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Exercice 1  1726  Correction  

À quelle condition une translation et un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel E commutent-ils?

Solution

Soient f(E) et t=tuuE. Soit xE

(ft)(x)=(tf)(x) f(x)+f(u)=f(x)+u
f(u)=u.

Une translation et un endomorphisme commutent si, et seulement si, le vecteur de translation est invariant par l’endomorphisme.

 
Exercice 2  4387   

Soient α,β deux réels non nuls distincts et f un endomorphisme d’un espace réel E vérifiant

f2-(α+β).f+(αβ).IdE=0. (1)
  • (a)

    Montrer que f est inversible et exprimer son inverse en fonction de f.

  • (b)

    Établir que Ker(f-α.IdE) et Ker(f-β.IdE) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E.

  • (c)

    Vérifier Ker(f-α.IdE)=Im(f-β.IdE).

 
Exercice 3  1710   Correction  

Soient E un 𝕂-espace vectoriel et f un endomorphisme de E nilpotent c’est-à-dire tel qu’il existe n* pour lequel fn=0. Montrer que Id-f est inversible et exprimer son inverse en fonction de f.

Solution

Id=Id-fn=(Id-f)(Id+f++fn-1) et aussi Id=(Id+f++fn-1)(Id-f).
Par suite, Id-f est inversible et (Id-f)-1=Id+f++fn-1.

 
Exercice 4  3046      X (MP)Correction  

Soit P[X]. Montrer que la suite (P(n))n vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.

Solution

Posons T:P(X)P(X+1) et Δ=T-Id endomorphismes de [X]. On a

Δ(P)=P(X+1)-P(X)pour tout P[X].

On vérifie que si deg(P)p alors deg(Δ(P))p-1 et donc, si Pp[X],

Δp+1(P)=0.
Δp+1=k=0p+1(p+1k)(-1)p+1-kTk

car les endomorphismes T et Id commutent. On en déduit

k=0p+1(p+1k)(-1)kP(X+k)=0

et, en particulier, pour tout n,

k=0p+1(p+1k)(-1)kP(n+k)=0.

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Édité le 08-11-2019

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