[<] Nombres premiers [>] Valuation p-adique

 
Exercice 1  1211  

Soient a et b deux entiers relatifs. Montrer

aba2b2.
 
Exercice 2  1225  Correction  

Soit n. Montrer

nm,n=m2.

En déduire que 2 et 3

Solution

() C’est immédiat.

() Si n alors on peut écrire n=pq avec pq=1.
On a alors q2n=p2 donc np2
De plus, q2n=p2 et p2q2=1 donne p2n.
Par double divisibilité n=p2.
ni 2, ni 3 ne sont des carrés d’un entier, donc 2 et 3.

 
Exercice 3  4406   

Soient m et n deux entiers naturels non nuls premiers entre eux.

  • (a)

    Soit x un nombre rationnel. On suppose que xn est entier, montrer que x est entier.

  • (b)

    Soient a et b deux entiers non nuls tels que am=bn. Montrer qu’il existe c* tel que a=cn et b=cm.

 
Exercice 4  1214   Correction  

On divise un cercle en n arcs égaux et l’on joint les points de division de p en p jusqu’à ce que l’on revienne au point de départ. Quel est le nombre de côtés du polygone construit?

Solution

Le nombre de côté du polygone construit est le plus petit entier k* tel que nkp.
Posons δ=pgcd(n,p). On peut écrire n=δn et p=δp avec np=1.
nkpnkp c’est-à-dire nk. Ainsi k=n=n/δ.

 
Exercice 5  3669   Correction  

On étudie l’équation algébrique

(E):xn+an-1xn-1++a1x+a0=0

d’inconnue x et où les coefficients a0,a1,,an-1 sont supposés entiers.
Montrer que les solutions réelles de (E) sont entières ou irrationnelles.

Solution

Supposons x=p/q une racine rationnelle de l’équation (E) avec p et q premiers entre eux.
En réduisant au même dénominateur, on obtient

pn+an-1qpn-1++a1pqn-1+a0qn=0.

Puisque q divise an-1qpn-1++a1pqn-1+a0qn, on obtient que q divise pn.
Or p et q sont premiers entre eux donc nécessairement q=1 et donc x=p.
Ainsi, les racines rationnelles de (E) sont entières.

 
Exercice 6  1228  Correction  

Soient p𝒫 et α*. Déterminer les diviseurs positifs de pα.

Solution

Soit dDiv(pα). Notons β la plus grande puissance de p telle que pβd.
On peut écrire d=pβk avec pk.
Puisque pk et p𝒫 on a pk=1. Or kpα×1 donc, par Gauss: k1.
Par suite, d=pβ avec β. De plus, dpα donc pβpα puis βα.
Inversement: ok.

 
Exercice 7  1229   Correction  

Soit n{0,1} et n=k=1Npkαk sa décomposition primaire.
Quel est le nombre de diviseurs positifs de n?

Solution

Les diviseurs positifs sont les d=k=1Npkβk avec

1kN, 0βkαk.

Le choix des βk conduisant à des diviseurs distincts, il y a exactement k=1N(αk+1) diviseurs positifs de n.

 
Exercice 8  1227   

Soit n au moins égal à 2. Montrer que n est le produit de ses diviseurs non triviaux11 1 Dans ce sujet, on se limite aux diviseurs positifs. Les diviseurs triviaux de n sont 1 et n. si, et seulement si, n=p3 avec p nombre premier ou n=pq avec p et q des nombres premiers distincts.

 
Exercice 9  1230   Correction  

Soit n{0,1} dont la décomposition primaire est

n=i=1Npiαi.

On note d(n) le nombre de diviseurs supérieurs ou égaux à 1 de n et σ(n) la somme de ceux-ci.
Montrer

d(n)=i=1N(αi+1)etσ(n)=i=1Npiαi+1-1pi-1.

Solution

Soit d diviseur de n.
Tout diviseur premier de d est aussi diviseur de n et c’est donc l’un des p1,,pN.
Par suite, on peut écrire d=i=1Npiβi avec βi.
piβid donc piβin d’où βiαi.
Ainsi d est de la forme d=i=1Npiβi avec pour tout i{1,,N}, 0βiαi.
Inversement, de tels nombres sont bien diviseurs de n.
Il y a autant de nombres de cette forme distincts que de choix pour les β1,,βN.Pour βi, il y a αi+1 choix possibles, au total d(n)=i=1N(αi+1).
De plus,

σ(n) =β1=0α1β2=0α2βN=0αNp1β1p2β2pNβN
=(β1=0α1p1β1)(β2=0α2p2β2)(βN=0αNpNβN).

Par sommation géométrique

σ(n)=i=1Npiαi+1-1pi-1.
 
Exercice 10  4410   

Soit n{0,1} dont la décomposition en facteurs premiers s’écrit

n=k=1rpkαk avec p1,,pr nombres premiers deux à deux distincts.

Montrer que la somme σ(n) des diviseurs positifs de n vaut

σ(n)=k=1rpkαk+1-1pk-1.
 
Exercice 11  4408   

(Théorème RSA)

Soient p et q deux nombres premiers distincts, n=pq et e un entier naturel premier avec le produit (p-1)(q-1).

  • (a)

    Justifier qu’il existe un entier d0 tel que ed1[(p-1)(q-1)].

  • (b)

    Montrer que xedx[n] pour tout entier x.

 
Exercice 12  4407   

(Triplets pythagoriciens)

On étudie l’équation (E):a2+b2=c2 d’inconnue (a,b,c)3.

Soit (a,b,c) une solution non nulle. Si d désigne le pgcd des trois entiers a, b et c, on peut simplifier l’équation par d2 et se ramener à la situation où d=1: nous supposons par la suite être dans cette situation.

  • (a)

    Montrer que a, b et c sont deux à deux premiers entre eux.

  • (b)

    Quelles sont les congruences possibles d’un carré modulo 4? En déduire que l’une des deux valeurs a ou b est paire et l’autre impaire.

On suppose que b est pair.

  • (c)

    Montrer qu’il existe x et y entiers tels que c+a=2x2 et c-a=2y2.

  • (d)

    Quels sont les triplets (a,b,c)3 solutions de l’équation a2+b2=c2?

 
Exercice 13  4411    

(Formule d’inversion de Möbius)

Pour n* on pose

μ(n)={0 si n est divisible par le carré d’un nombre premier(-1)r si n est le produit de r nombres premiers deux à deux distincts.

En particulier, μ(1)=1. Enfin, pour n*, on pose11 1 La somme introduite porte sur les entiers d diviseurs positifs de n.

s(n)=dnμ(d).
  • (a)

    Soient p un nombre premier et α*. Calculer s(pα).

  • (b)

    Soient m et n* premiers entre eux, vérifier s(mn)=s(m)s(n).

  • (c)

    En déduire la valeur de s(n) pour tout n*.

On considère une fonction u:* et la fonction v:* définie par

v(n)=dnu(d).
  • (d)

    Soit n*. Vérifier la formule d’inversion

    u(n)=dnμ(nd)v(d).
 
Exercice 14  3681    

On note d(n) le nombre de diviseurs de n*. Montrer

1nk=1nd(k)=k=1n1k+bn

avec (bn) une suite bornée.

 
Exercice 15  3725    

(Théorème d’Aubry)

Soit N un entier strictement positif et 𝒞 le cercle d’équation x2+y2=N.

On suppose que le cercle 𝒞 possède un point (x0,y0) à coordonnées rationnelles. On introduit (x0,y0) un point à coordonnées entières obtenues par arrondis des coordonnées de (x0,y0). En étudiant, lorsque cela a un sens, l’intersection du cercle 𝒞 avec la droite joignant (x0,y0) et (x0,y0), montrer que ce cercle contient un point à coordonnées entières.

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Édité le 08-11-2019

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