Exercice 1 3314 Correction

Soit $H$ un hyperplan d’un $𝕂$ -espace vectoriel de $E$ de dimension quelconque.
Soit $a$ un vecteur de $E$ qui n’appartient pas à $H$ . Montrer

H \oplus Vect (a) = E .

Solution

Puisque $a \notin H$ , on vérifie aisément

Vect (a) \cap H = {0_{E}} .

Soit $φ$ une forme linéaire non nulle telle que $H = Ker (φ)$ .
Pour tout $x \in E$ , on peut écrire

x = (x - λ a) + λ a avec λ = φ (x) / φ (a) .

Puisque $φ (x - λ a) = 0$ , on a $x - λ a \in H$ et puisque $λ a \in Vect (a)$ , on obtient

E = H + Vect (a) .

Exercice 2 3315 Correction

Soit $H$ un hyperplan d’un $𝕂$ -espace vectoriel de $E$ de dimension quelconque.
On suppose que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ contenant $H$ . Montrer

F = H ou F = E .

Solution

Si $F \neq H$ alors il existe $a \in F$ tel que $a \notin H$ .
On a alors

H \oplus Vect (a) = E

et puisque $H \subset F$ et $Vect (a) \subset F$ , on peut conclure $E = F$

Exercice 3 208 Correction

Soient $f$ et $g$ deux formes linéaires sur un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ . On suppose $Ker (f) = Ker (g)$ .

Montrer qu’il existe $α \in 𝕂$ tel que $g = α . f$ .

Solution

Cas: $f$ est la forme linéaire nulle. Par égalité des noyaux, $g$ est aussi la forme linéaire nulle et la conclusion est immédiate.

Cas: $f$ n’est pas la forme linéaire nulle. On introduit $a \in E ∖ Ker (f)$ . On sait qu’alors les sous-espaces vectoriels $Vect (a)$ et $Ker (f)$ sont supplémentaires dans $E$ . On pose

α = \frac{g (a)}{f (a)} \in 𝕂

de sorte que $g (a) = α . f (a)$ .

La forme linéaire $h = g - α . f$ est nulle sur $Vect (a)$ et sur $Ker (f)$ donc sur $E$ . On conclut $g = α . f$ .

Formes linéaires et hyperplans