Exercice 1 1211

Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs. Montrer

a ∣ b \Leftrightarrow a^{2} ∣ b^{2} .

Exercice 2 1225 Correction

Soit $n \in ℕ$ . Montrer

\sqrt{n} \in ℚ \Leftrightarrow \exists m \in ℕ, n = m^{2} .

En déduire que $\sqrt{2} \notin ℚ$ et $\sqrt{3} \notin ℚ$

Solution

$(⟸)$ C’est immédiat.

$(⟹)$ Si $\sqrt{n} \in ℚ$ alors on peut écrire $\sqrt{n} = \frac{p}{q} avec p \land q = 1$ .
On a alors $q^{2} n = p^{2}$ donc $n ∣ p^{2}$
De plus, $q^{2} n = p^{2}$ et $p^{2} \land q^{2} = 1$ donne $p^{2} ∣ n$ .
Par double divisibilité $n = p^{2}$ .
ni 2, ni 3 ne sont des carrés d’un entier, donc $\sqrt{2} \notin ℚ$ et $\sqrt{3} \notin ℚ$ .

Exercice 3 4406

Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls premiers entre eux.

(a)

Soit $x$ un nombre rationnel. On suppose que $x^{n}$ est entier, montrer que $x$ est entier.
(b)

Soient $a$ et $b$ deux entiers non nuls tels que $a^{m} = b^{n}$ . Montrer qu’il existe $c \in ℕ^{*}$ tel que $a = c^{n}$ et $b = c^{m}$ .

Exercice 4 1214 Correction

On divise un cercle en $n$ arcs égaux et l’on joint les points de division de $p$ en $p$ jusqu’à ce que l’on revienne au point de départ. Quel est le nombre de côtés du polygone construit?

Solution

Le nombre de côté du polygone construit est le plus petit entier $k \in ℕ^{*}$ tel que $n ∣ k p$ .
Posons $δ = pgcd (n, p)$ . On peut écrire $n = δ n^{'}$ et $p = δ p^{'}$ avec $n^{'} \land p^{'} = 1$ .
$n ∣ k p \Leftrightarrow n^{'} ∣ k p^{'}$ c’est-à-dire $n^{'} ∣ k$ . Ainsi $k = n^{'} = n / δ$ .

Exercice 5 3669 Correction

On étudie l’équation algébrique

(E) : x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

d’inconnue $x$ et où les coefficients $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1}$ sont supposés entiers.
Montrer que les solutions réelles de $(E)$ sont entières ou irrationnelles.

Solution

Supposons $x = p / q$ une racine rationnelle de l’équation $(E)$ avec $p$ et $q$ premiers entre eux.
En réduisant au même dénominateur, on obtient

p^{n} + a_{n - 1} q p^{n - 1} + \dots + a_{1} p q^{n - 1} + a_{0} q^{n} = 0 .

Puisque $q$ divise $a_{n - 1} q p^{n - 1} + \dots + a_{1} p q^{n - 1} + a_{0} q^{n}$ , on obtient que $q$ divise $p^{n}$ .
Or $p$ et $q$ sont premiers entre eux donc nécessairement $q = 1$ et donc $x = p \in ℤ$ .
Ainsi, les racines rationnelles de $(E)$ sont entières.

Exercice 6 1228 Correction

Soient $p \in 𝒫$ et $α \in ℕ^{*}$ . Déterminer les diviseurs positifs de $p^{α}$ .

Solution

Soit $d \in D i v (p^{α}) \cap ℕ$ . Notons $β$ la plus grande puissance de $p$ telle que $p^{β} ∣ d$ .
On peut écrire $d = p^{β} k$ avec $p ∣ k$ .
Puisque $p ∣ k$ et $p \in 𝒫$ on a $p \land k = 1$ . Or $k ∣ p^{α} \times 1$ donc, par Gauss: $k ∣ 1$ .
Par suite, $d = p^{β}$ avec $β \in ℕ$ . De plus, $d ∣ p^{α}$ donc $p^{β} \leq p^{α}$ puis $β \leq α$ .
Inversement: ok.

Exercice 7 1229 Correction

Soient $n \in ℕ ∖ {0, 1}$ et $n = \prod_{k = 1}^{N} p_{k}^{α_{k}}$ sa décomposition en produit de facteurs premiers.

Quel est le nombre de diviseurs positifs de $n$ ?

Solution

Les diviseurs positifs de $n$ sont les

d = \prod_{k = 1}^{N} p_{k}^{β_{k}}

avec

\forall 1 \leq k \leq N, 0 \leq β_{k} \leq α_{k} .

Le choix des $β_{k}$ conduisant à des diviseurs distincts, il y a exactement $\prod_{k = 1}^{N} (α_{k} + 1)$ diviseurs positifs de $n$ .

Exercice 8 1227

Soit $n \in ℕ$ au moins égal à $2$ . Montrer que $n$ est le produit de ses diviseurs non triviaux¹¹ 1 Dans ce sujet, on se limite aux diviseurs positifs. Les diviseurs triviaux de $n$ sont $1$ et $n$ . si, et seulement si, $n = p^{3}$ avec $p$ nombre premier ou $n = p q$ avec $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts.

Exercice 9 1230 Correction

Soit $n \in ℕ ∖ {0,1}$ dont la décomposition primaire est

n = \prod_{i = 1}^{N} p_{i}^{α_{i}} .

On note $d (n)$ le nombre de diviseurs supérieurs ou égaux à 1 de $n$ et $σ (n)$ la somme de ceux-ci.
Montrer

d (n) = \prod_{i = 1}^{N} (α_{i} + 1) et σ (n) = \prod_{i = 1}^{N} \frac{p_{i}^{α_{i} + 1} - 1}{p_{i} - 1} .

Solution

Soit $d \in ℕ$ diviseur de $n$ .
Tout diviseur premier de $d$ est aussi diviseur de $n$ et c’est donc l’un des $p_{1}, \dots, p_{N}$ .
Par suite, on peut écrire $d = \prod_{i = 1}^{N} p_{i}^{β_{i}}$ avec $β_{i} \in ℕ$ .
$p_{i}^{β_{i}} ∣ d$ donc $p_{i}^{β_{i}} ∣ n$ d’où $β_{i} \leq α_{i}$ .
Ainsi $d$ est de la forme $d = \prod_{i = 1}^{N} p_{i}^{β_{i}}$ avec pour tout $i \in {1, \dots, N}$ , $0 \leq β_{i} \leq α_{i}$ .
Inversement, de tels nombres sont bien diviseurs de $n$ .
Il y a autant de nombres de cette forme distincts que de choix pour les $β_{1}, \dots, β_{N}$ .Pour $β_{i}$ , il y a $α_{i} + 1$ choix possibles, au total $d (n) = \prod_{i = 1}^{N} (α_{i} + 1)$ .
De plus,

	$σ (n)$	$= \sum_{β_{1} = 0}^{α_{1}} \sum_{β_{2} = 0}^{α_{2}} \dots \sum_{β_{N} = 0}^{α_{N}} p_{1}^{β_{1}} p_{2}^{β_{2}} \dots p_{N}^{β_{N}}$
		$= (\sum_{β_{1} = 0}^{α_{1}} p_{1}^{β_{1}}) (\sum_{β_{2} = 0}^{α_{2}} p_{2}^{β_{2}}) \dots (\sum_{β_{N} = 0}^{α_{N}} p_{N}^{β_{N}}) .$

Par sommation géométrique

σ (n) = \prod_{i = 1}^{N} \frac{p_{i}^{α_{i} + 1} - 1}{p_{i} - 1} .

Exercice 10 4410

Soit $n \in ℕ ∖ {0,1}$ dont la décomposition en facteurs premiers s’écrit

n = \prod_{k = 1}^{r} p_{k}^{α_{k}} avec p_{1}, \dots, p_{r} nombres premiers deux à deux distincts.

Montrer que la somme $σ (n)$ des diviseurs positifs de $n$ vaut

σ (n) = \prod_{k = 1}^{r} \frac{p_{k}^{α_{k} + 1} - 1}{p_{k} - 1} .

Exercice 11 4408

(Théorème RSA)

Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts, $n = p q$ et $e$ un entier naturel premier avec le produit $N = (p - 1) (q - 1)$ .

(a)

Justifier qu’il existe un entier $d \geq 0$ tel que $e d \equiv 1 [(p - 1) (q - 1)]$ .
(b)

Montrer que $x^{e d} \equiv x [n]$ pour tout $x \in ℤ$ .

Exercice 12 4407

(Triplets pythagoriciens)

On étudie l’équation $(E) : a^{2} + b^{2} = c^{2}$ d’inconnue $(a, b, c) \in ℤ^{3}$ .

Soit $(a, b, c)$ une solution non nulle. Si $d$ désigne le pgcd des trois entiers $a$ , $b$ et $c$ , on peut simplifier l’équation par $d^{2}$ et se ramener à la situation où $d = 1$ : nous supposons par la suite être dans ce contexte.

(a)

Montrer que $a$ , $b$ et $c$ sont deux à deux premiers entre eux.
(b)

Quelles sont les congruences possibles d’un carré modulo $4$ ? En déduire que l’une des deux valeurs $a$ ou $b$ est paire et l’autre impaire.

On suppose que $b$ est la valeur paire.

(c)

Montrer qu’il existe $x$ et $y$ entiers tels que $c + a = 2 x^{2}$ et $c - a = 2 y^{2}$ .
(d)

Quels sont les triplets $(a, b, c) \in ℤ^{3}$ solutions de l’équation $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ?

Exercice 13 4411

(Formule d’inversion de Möbius)

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on pose¹¹ 1 En particulier, $μ (1) = 1$ .

μ (n) = {\begin{matrix} 0 & si n est divisible par le carré d’un nombre premier \\ {(- 1)}^{r} & si n est le produit de r nombres premiers deux à deux distincts. \end{matrix}

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on pose

s (n) = \sum_{d ∣ n} μ (d)

où la somme porte sur les entiers $d$ diviseurs positifs de $n$ .

(a)

Soient $p$ un nombre premier et $α \in ℕ^{*}$ . Calculer $s (p^{α})$ .
(b)

Soient $m$ et $n \in ℕ^{*}$ premiers entre eux, vérifier $s (m n) = s (m) s (n)$ .
(c)

En déduire la valeur de $s (n)$ pour tout $n \in ℕ^{*}$ .

On considère une fonction $u : ℕ^{*} \to ℂ$ et la fonction $v : ℕ^{*} \to ℂ$ définie par

v (n) = \sum_{d ∣ n} u (d) .

(d)

Soit $n \in ℕ^{*}$ . Vérifier la formule d’inversion

$u (n) = \sum_{d ∣ n} μ (\frac{n}{d}) v (d) .$

Exercice 14 3681

On note $d (n)$ le nombre de diviseurs de $n \in ℕ^{*}$ . Montrer

\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} d (k) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} + b_{n}

avec $(b_{n})$ une suite bornée.

Exercice 15 3725

(Théorème d’Aubry)

Soient $N$ un entier strictement positif et $𝒞$ le cercle d’équation $x^{2} + y^{2} = N$ .

On suppose que le cercle $𝒞$ possède un point $(x_{0}, y_{0})$ à coordonnées rationnelles. On introduit $(x_{0}^{'}, y_{0}^{'})$ un point à coordonnées entières obtenues par arrondis des coordonnées de $(x_{0}, y_{0})$ . En étudiant, lorsque cela a un sens, l’intersection du cercle $𝒞$ avec la droite joignant $(x_{0}, y_{0})$ et $(x_{0}^{'}, y_{0}^{'})$ , montrer que ce cercle contient un point à coordonnées entières.

[<] Nombres premiers [>] Valuation p-adique

Édité le 08-12-2023

Études arithmétiques