[<] Étude de linéarité [>] Image directe ou réciproque de sous-espaces vectoriels
Soient , et des espaces vectoriels et , . Montrer
Soient et deux endomorphismes d’un espace vectoriel . Vérifier:
.
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel . Établir
.
.
Soient un -espace vectoriel et tel que
Montrer que est inversible et exprimer son inverse en fonction de .
Établir que et sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de .
Solution
Posons . On a et de même donc est un automorphisme et .
En tant que noyaux d’applications linéaires, et sont des sous-espaces vectoriels de .
Soit . On a et donc . Ainsi,
Soit . Posons et .
On a , donc et donc . Ainsi,
Finalement, et sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de .
(Noyaux et images itérés)
Soient un endomorphisme d’un espace vectoriel et . On note
Montrer que, si , alors pour tout .
Établir la même propriété avec les espaces images.
Donner un exemple d’endomorphisme pour lequel il n’existe pas d’entiers tels que .
Même question avec les espaces images.
Soient tels que , et .
Montrer que , et ont même noyau et même image.
Vérifier .
En déduire que l’image et le noyau de sont supplémentaires dans .
Soient et deux endomorphismes d’un -espace vectoriel vérifiant .
Montrer que , puis que et sont supplémentaires.
Solution
On a toujours .
Inversement, pour , on a donc . Or donc .
Ainsi puis .
On a toujours .
Inversement, pour , il existe tel que et alors .
Ainsi puis
Soit . Il existe tel que et alors donne d’où car . On en déduit et donc .
Soit . On peut écrire avec et car
Ainsi et finalement et sont supplémentaires dans .
Soient et deux endomorphismes d’un espace vectoriel sur ou vérifiant .
Montrer que et .
Montrer
Dans quel cas peut-on conclure ?
Calculer et caractériser
Solution
Evidemment et .
Pour , on a donc .
Pour , il existe tel que et alors .
Si alors on peut écrire et puisque , donc .
Pour , on peut écrire avec et .
Si est inversible alors entraîne .
Cette condition suffisante est aussi évidemment nécessaire.
et donc est un projecteur.
Soient tels que
Montrer que les espaces et sont supplémentaires dans .
Justifier que .
Solution
Soit .
Il existe tel que donc
Soit .
Analyse: Supposons avec et .
donc .
Synthèse: Posons et .
On a , et c’est-à-dire .
On a immédiatement .
Inversement, pour , on peut écrire avec .
Par symétrie, on a et l’on peut écrire
On a alors et l’on obtient l’inclusion .
Soient tels que
Montrer que et .
On pose
Montrer que
Solution
Si alors donc . Par symétrie
Si alors il existe tel que donc . Par symétrie
Soit . Il existe tel que or
Ainsi d’où .
Soit .
Analyse: Supposons avec et .
On a
donc
Synthèse: Puisque , il existe tel que
Posons alors et . On a immédiatement et .
On a aussi car
et
Ainsi,
puis
Soient et deux endomorphismes d’un espace vectoriel tels que .
Montrer que et sont stables par , c’est-à-dire
En déduire que, si est un projecteur de alors
Solution
Soit , donc . Ainsi est stable par .
Soit . Il existe tel que et alors donc est stable par .
C’est immédiat via la résultat précédent.
Si et sont stables par alors, puisque ces derniers sont supplémentaires dans . Soit , on peut écrire avec et .
On a alors et car et . Ainsi,
puis et commutent.
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel vérifiant . Montrer
Solution
Soit .
On a et l’on peut écrire .
, puis .
Or donc .
Soit .
Analyse: Supposons avec et .
On peut écrire .
Ainsi .
Donc .
Synthèse: Posons et .
On a car et
donc
Finalement,
Soient trois espaces vectoriels et , et .
À quelles conditions sur et peut-on affirmer que est un isomorphisme?
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Édité le 29-08-2023
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