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Exercice 1  1658   

Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E tel que la famille (x,f(x)) est liée pour tout vecteur x de E.

  • (a)

    Justifier que pour tout xE, il existe un scalaire α tel que f(x)=α.x.

  • (b)

    En déduire que f est une homothétie vectorielle.

 
Exercice 2  3418   Correction  

Soient f,g(E,F). On suppose

xE,λx𝕂,g(x)=λxf(x).

Montrer qu’il existe λ𝕂 tel que

g=λf.

Solution

Soient x,yEKer(f).
Si la famille (f(x),f(y)) est libre alors les deux égalités

g(x+y)=λx+y(f(x)+f(y)) et g(x+y)=λxf(x)+λyf(y)

entraînent λx=λy par identification des coefficients.
Si la famille (f(x),f(y)) est liée avec alors on peut écrire

f(y)=αf(x) avec α0

et donc y-αxKer(f). Or il est immédiat d’observer que le noyau de f est inclus dans celui de g et donc

g(y)=αg(x).

De plus,

αg(x)=αλxf(x) et g(y)=αλyf(x)

donc à nouveau λx=λy.
Posons λ la valeur commune des scalaires λx pour x parcourant EKer(f).
Pour tout xE, qu’il soit dans Ker(f) ou non, on peut affirmer

g(x)=λf(x)

et donc g=λf.

 
Exercice 3  4162      CENTRALE (MP)Correction  

Soit E un -espace vectoriel de dimension n2. Pour aE, on note Fa l’ensemble des endomorphismes f de E tels que, pour tout xE, la famille (x,f(x),a) est liée.

  • (a)

    Déterminer Fa lorsque a=0 puis lorsque n=2.

  • (b)

    Montrer que Fa est un espace vectoriel pour tout aE.

  • (c)

    Soit H un espace vectoriel de dimension finie. Caractériser les endomorphismes v de H tels que pour tout hH, la famille (h,v(h)) soit liée.

  • (d)

    Déterminer la dimension de Fa.

Solution

  • (a)

    Si a=0 ou n=2, la famille est assurément liée, peu importe l’endomorphisme f: Fa=(E).

  • (b)

    Fa(E) et 0Fa. Soit f,gFa et λ,μ.

    Pour tout xE, les familles (x,f(x),a) et (x,g(x),a) sont liées.

    Si (x,a) est liée alors assurément (x,(λ.f+μ.g)(x),a) liée.

    Si (x,a) est libre

    f(x)Vect(x,a)etg(x)Vect(x,a) donc (λ.f+μ.g)(x)Vect(x,a)

    et donc (x,(λ.f+μ.g)(x),a) est liée.

  • (c)

    «  Classiquement  », ce sont les homothéties vectorielles: v=λ.IdH.

  • (d)

    Les cas n=2 et a=0 étant déjà résolus, on suppose n3 et a0.

    Soit φ une forme linéaire telle que φ(a)=1, H son noyau et p la projection sur H parallèlement à Vect(a):

    p(x)=x-φ(x).a.

    Pour tout xE, on a

    Vect(x,f(x),a)=Vect(p(x),p(f(x)),a)=Vect(p(x),p(f(x)))Vect(a).

    Si la famille (x,f(x),a) est liée alors la famille (p(x),p(f(x))) l’est aussi. On en déduit qu’il existe λ𝕂 tel que

    xH,p(f(x))=λ.xc’est-à-diref(x)=λ.x+φ(f(x)).a.

    On a alors

    xE,f(x) =f(φ(x).a+x-φ(x).a)
    =φ(x).f(a)+f(x-φ(x).aH)
    =φ(x).f(a)+λ.x-λφ(x).a+φ(f(x)).a-φ(x)φ(f(a)).a
    =φ(x).f(a)+λ.x+ψ(x).a

    avec ψ une forme linéaire.

    Pour suivre, montrons que f(a) est colinéaire à a.

    Soit b un vecteur indépendant de a.

    La famille (b,f(b),a) est liée donc f(b)Vect(a,b).

    La famille (a+b,f(a)+f(b),a) est liée donc f(a)+f(b)Vect(a+b,a)=Vect(a,b) puis f(a)Vect(a,b).

    Soit c un vecteur n’appartenant pas à Vect(a,b) (possible car n3). Par le raisonnement ci-dessus, f(a)Vect(a,c) et donc

    f(a)Vect(a,b)Vect(a,c)=Vect(a).

    On en déduit que la fonction f s’exprime

    f(x)=λ.x+θ(x).aavec θ une forme linéaire.

    La réciproque étant immédiate, et l’écriture ci-dessus étant unique, on peut conclure

    dimFa=dim(𝕂×E*)=n+1.

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Édité le 08-11-2019

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