[<] Étude de linéarité [>] Image directe ou réciproque de sous-espaces vectoriels

 
Exercice 1  1712  

Soient E, E et E′′ des espaces vectoriels et f(E,E), g(E,E′′). Montrer

gf=0Im(f)Ker(g).
 
Exercice 2  1713  

Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E. Vérifier:

  • (a)

    Ker(f)Ker(g)Ker(f+g)

  • (b)

    Im(f)+Im(g)Im(f+g)

  • (c)

    Ker(f)Ker(f2)

  • (d)

    Im(f)Im(f2).

 
Exercice 3  1714   

Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E. Établir

  • (a)

    Im(f)Ker(f)={0E}Ker(f)=Ker(f2).

  • (b)

    E=Im(f)+Ker(f)Im(f)=Im(f2).

 
Exercice 4  1715   Correction  

Soient E un 𝕂-espace vectoriel et f(E) tel que

f2-3f+2Id=0.
  • (a)

    Montrer que f est inversible et exprimer son inverse en fonction de f.

  • (b)

    Établir que Ker(f-Id) et Ker(f-2Id) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E.

Solution

  • (a)

    Posons g=12(3Id-f)(E). On a fg=32f-12f2=Id et de même gf=Id donc f est un automorphisme et f-1=g.

  • (b)

    En tant que noyaux d’applications linéaires, Ker(f-Id) et Ker(f-2Id) sont des sous-espaces vectoriels de E.
    Soit xKer(f-Id)Ker(f-2Id). On a f(x)=x et f(x)=2x donc x=0E. Ainsi,

    Ker(f-Id)Ker(f-2Id)={0E}.

    Soit xE. Posons u=2x-f(x) et v=f(x)-x.
    On a u+v=x, f(u)=2f(x)-f2(x)=2x-f(x)=u donc uKer(f-Id) et f(v)=f2(x)-f(x)=2f(x)-2x=2v donc vKer(f-2Id). Ainsi,

    E=Ker(f-Id)+Ker(f-2Id).

    Finalement, Ker(f-Id) et Ker(f-2Id) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E.

 
Exercice 5  4213   

(Noyaux et images itérés)

Soient f un endomorphisme d’un espace vectoriel E et p. On note

f0=IdEetfn=fffn facteurspour tout n*.
  • (a)

    Montrer que, si Ker(fp)=Ker(fp+1), alors Ker(fp)=Ker(fp+k) pour tout k.

  • (b)

    Établir la même propriété avec les espaces images.

  • (c)

    Donner un exemple d’endomorphisme f pour lequel il n’existe pas d’entiers p tels que Ker(fp)=Ker(fp+1).

  • (d)

    Même question avec les espaces images.

 
Exercice 6  1716   

Soit f,g,h(E) tels que fg=h, gh=f et hf=g.

  • (a)

    Montrer que f, g et h ont même noyau et même image.

  • (b)

    Vérifier f5=f.

  • (c)

    En déduire que l’image et le noyau de f sont supplémentaires dans E.

 
Exercice 7  1754   Correction  

Soient f et g deux endomorphismes d’un 𝕂-espace vectoriel E vérifiant fg=Id.

Montrer que Ker(f)=Ker(gf), Im(g)=Im(gf) puis que Ker(f) et Im(g) sont supplémentaires.

Solution

On a toujours Ker(f)Ker(gf).
Inversement, pour xKer(gf), on a gf(x)=0 donc fgf(x)=f(0)=0. Or fg=Id donc f(x)=0.
Ainsi Ker(gf)Ker(f) puis Ker(gf)=Ker(f).
On a toujours Im(gf)Im(g).
Inversement, pour yIm(g), il existe xE tel que y=g(x) et alors y=gfg(x)=(gf)(g(x))Im(gf).
Ainsi Im(g)Im(gf) puis Im(gf)=Im(g)
Soit xKer(f)Im(g). Il existe aE tel que x=g(a) et alors f(x)=0 donne f(g(a))=0 d’où a=0 car fg=Id. On en déduit x=g(a)=0 et donc Ker(f)Im(g)={0}.
Soit xE. On peut écrire x=(x-g(f(x)))+g(f(x)) avec g(f(x))Im(g) et x-g(f(x))Ker(f) car

f(x-g(f(x)))=f(x)-(fg)(f(x))=f(x)-f(x)=0.

Ainsi E=Ker(f)+Im(g) et finalement Ker(f) et Im(g) sont supplémentaires dans E.

 
Exercice 8  3360     CCP (MP)Correction  

Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E sur ou vérifiant fg=Id.

  • (a)

    Montrer que Ker(gf)=Ker(f) et Im(gf)=Im(g).

  • (b)

    Montrer

    E=Ker(f)Im(g).
  • (c)

    Dans quel cas peut-on conclure g=f-1?

  • (d)

    Calculer (gf)(gf) et caractériser gf

Solution

  • (a)

    Evidemment Ker(f)Ker(gf) et Im(gf)Im(g).
    Pour xKer(gf), on a f(x)=f(g(f(x))=f(0)=0 donc xKer(f).
    Pour yIm(g), il existe xE tel que y=g(x) et alors y=g(f(g(x)))=g(f(a))Im(gf).

  • (b)

    Si xKer(f)Im(g) alors on peut écrire x=g(a) et puisque f(x)=0, a=f(g(a))=0 donc x=0.
    Pour xE, on peut écrire x=(x-g(f(x))+g(f(x)) avec x-g(f(x))Ker(f) et g(f(x))Im(g).

  • (c)

    Si f est inversible alors fg=Id entraîne g=f-1.
    Cette condition suffisante est aussi évidemment nécessaire.

  • (d)

    (gf)(gf)=g(fg)f=gf et donc gf est un projecteur.

 
Exercice 9  1717   Correction  

Soient f,g(E) tels que

gfg=getfgf=f.
  • (a)

    Montrer que les espaces Im(f) et Ker(g) sont supplémentaires dans E.

  • (b)

    Justifier que f(Im(g))=Im(f).

Solution

  • (a)

    Soit xIm(f)Ker(g).
    Il existe aE tel que x=f(a) donc

    x=f(a)=(fgf)(a)=(fg)(x)=0.

    Soit xE.

    Analyse: Supposons x=u+v avec u=f(a)Im(f) et vKer(g).
    g(x)=gf(a) donc (fg)(x)=f(a)=u.
    Synthèse: Posons u=(fg)(x) et v=x-u.
    On a uIm(f), x=u+v et g(v)=g(x)-g(u)=0 c’est-à-dire vKer(g).

  • (b)

    On a immédiatement f(Im(g))Im(f).
    Inversement, pour yIm(f), on peut écrire y=f(x) avec xE.
    Par symétrie, on a E=Im(g)Ker(f) et l’on peut écrire

    x=g(a)+u avec aE et uKer(f).

    On a alors y=f(g(a))f(Im(g)) et l’on obtient l’inclusion Im(f)f(Im(g)).

 
Exercice 10  214   Correction  

Soient f,g(E) tels que

gfg=fetfgf=g.
  • (a)

    Montrer que Ker(f)=Ker(g) et Im(f)=Im(g).
    On pose

    F=Ker(f)=Ker(g)etG=Im(f)=Im(g).
  • (b)

    Montrer que

    E=FG.

Solution

  • (a)

    Si xKer(f) alors g(x)=(fgf)(x)=0 donc xKer(g). Par symétrie

    Ker(f)=Ker(g).

    Si yIm(f) alors il existe aE tel que y=f(a)=(gfg)(a) donc yIm(g). Par symétrie

    Im(f)=Im(g).
  • (b)

    Soit xFG. Il existe aE tel que x=g(a) or

    f(a)=(gfg)(a)=(gf)(x)=g(0)=0.

    Ainsi aKer(f)=Ker(g) d’où x=g(a)=0.
    Soit xE.

    Analyse: Supposons x=u+v avec uF=Ker(f) et v=g(a)G=Im(g).
    On a

    f(x)=(fg)(a)

    donc

    (gf)(x)=f(a).

    Synthèse: Puisque (gf)(x)Im(g)=Im(f), il existe aE tel que

    (gf)(x)=f(a).

    Posons alors v=g(a) et u=x-v. On a immédiatement vIm(g) et x=u+v.
    On a aussi uKer(f) car

    f(u)=f(x)-f(v)Im(f)

    et

    g(f(u))=(gf)(x)-(gfg)(a)=(gf)(x)-f(a)=0.

    Ainsi,

    f(u)Ker(g)Im(f)

    puis

    f(u)=0.
 
Exercice 11  1722   Correction  

Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E tels que fg=gf.

  • (a)

    Montrer que Ker(f) et Im(f) sont stables par g, c’est-à-dire

    g(Ker(f))Ker(f)etg(Im(f))Im(f).
  • (b)

    En déduire que, si p est un projecteur de E alors

    p et f commutentIm(p) et Ker(p) stables par f.

Solution

  • (a)

    Soit xKer(f), f(g(x))=g(f(x))=g(0E)=0E donc g(x)Ker(f). Ainsi Ker(f) est stable par g.
    Soit yIm(f). Il existe xE tel que y=f(x) et alors g(y)=g(f(x))=f(g(x))Im(f) donc Im(f) est stable par g.

  • (b)

    () C’est immédiat via la résultat précédent.

    () Si Im(p) et Ker(p) sont stables par f alors, puisque ces derniers sont supplémentaires dans E. Soit xE, on peut écrire x=u+v avec uIm(p) et vKer(p).
    On a alors (fp)(x)=f(p(u)+p(v))=f(u) et pf(x)=p(f(u))+p(f(v))=f(u) car f(u)Im(p) et f(v)Ker(p). Ainsi,

    xE,(fp)(x)=(pf)(x)

    puis p et f commutent.

 
Exercice 12  212   Correction  

Soit f un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel E vérifiant f3=IdE. Montrer

Ker(f-IdE)Im(f-IdE)=E.

Solution

Soit xKer(f-IdE)Im(f-IdE).
On a f(x)=x et l’on peut écrire x=(f-IdE)(a)=f(a)-a.
f(x)=f2(a)-f(a), f2(x)=f3(a)-f2(a)=a-f2(a) puis x+f(x)+f2(x)=0.
Or x+f(x)+f2(x)=3x donc x=0.
Soit xE.

Analyse: Supposons x=u+v avec uKer(f-IdE) et vIm(f-IdE).
On peut écrire v=f(a)-a.
Ainsi x=u+f(a)-a,f(x)=u+f2(a)-f(a),f2(x)=u+a-f2(a).
Donc u=13(x+f(x)+f2(x)).

Synthèse: Posons u=13(x+f(x)+f2(x)) et v=x-u.
On a f(u)=u car f3(x)=x et

v=23x-13f(x)-13f2(x)=13x-13f(x)-13f2(x)+13f3(x)

donc

v=(f-IdE)(-13x+13f2(x))Im(f-IdE).

Finalement,

Ker(f-IdE)Im(f-IdE)=E.
 
Exercice 13  3241    

Soient E,E,E′′ trois espaces vectoriels et u(E,E), v(E,E′′) et w=vu.

À quelles conditions sur u et v peut-on affirmer que w est un isomorphisme?

[<] Étude de linéarité [>] Image directe ou réciproque de sous-espaces vectoriels



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax