$
(f)

$15^{2} ∣ 16^{n} - 1 - 15 n$

Solution

(a)

Pour $n = 0,1,2,3,4,5$ on a $n^{3} = n [6]$ donc $5 n^{3} + n = 6 n = 0 [6]$ .
(b)

$3^{2 n + 1} + 2^{n + 2} = 3 . {(3^{2})}^{n} + {4.2}^{n} = {3.2}^{n} + {4.2}^{n} = {7.2}^{n} = 0 [7]$ .
(c)

$2^{2 n + 1} + 3^{2 n + 1} = 2 . {(2^{2})}^{n} + 3 . {(3^{2})}^{n} = {2.4}^{n} + {3.4}^{n} = {5.4}^{n} = 0 [5]$ .
(d)

$3^{8 n} \times 5^{4} + 5^{6 n} \times 7^{3} = 5^{n} \times 9 + 5^{n} \times 2 = 11 \times 5^{n} = 0 [11]$ .
(e)

$4^{n} - 1 - 3 n = (4 - 1) (1 + 4 + \dots + 4^{n - 1}) - 3 n = 3 (1 + 4 + \dots + 4^{n - 1} - n)$
or $1 + 4 + \dots + 4^{n - 1} - n = 1 + \dots + 1 - n = n - n = 0 [3]$ donc $9 ∣ 4^{n} - 1 - 3 n$ .
(f)

$16^{n} - 1 - 15 n = (16 - 1) (1 + 16 + \dots + 16^{n - 1}) - 15 n = 15 (1 + 16 + \dots + 16^{n - 1} - n)$
or $1 + 16 + \dots + 16^{n - 1} - n = 1 + \dots + 1 - n = n - n = 0 [15]$ donc $15^{2} ∣ 16^{n} - 1 - 15 n$ .

Exercice 5 3679 Correction

Montrer que si $n$ est entier impair alors

n^{2} \equiv 1 [8] .

Solution

On peut écrire $n = 2 p + 1$ et alors

n^{2} = {(2 p + 1)}^{2} = 4 p (p + 1) + 1 .

Puisque l’un des facteurs de $p (p + 1)$ est pair, le produit $4 p (p + 1)$ est multiple de 8 et donc

4 p (p + 1) + 1 \equiv 1 [8] .

Exercice 6 1194

Soient $x$ et $y$ deux entiers. Montrer

7 ∣ x et 7 ∣ y \Leftrightarrow 7 ∣ x^{2} + y^{2} .

Exercice 7 3680 Correction

Soient $λ, a, b \in ℤ$ et $m \in ℕ^{*}$ . On suppose $λ$ et $m$ premiers entre eux. Montrer

a \equiv b [m] \Leftrightarrow λ a \equiv λ b [m] .

Solution

$(⟹)$ Si $a \equiv b [m]$ alors $m$ divise $b - a$ et divise a fortiori $λ b - λ a = λ (b - a)$ .
$(⟸)$ Si $λ a \equiv λ b [m]$ alors $m$ divise $λ (b - a)$ . Or $m$ et $λ$ sont supposés premiers entre eux donc, en vertu du théorème de Gauss, $m$ divise $b - a$ .

Exercice 8 2359 CENTRALE (MP)Correction

Soient $A$ la somme des chiffres de $4444^{4444}$ , $B$ celle de $A$ et enfin $C$ celle de $B$ .

Que vaut $C$ ?

Solution

Posons $x = 4444^{4444}$ , $4444 \equiv 7 [9]$ , $7^{3} \equiv 1 [9]$ donc $4444^{4444} \equiv 7 [9]$ .

Sachant $x < 10^{5 \times 4444}$ , on a $A \leq 9 \times 5 \times 4444 = 199980$ , $B \leq 9 \times 5 + 1 = 46$ puis $C \leq 4 + 9 = 13$ . Or $C \equiv B \equiv A \equiv x [9]$ donc $C = 7$ .

Calculs en congruence