Exercice 1 1712

Soient $E$ , $E^{'}$ et $E^{''}$ des espaces vectoriels et $f \in ℒ (E, E^{'})$ , $g \in ℒ (E^{'}, E^{''})$ . Montrer

g \circ f = 0 \Leftrightarrow Im (f) \subset Ker (g) .

Exercice 2 1713

Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes d’un espace vectoriel $E$ . Vérifier:

(a)

$Ker (f) \cap Ker (g) \subset Ker (f + g)$
(b)

$Im (f) + Im (g) \supset Im (f + g)$
(c)

$Ker (f) \subset Ker (f^{2})$
(d)

$Im (f) \supset Im (f^{2})$ .

Exercice 3 1714

Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$ . Établir

(a)

$Im (f) \cap Ker (f) = {0_{E}} \Leftrightarrow Ker (f) = Ker (f^{2})$ .
(b)

$E = Im (f) + Ker (f) \Leftrightarrow Im (f) = Im (f^{2})$ .

Exercice 4 1715 Correction

Soient $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel et $f \in ℒ (E)$ tel que

f^{2} - 3 f + 2 I d = 0 .

(a)

Montrer que $f$ est inversible et exprimer son inverse en fonction de $f$ .
(b)

Établir que $Ker (f - Id)$ et $Ker (f - 2 I d)$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$ .

Solution

(a)

Posons $g = \frac{1}{2} (3 I d - f) \in ℒ (E)$ . On a $f \circ g = \frac{3}{2} f - \frac{1}{2} f^{2} = Id$ et de même $g \circ f = Id$ donc $f$ est un automorphisme et $f^{- 1} = g$ .
(b)

En tant que noyaux d’applications linéaires, $Ker (f - Id)$ et $Ker (f - 2 I d)$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$ .
Soit $x \in Ker (f - Id) \cap Ker (f - 2 I d)$ . On a $f (x) = x$ et $f (x) = 2 x$ donc $x = 0_{E}$ . Ainsi,

$Ker (f - Id) \cap Ker (f - 2 I d) = {0_{E}} .$

Soit $x \in E$ . Posons $u = 2 x - f (x)$ et $v = f (x) - x$ .
On a $u + v = x$ , $f (u) = 2 f (x) - f^{2} (x) = 2 x - f (x) = u$ donc $u \in Ker (f - Id)$ et $f (v) = f^{2} (x) - f (x) = 2 f (x) - 2 x = 2 v$ donc $v \in Ker (f - 2 I d)$ . Ainsi,

$E = Ker (f - Id) + Ker (f - 2 I d) .$

Finalement, $Ker (f - Id)$ et $Ker (f - 2 I d)$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$ .

Exercice 5 4213

(Noyaux et images itérés)

Soient $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$ et $p \in ℕ$ . On note

f^{0} = {Id}_{E} et f^{n} = \underset{\begin{matrix} n facteurs \end{matrix}}{\underset{⏟}{f \circ f \circ \dots \circ f}} pour tout n \in ℕ^{*} .

(a)

Montrer que, si $Ker (f^{p}) = Ker (f^{p + 1})$ , alors $Ker (f^{p}) = Ker (f^{p + k})$ pour tout $k \in ℕ$ .
(b)

Établir la même propriété avec les espaces images.
(c)

Donner un exemple d’endomorphisme $f$ pour lequel il n’existe pas d’entiers $p$ tels que $Ker (f^{p}) = Ker (f^{p + 1})$ .
(d)

Même question avec les espaces images.

Exercice 6 1716

Soit $f, g, h \in ℒ (E)$ tels que $f \circ g = h$ , $g \circ h = f$ et $h \circ f = g$ .

(a)

Montrer que $f$ , $g$ et $h$ ont même noyau et même image.
(b)

Vérifier $f^{5} = f$ .
(c)

En déduire que l’image et le noyau de $f$ sont supplémentaires dans $E$ .

Exercice 7 1754 Correction

Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ vérifiant $f \circ g = Id$ .

Montrer que $Ker (f) = Ker (g \circ f)$ , $Im (g) = Im (g \circ f)$ puis que $Ker (f)$ et $Im (g)$ sont supplémentaires.

Solution

On a toujours $Ker (f) \subset Ker (g \circ f)$ .
Inversement, pour $x \in Ker (g \circ f)$ , on a $g \circ f (x) = 0$ donc $f \circ g \circ f (x) = f (0) = 0$ . Or $f \circ g = Id$ donc $f (x) = 0$ .
Ainsi $Ker (g \circ f) \subset Ker (f)$ puis $Ker (g \circ f) = Ker (f)$ .
On a toujours $Im (g \circ f) \subset Im (g)$ .
Inversement, pour $y \in Im (g)$ , il existe $x \in E$ tel que $y = g (x)$ et alors $y = g \circ f \circ g (x) = (g \circ f) (g (x)) \in Im (g \circ f)$ .
Ainsi $Im (g) \subset Im (g \circ f)$ puis $Im (g \circ f) = Im (g)$
Soit $x \in Ker (f) \cap Im (g)$ . Il existe $a \in E$ tel que $x = g (a)$ et alors $f (x) = 0$ donne $f (g (a)) = 0$ d’où $a = 0$ car $f \circ g = Id$ . On en déduit $x = g (a) = 0$ et donc $Ker (f) \cap Im (g) = {0}$ .
Soit $x \in E$ . On peut écrire $x = (x - g (f (x))) + g (f (x))$ avec $g (f (x)) \in Im (g)$ et $x - g (f (x)) \in Ker (f)$ car

f (x - g (f (x))) = f (x) - (f \circ g) (f (x)) = f (x) - f (x) = 0 .

Ainsi $E = Ker (f) + Im (g)$ et finalement $Ker (f)$ et $Im (g)$ sont supplémentaires dans $E$ .

Exercice 8 3360 CCP (MP)Correction

Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes d’un espace vectoriel $E$ sur $ℝ$ ou $ℂ$ vérifiant $f \circ g = Id$ .

(a)

Montrer que $Ker (g \circ f) = Ker (f)$ et $Im (g \circ f) = Im (g)$ .
(b)

Montrer

$E = Ker (f) \oplus Im (g) .$
(c)

Dans quel cas peut-on conclure $g = f^{- 1}$ ?
(d)

Calculer $(g \circ f) \circ (g \circ f)$ et caractériser $g \circ f$

Solution

(a)

Evidemment $Ker (f) \subset Ker (g \circ f)$ et $Im (g \circ f) \subset Im (g)$ .
Pour $x \in Ker (g \circ f)$ , on a $f (x) = f (g (f (x)) = f (0) = 0$ donc $x \in Ker (f)$ .
Pour $y \in Im (g)$ , il existe $x \in E$ tel que $y = g (x)$ et alors $y = g (f (g (x))) = g (f (a)) \in Im (g \circ f)$ .
(b)

Si $x \in Ker (f) \cap Im (g)$ alors on peut écrire $x = g (a)$ et puisque $f (x) = 0$ , $a = f (g (a)) = 0$ donc $x = 0$ .
Pour $x \in E$ , on peut écrire $x = (x - g (f (x)) + g (f (x))$ avec $x - g (f (x)) \in Ker (f)$ et $g (f (x)) \in Im (g)$ .
(c)

Si $f$ est inversible alors $f \circ g = Id$ entraîne $g = f^{- 1}$ .
Cette condition suffisante est aussi évidemment nécessaire.
(d)

$(g \circ f) \circ (g \circ f) = g \circ (f \circ g) \circ f = g \circ f$ et donc $g \circ f$ est un projecteur.

Exercice 9 1717 Correction

Soient $f, g \in ℒ (E)$ tels que

g \circ f \circ g = g et f \circ g \circ f = f .

(a)

Montrer que les espaces $Im (f)$ et $Ker (g)$ sont supplémentaires dans $E$ .
(b)

Justifier que $f (Im (g)) = Im (f)$ .

Solution

(a)

Soit $x \in Im (f) \cap Ker (g)$ .
Il existe $a \in E$ tel que $x = f (a)$ donc

$x = f (a) = (f \circ g \circ f) (a) = (f \circ g) (x) = 0 .$

Soit $x \in E$ .

Analyse: Supposons $x = u + v$ avec $u = f (a) \in Im (f)$ et $v \in Ker (g)$ .
$g (x) = g \circ f (a)$ donc $(f \circ g) (x) = f (a) = u$ .
Synthèse: Posons $u = (f \circ g) (x)$ et $v = x - u$ .
On a $u \in Im (f)$ , $x = u + v$ et $g (v) = g (x) - g (u) = 0$ c’est-à-dire $v \in Ker (g)$ .
(b)

On a immédiatement $f (Im (g)) \subset Im (f)$ .
Inversement, pour $y \in Im (f)$ , on peut écrire $y = f (x)$ avec $x \in E$ .
Par symétrie, on a $E = Im (g) \oplus Ker (f)$ et l’on peut écrire

$x = g (a) + u avec a \in E et u \in Ker (f) .$

On a alors $y = f (g (a)) \in f (Im (g))$ et l’on obtient l’inclusion $Im (f) \subset f (Im (g))$ .

Exercice 10 214 Correction

Soient $f, g \in ℒ (E)$ tels que

g \circ f \circ g = f et f \circ g \circ f = g .

(a)

Montrer que $Ker (f) = Ker (g)$ et $Im (f) = Im (g)$ .
On pose

$F = Ker (f) = Ker (g) et G = Im (f) = Im (g) .$
(b)

Montrer que

$E = F \oplus G .$

Solution

(a)

Si $x \in Ker (f)$ alors $g (x) = (f \circ g \circ f) (x) = 0$ donc $x \in Ker (g)$ . Par symétrie

$Ker (f) = Ker (g) .$

Si $y \in Im (f)$ alors il existe $a \in E$ tel que $y = f (a) = (g \circ f \circ g) (a)$ donc $y \in Im (g)$ . Par symétrie

$Im (f) = Im (g) .$
(b)

Soit $x \in F \cap G$ . Il existe $a \in E$ tel que $x = g (a)$ or

$f (a) = (g \circ f \circ g) (a) = (g \circ f) (x) = g (0) = 0 .$

Ainsi $a \in Ker (f) = Ker (g)$ d’où $x = g (a) = 0$ .
Soit $x \in E$ .

Analyse: Supposons $x = u + v$ avec $u \in F = Ker (f)$ et $v = g (a) \in G = Im (g)$ .
On a

$f (x) = (f \circ g) (a)$

donc

$(g \circ f) (x) = f (a) .$

Synthèse: Puisque $(g \circ f) (x) \in Im (g) = Im (f)$ , il existe $a \in E$ tel que

$(g \circ f) (x) = f (a) .$

Posons alors $v = g (a)$ et $u = x - v$ . On a immédiatement $v \in Im (g)$ et $x = u + v$ .
On a aussi $u \in Ker (f)$ car

$f (u) = f (x) - f (v) \in Im (f)$

et

$g (f (u)) = (g \circ f) (x) - (g \circ f \circ g) (a) = (g \circ f) (x) - f (a) = 0 .$

Ainsi,

$f (u) \in Ker (g) \cap Im (f)$

puis

$f (u) = 0 .$

Exercice 11 1722 Correction

Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes d’un espace vectoriel $E$ tels que $f \circ g = g \circ f$ .

(a)

Montrer que $Ker (f)$ et $Im (f)$ sont stables par $g$ , c’est-à-dire

$g (Ker (f)) \subset Ker (f) et g (Im (f)) \subset Im (f) .$
(b)

En déduire que, si $p$ est un projecteur de $E$ alors

$p et f commutent \Leftrightarrow Im (p) et Ker (p) stables par f .$

Solution

(a)

Soit $x \in Ker (f)$ , $f (g (x)) = g (f (x)) = g (0_{E}) = 0_{E}$ donc $g (x) \in Ker (f)$ . Ainsi $Ker (f)$ est stable par $g$ .
Soit $y \in Im (f)$ . Il existe $x \in E$ tel que $y = f (x)$ et alors $g (y) = g (f (x)) = f (g (x)) \in Im (f)$ donc $Im (f)$ est stable par $g$ .
(b)

$(⟹)$ C’est immédiat via la résultat précédent.

$(⟸)$ Si $Im (p)$ et $Ker (p)$ sont stables par $f$ alors, puisque ces derniers sont supplémentaires dans $E$ . Soit $x \in E$ , on peut écrire $x = u + v$ avec $u \in Im (p)$ et $v \in Ker (p)$ .
On a alors $(f \circ p) (x) = f (p (u) + p (v)) = f (u)$ et $p \circ f (x) = p (f (u)) + p (f (v)) = f (u)$ car $f (u) \in Im (p)$ et $f (v) \in Ker (p)$ . Ainsi,

$\forall x \in E, (f \circ p) (x) = (p \circ f) (x)$

puis $p$ et $f$ commutent.

Exercice 12 212 Correction

Soit $f$ un endomorphisme d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ vérifiant $f^{3} = {Id}_{E}$ . Montrer

Ker (f - {Id}_{E}) \oplus Im (f - {Id}_{E}) = E .

Solution

Soit $x \in Ker (f - {Id}_{E}) \cap Im (f - {Id}_{E})$ .
On a $f (x) = x$ et l’on peut écrire $x = (f - {Id}_{E}) (a) = f (a) - a$ .
$f (x) = f^{2} (a) - f (a)$ , $f^{2} (x) = f^{3} (a) - f^{2} (a) = a - f^{2} (a)$ puis $x + f (x) + f^{2} (x) = 0$ .
Or $x + f (x) + f^{2} (x) = 3 x$ donc $x = 0$ .
Soit $x \in E$ .

Analyse: Supposons $x = u + v$ avec $u \in Ker (f - {Id}_{E})$ et $v \in Im (f - {Id}_{E})$ .
On peut écrire $v = f (a) - a$ .
Ainsi $x = u + f (a) - a, f (x) = u + f^{2} (a) - f (a), f^{2} (x) = u + a - f^{2} (a)$ .
Donc $u = \frac{1}{3} (x + f (x) + f^{2} (x))$ .

Synthèse: Posons $u = \frac{1}{3} (x + f (x) + f^{2} (x))$ et $v = x - u$ .
On a $f (u) = u$ car $f^{3} (x) = x$ et

v = \frac{2}{3} x - \frac{1}{3} f (x) - \frac{1}{3} f^{2} (x) = \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} f (x) - \frac{1}{3} f^{2} (x) + \frac{1}{3} f^{3} (x)

donc

v = (f - {Id}_{E}) (- \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} f^{2} (x)) \in Im (f - {Id}_{E}) .

Finalement,

Ker (f - {Id}_{E}) \oplus Im (f - {Id}_{E}) = E .

Exercice 13 3241

Soient $E, E^{'}, E^{''}$ trois espaces vectoriels et $u \in ℒ (E, E^{'})$ , $v \in ℒ (E^{'}, E^{''})$ et $w = v \circ u$ .

À quelles conditions sur $u$ et $v$ peut-on affirmer que $w$ est un isomorphisme?

Images et noyaux