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Exercice 1  5163  

Soit u une application linéaire d’un 𝕂-espace vectoriel E vers un 𝕂-espace vectoriel E.

  • (a)

    Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. Montrer

    dimu(F)dimF

    avec égalité si, et seulement si, F et Ker(u) sont en somme directe.

  • (b)

    Soit (x1,,xn) une famille de vecteurs de E. Montrer

    rg(u(x1),,u(xn))rg(x1,,xn).

    À quelle condition y a-t-il égalité?

 
Exercice 2  5161   

Soient u une application linéaire d’un 𝕂-espace vectoriel E vers un 𝕂-espace vectoriel E et (e1,,en) une famille de vecteurs de E.

  • (a)

    Montrer

    u(Vect(e1,,en))=Vect(u(e1),,u(en)).
  • (b)

    On suppose la famille (e1,,en) génératrice de E et l’application linéaire u surjective. Que dire de la famille image (u(e1),,u(en))?

  • (c)

    On suppose la famille (e1,,en) libre et l’application linéaire u injective. Montrer que la famille image (u(e1),,u(en)) est libre.

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Édité le 08-11-2019

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