Exercice 1 1726 Correction

À quelle condition une translation et un endomorphisme d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ commutent-ils?

Solution

Soient $f \in ℒ (E)$ et $t = t_{u}$ où $u \in E$ . Soit $x \in E$

	$(f \circ t) (x) = (t \circ f) (x)$	$\Leftrightarrow f (x) + f (u) = f (x) + u$
		$\Leftrightarrow f (u) = u .$

Une translation et un endomorphisme commutent si, et seulement si, le vecteur de translation est invariant par l’endomorphisme.

Exercice 2 4387

Soient $α, β$ deux réels non nuls distincts et $f$ un endomorphisme d’un espace réel $E$ vérifiant

f^{2} - (α + β) . f + (α β) . {Id}_{E} = 0 .

(1)

(a)

Montrer que $f$ est inversible et exprimer son inverse en fonction de $f$ .
(b)

Établir que $Ker (f - α . {Id}_{E})$ et $Ker (f - β . {Id}_{E})$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$ .
(c)

Vérifier $Ker (f - α . {Id}_{E}) = Im (f - β . {Id}_{E})$ .

Exercice 3 1710 Correction

Soient $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel et $f$ un endomorphisme de $E$ nilpotent, c’est-à-dire tel qu’il existe $n \in ℕ^{*}$ pour lequel $f^{n} = 0$ .

Montrer que ${Id}_{E} - f$ est inversible et exprimer son inverse en fonction de $f$ .

Solution

Puisque les endomorphismes ${Id}_{E}$ et $f$ commutent, la formule de factorisation géométrique donne

{Id}_{E} = {Id}_{E} - f^{n} = ({Id}_{E} - f) \circ ({Id}_{E} + f + \dots + f^{n - 1})

On a aussi

{Id}_{E} = ({Id}_{E} + f + \dots + f^{n - 1}) \circ ({Id}_{E} - f) .

On en déduit que l’endomorphisme ${Id}_{E} - f$ est inversible et

{({Id}_{E} - f)}^{- 1} = {Id}_{E} + f + \dots + f^{n - 1} .

Exercice 4 3046 X (MP)Correction

Soit $P \in ℝ [X]$ . Montrer que la suite ${(P (n))}_{n \in ℕ}$ vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.

Solution

Posons $T : P (X) \mapsto P (X + 1)$ et $Δ = T - Id$ endomorphismes de $ℝ [X]$ . On a

Δ (P) = P (X + 1) - P (X) pour tout P \in ℝ [X] .

On vérifie que si $\deg (P) \leq p$ alors $\deg (Δ (P)) \leq p - 1$ et donc, si $P \in ℝ_{p} [X]$ ,

Δ^{p + 1} (P) = 0 .

Δ^{p + 1} = \sum_{k = 0}^{p + 1} (\binom{p + 1}{k}) {(- 1)}^{p + 1 - k} T^{k}

car les endomorphismes $T$ et $Id$ commutent. On en déduit

\sum_{k = 0}^{p + 1} (\binom{p + 1}{k}) {(- 1)}^{k} P (X + k) = 0

et, en particulier, pour tout $n \in ℕ$ ,

\sum_{k = 0}^{p + 1} (\binom{p + 1}{k}) {(- 1)}^{k} P (n + k) = 0 .

Édité le 29-08-2023

L'anneau des endomorphismes