Exercice 1 3314 Correction

Soit $H$ un hyperplan d’un $𝕂$ -espace vectoriel de $E$ de dimension quelconque.
Soit $a$ un vecteur de $E$ qui n’appartient pas à $H$ . Montrer

H \oplus Vect (a) = E .

Solution

Puisque $a \notin H$ , on vérifie aisément

Vect (a) \cap H = {0_{E}} .

Soit $φ$ une forme linéaire non nulle telle que $H = Ker (φ)$ .
Pour tout $x \in E$ , on peut écrire

x = (x - λ a) + λ a avec λ = φ (x) / φ (a) .

Puisque $φ (x - λ a) = 0$ , on a $x - λ a \in H$ et puisque $λ a \in Vect (a)$ , on obtient

E = H + Vect (a) .

Exercice 2 3315 Correction

Soit $H$ un hyperplan d’un $𝕂$ -espace vectoriel de $E$ de dimension quelconque.
On suppose que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ contenant $H$ . Montrer

F = H ou F = E .

Solution

Si $F \neq H$ alors il existe $a \in F$ tel que $a \notin H$ .
On a alors

H \oplus Vect (a) = E

et puisque $H \subset F$ et $Vect (a) \subset F$ , on peut conclure $E = F$

Exercice 3 208 Correction

Soient $f, g \in E^{*}$ telles que $Ker (f) = Ker (g)$ .

Montrer qu’il existe $α \in 𝕂$ tel que $g = α . f$ .

Solution

Si $f$ est la forme linéaire nulle, la conclusion est immédiate.

Sinon, on introduit $a \notin Ker (f)$ de sorte que $Vect (a)$ et $Ker (f)$ sont supplémentaires. On introduit ensuite $α \in 𝕂$ tel que que $g (a) = α . f (a)$ . On peut alors conclure que la forme linéaire $h = g - α . f$ est nulle car s’annule sur les deux espaces supplémentaires $Vect (a)$ et $Ker (f)$ .

Formes linéaires et hyperplans