Soient $x,y\in E\setminus \mathrm{Ker}(f)$.
Si la famille $(f(x),f(y))$ est libre alors les deux égalités

$$g(x+y)={\lambda }_{x+y}\left(f(x)+f(y)\right)\text{ et }g(x+y)={\lambda }_{x}f(x)+{\lambda }_{y}f(y)$$

entraînent ${\lambda }_x={\lambda }_y$ par identification des coefficients.
Si la famille $(f(x),f(y))$ est liée avec alors on peut écrire

$$f(y)=\alpha f(x)\text{ avec }\alpha \ne 0$$

et donc $y-\alpha x\in \mathrm{Ker}(f)$. Or il est immédiat d’observer que le noyau de $f$ est inclus dans celui de $g$ et donc

$$g(y)=\alpha g(x)\text{.}$$

De plus,

$$\alpha g(x)=\alpha {\lambda }_{x}f(x)\text{ et }g(y)=\alpha {\lambda }_{y}f(x)$$

donc à nouveau ${\lambda }_x={\lambda }_y$.
Posons $\lambda$ la valeur commune des scalaires ${\lambda }_x$ pour $x$ parcourant $E\setminus \mathrm{Ker}(f)$.
Pour tout $x\in E$, qu’il soit dans $\mathrm{Ker}(f)$ ou non, on peut affirmer

$$g(x)=\lambda f(x)$$

et donc $g=\lambda f$.

• (a)

  Si $a=0$ ou $n=2$, la famille est assurément liée, peu importe l’endomorphisme $f$: $F_a=ℒ(E)$.

• (b)

  $F_a\subset ℒ(E)$ et $0\in F_a$. Soit $f,g\in F_a$ et $\lambda ,\mu \in ℝ$.

  Pour tout $x\in E$, les familles $(x,f(x),a)$ et $(x,g(x),a)$ sont liées.

  Si $(x,a)$ est liée alors assurément $(x,(\lambda .f+\mu .g)(x),a)$ liée.

  Si $(x,a)$ est libre

  $$f(x)\in \mathrm{Vect}(x,a)\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}g(x)\in \mathrm{Vect}(x,a)\text{ donc }(\lambda .f+\mu .g)(x)\in \mathrm{Vect}(x,a)$$

  et donc $(x,(\lambda .f+\mu .g)(x),a)$ est liée.

• (c)

  «  Classiquement  », ce sont les homothéties vectorielles: $v=\lambda .{\mathrm{Id}}_H$.

• (d)

  Les cas $n=2$ et $a=0$ étant déjà résolus, on suppose $n\ge 3$ et $a\ne 0$.

  Soit $\phi$ une forme linéaire telle que $\phi (a)=1$, $H$ son noyau et $p$ la projection sur $H$ parallèlement à $\mathrm{Vect}(a)$:

  $$p(x)=x-\phi (x).a\text{.}$$

  Pour tout $x\in E$, on a

  $$\mathrm{Vect}(x,f(x),a)=\mathrm{Vect}(p(x),p\left(f(x)\right),a)=\mathrm{Vect}(p(x),p\left(f(x)\right))\oplus \mathrm{Vect}(a)\text{.}$$

  Si la famille $(x,f(x),a)$ est liée alors la famille $(p(x),p\left(f(x)\right))$ l’est aussi. On en déduit qu’il existe $\lambda \in 𝕂$ tel que

  $$\forall x\in H,p\left(f(x)\right)=\lambda .x\mathit{\hspace{1em}}\text{c’est-à-dire}\mathit{\hspace{1em}}f(x)=\lambda .x+\phi (f(x)).a\text{.}$$

  On a alors

  	$\forall x\in E,f(x)$	$=f(\phi (x).a+x-\phi (x).a)$
  		$=\phi (x).f(a)+f\left(\underset{\begin{array}{c}\in H\end{array}}{\underbrace{x-\phi (x).a}}\right)$
  		$=\phi (x).f(a)+\lambda .x-\lambda \phi (x).a+\phi (f(x)).a-\phi (x)\phi (f(a)).a$
  		$=\phi (x).f(a)+\lambda .x+\psi (x).a$

  avec $\psi$ une forme linéaire.

  Pour suivre, montrons que $f(a)$ est colinéaire à $a$.

  Soit $b$ un vecteur indépendant de $a$.

  La famille $(b,f(b),a)$ est liée donc $f(b)\in \mathrm{Vect}(a,b)$.

  La famille $(a+b,f(a)+f(b),a)$ est liée donc $f(a)+f(b)\in \mathrm{Vect}(a+b,a)=\mathrm{Vect}(a,b)$ puis $f(a)\in \mathrm{Vect}(a,b)$.

  Soit $c$ un vecteur n’appartenant pas à $\mathrm{Vect}(a,b)$ (possible car $n\ge 3$). Par le raisonnement ci-dessus, $f(a)\in \mathrm{Vect}(a,c)$ et donc

  $$f(a)\in \mathrm{Vect}(a,b)\cap \mathrm{Vect}(a,c)=\mathrm{Vect}(a)\text{.}$$

  On en déduit que la fonction $f$ s’exprime

  $$f(x)=\lambda .x+\theta (x).a\mathit{\hspace{1em}}\text{avec }\theta \text{ une forme linéaire.}$$

  La réciproque étant immédiate, et l’écriture ci-dessus étant unique, on peut conclure

  $$dim{F}_a=dim\left(𝕂\times E^{*}\right)=n+1\text{.}$$