[<] Projections et symétries vectorielles

 
Exercice 1  3314  Correction  

Soit H un hyperplan d’un 𝕂-espace vectoriel de E de dimension quelconque.
Soit a un vecteur de E qui n’appartient pas à H. Montrer

HVect(a)=E.

Solution

Puisque aH, on vérifie aisément

Vect(a)H={0E}.

Soit φ une forme linéaire non nulle telle que H=Ker(φ).
Pour tout xE, on peut écrire

x=(x-λa)+λa avec λ=φ(x)/φ(a).

Puisque φ(x-λa)=0, on a x-λaH et puisque λaVect(a), on obtient

E=H+Vect(a).
 
Exercice 2  3315  Correction  

Soit H un hyperplan d’un 𝕂-espace vectoriel de E de dimension quelconque.
On suppose que F est un sous-espace vectoriel de E contenant H. Montrer

F=HouF=E.

Solution

Si FH alors il existe aF tel que aH.
On a alors

HVect(a)=E

et puisque HF et Vect(a)F, on peut conclure E=F

 
Exercice 3  208   Correction  

Soient f,gE* telles que Ker(f)=Ker(g).

Montrer qu’il existe α𝕂 tel que g=α.f.

Solution

Si f est la forme linéaire nulle, la conclusion est immédiate.

Sinon, on introduit aKer(f) de sorte que Vect(a) et Ker(f) sont supplémentaires. On introduit ensuite α𝕂 tel que que g(a)=α.f(a). On peut alors conclure que la forme linéaire h=g-α.f est nulle car s’annule sur les deux espaces supplémentaires Vect(a) et Ker(f).

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Édité le 08-11-2019

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