[<] PGCD et PPCM [>] Nombres premiers
Montrer que pour tout , les entiers , et sont premiers entre eux deux à deux. Que dire des entiers et ?
Montrer que pour tout
Solution
.
donc .
donc
Par produit .
.
donc .
donc .
Par produit .
Soient et deux entiers. Montrer que et sont premiers entre si, et seulement si, et le sont.
Solution
Raisonnons par double implication.
Supposons et premiers entre eux et calculons le pgcd de et . L’entier divise et et donc divise aussi et . On en déduit que vaut : les entiers et sont premiers entre eux.
Supposons et premiers entre eux.
Méthode: On vérifie que est premier avec et avec afin d’affirmer qu’il est alors premier avec .
Introduisons le pgcd de et . L’entier divise et divise aussi car . On en déduit que vaut et donc et sont premiers entre eux. Il en est de même pour et et donc pour et .
Soient .
On suppose . Montrer que .
On revient au cas général. Calculer .
Solution
et .
Ainsi et donc .
Posons . On peut écrire et avec .
Soit .
Montrer que et sont premiers entre eux.
En déduire
Solution
On peut écrire . Par le théorème de Bézout, .
On a
donc
Puisque , on a
or donc
Soient , et trois entiers avec et premiers entre eux.
Montrer .
Que dire de ?
Pour , montrer qu’il existe un couple unique tel que
Calculer .
En déduire que et sont premiers entre eux.
Solution
Unicité: Si et sont solutions alors
donc
Si alors
ce qui est absurde.
On en déduit puis .
Existence: Par la formule du binôme de Newton,
En séparant les termes d’indices pairs de ceux d’indices impairs, on a
avec
On a
Or en reprenant les calculs qui précèdent
donc
La relation qui précède permet d’écrire
On en déduit que et sont premiers entre eux.
Soient et deux entiers relatifs premiers entre eux et un diviseur de .
Montrer
Solution
Unicité: Si est solution alors
Or car et , donc car .
De même, d’où l’unicité.
Existence: Posons et . On a et .
et donc car .
, et donc .
Inversement: Par l’égalité de Bézout on peut écrire et donc car .
On note l’ensemble des diviseurs positifs d’un entier .
Soient deux entiers premiers entre eux. Établir la bijectivité de l’application
Soit . Montrer que les entiers
pour sont deux à deux premiers entre eux.
Solution
Par l’absurde, supposons que et (avec ) ne soient pas premiers entre eux.
Considérons un diviseur premier commun à et . L’entier est diviseur de donc de .
Puisque est premier et diviseur de ou de , il est nécessairement inférieur à et donc assurément diviseur de . Or divise aussi et donc divise .
C’est absurde.
Soient . Pour , on considère l’application
Soient . Calculer .
On suppose que et sont premiers entre eux. Vérifier que l’application est bijective.
Inversement, on suppose l’application bijective, montrer que et sont premiers entre eux.
Solution
Pour tout ,
On a donc .
Supposons et premiers entre eux. Il existe tels que . On vérifie avec
On a donc . On vérifie de même . On en déduit que est bijective (et l’application est sa bijection réciproque).
Supposons l’application bijective. Puisque est élément de , il existe tel que , c’est-à-dire il existe tel que
Par égalité de deux exponentielles imaginaires, il existe tel que
et donc
On en déduit que et sont premiers entre eux.
[<] PGCD et PPCM [>] Nombres premiers
Édité le 08-12-2023
Bootstrap 3 - LaTeXML - Powered by MathJax