Exercice 1 5163

Soit $u$ une application linéaire d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ vers un $𝕂$ -espace vectoriel $E^{'}$ .

(a)

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$ . Montrer

$dim u (F) \leq dim F$

avec égalité si, et seulement si, $F$ et $Ker (u)$ sont en somme directe.
(b)

Soit $(x_{1}, \dots, x_{n})$ une famille de vecteurs de $E$ . Montrer

$rg (u (x_{1}), \dots, u (x_{n})) \leq rg (x_{1}, \dots, x_{n}) .$

À quelle condition y a-t-il égalité?

Exercice 2 5161

Soient $u$ une application linéaire d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ vers un $𝕂$ -espace vectoriel $E^{'}$ et $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une famille de vecteurs de $E$ .

(a)

Montrer

$u (Vect (e_{1}, \dots, e_{n})) = Vect (u (e_{1}), \dots, u (e_{n})) .$
(b)

On suppose la famille $(e_{1}, \dots, e_{n})$ génératrice de $E$ et l’application linéaire $u$ surjective. Que dire de la famille image $(u (e_{1}), \dots, u (e_{n}))$ ?
(c)

On suppose la famille $(e_{1}, \dots, e_{n})$ libre et l’application linéaire $u$ injective. Montrer que la famille image $(u (e_{1}), \dots, u (e_{n}))$ est libre.

[<] Linéarité et colinéarité [>] L'anneau des endomorphismes

Édité le 29-08-2023

Image d'une famille de vecteurs