[<] Division euclidienne [>] PGCD et PPCM

 
Exercice 1  1190  Correction  

Montrer que 112123+3121.

Solution

25=-1[11] donc 210=1[11] puis 2123=2120×23=(210)12×8=1×8=8[11].
35=1[11] donc 3121=3120×3=(35)24×3=1×3=3[11].
Ainsi 2123+3121=8+3=0[11] et donc 112123+3121.

 
Exercice 2  1191  Correction  

Quel est le reste de la division euclidienne de 12344321+43211234 par 7?

Solution

1234=2[7] et 23=1[7] donc 12344321=24321=24320×2=1×2=2[7].
4321=2[7] donc 43211234=21234=21233×2=1×2=2[7].
Par suite, 12344321+43211234=2+2=4[7]. Le reste cherché est 4.

 
Exercice 3  1193  Correction  

Trouver les entiers n tel que 10n2+(n+1)2+(n+3)2.

Solution

On a

n0123456789n2+(n+1)2+(n+3)20181056365

donc 10n2+(n+1)2+(n+3)2n=0 ou 4[10].

 
Exercice 4  1192   Correction  

Montrer que pour tout n:

  • (a)

    65n3+n

  • (b)

    732n+1+2n+2

  • (c)

    522n+1+32n+1

  • (d)

    1138n×54+56n×73

  • (e)

    94n-1-3n

  • (f)

    15216n-1-15n

Solution

  • (a)

    Pour n=0,1,2,3,4,5 on a n3=n[6] donc 5n3+n=6n=0[6].

  • (b)

    32n+1+2n+2=3.(32)n+4.2n=3.2n+4.2n=7.2n=0[7].

  • (c)

    22n+1+32n+1=2.(22)n+3.(32)n=2.4n+3.4n=5.4n=0[5].

  • (d)

    38n×54+56n×73=5n×9+5n×2=11×5n=0[11].

  • (e)

    4n-1-3n=(4-1)(1+4++4n-1)-3n=3(1+4++4n-1-n)
    or 1+4++4n-1-n=1++1-n=n-n=0[3] donc 94n-1-3n.

  • (f)

    16n-1-15n=(16-1)(1+16++16n-1)-15n=15(1+16++16n-1-n)
    or 1+16++16n-1-n=1++1-n=n-n=0[15] donc 15216n-1-15n.

 
Exercice 5  3679  Correction  

Montrer que si n est entier impair alors

n21[8].

Solution

On peut écrire n=2p+1 et alors

n2=(2p+1)2=4p(p+1)+1.

Puisque l’un des facteurs de p(p+1) est pair, le produit 4p(p+1) est multiple de 8 et donc

4p(p+1)+11[8].
 
Exercice 6  1194   

Soient x et y deux entiers. Montrer

7x et 7y7x2+y2.
 
Exercice 7  3680   Correction  

Soient λ,a,b et m*. On suppose λ et m premiers entre eux. Montrer

ab[m]λaλb[m].

Solution

() Si ab[m] alors m divise b-a et divise a fortiori λb-λa=λ(b-a).
() Si λaλb[m] alors m divise λ(b-a). Or m et λ sont supposés premiers entre eux donc, en vertu du théorème de Gauss, m divise b-a.

 
Exercice 8  2359     CENTRALE (MP)Correction  

Soient A la somme des chiffres de 44444444, B celle de A et enfin C celle de B.

Que vaut C?

Solution

Posons x=44444444, 44447[9], 731[9] donc 444444447[9].

Sachant x<105×4444, on a A9×5×4444=199980, B9×5+1=46 puis C4+9=13. Or CBAx[9] donc C=7.

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Édité le 08-11-2019

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