[>] Images et noyaux

 
Exercice 1  1703  Correction  

Les applications entre -espaces vectoriels suivantes sont-elles linéaires:

  • (a)

    f:3 définie par f(x,y,z)=x+y+2z

  • (b)

    f:2 définie par f(x,y)=x+y+1

  • (c)

    f:2 définie par f(x,y)=xy

  • (d)

    f:3 définie par f(x,y,z)=x-z?

Solution

  • (a)

    oui b) non c) non d) oui

 
Exercice 2  4384  

Étudier la linéarité des applications suivantes, préciser leur noyau et leur image, préciser aussi si celles-ci sont injectives ou surjectives:

  • (a)

    f:32 définie par f(x,y,z)=(2x+y-z,x+y).

  • (b)

    M:[X][X] définie par M(P)=XP.

  • (c)

    φ:𝒞1(,𝕂)𝒞(,𝕂) définie par φ(f)=f-f.

  • (d)

    T: définie par T((un)n)=(un+1)n.

  • (e)

    f: définie par f(z)=Im(z)-Re(z).

 
Exercice 3  1704  Correction  

Soit f:22 définie par f(x,y)=(x+y,x-y).
Montrer que f est un automorphisme de 2 et déterminer son automorphisme réciproque.

Solution

Soient λ,μ et u=(x,y),v=(x,y)2

f(λu+μv)=f(λx+μx,λy+μy)

donne

f(λu+μv)=((λx+μx)+(λy+μy),(λx+μx)-(λy+μy))

donc

f(λu+μv)=λ(x+y,x-y)+μ(x+y,x-y)=λf(u)+μf(v).

De plus, f:22 donc f est un endomorphisme de 2.
Pour tout (x,y)2 et tout (x,y)2

{x=x+yy=x-y{x=(x+y)/2y=(x-y)/2.

Par suite, chaque (x,y)2 possède un unique antécédent par f:

((x+y)/2,(x-y)/2)

f est donc bijective.

Finalement, f est un automorphisme de 2 et

f-1:(x,y)((x+y)2,(x-y)2).
 
Exercice 4  1705  Correction  

Soit J:𝒞([0;1],) définie par J(f)=01f(t)dt.
Montrer que J est une forme linéaire.

Solution

Soient λ,μ et f,g𝒞([0;1],),

J(λf+μg)=01λf(t)+μg(t)dt

et par linéarité de l’intégrale

J(λf+μg)=λ01f(t)dt+μ01g(t)dt=λJ(f)+μJ(g).

De plus, J:𝒞([0;1],) donc J est une forme linéaire sur 𝒞([0;1],).

 
Exercice 5  1706   Correction  

Soit φ:𝒞(,)𝒞(,) définie par φ(f)=f′′-3f+2f.
Montrer que φ est un endomorphisme et préciser son noyau.

Solution

Soient λ,μ et f,g𝒞(,),

φ(λf+μg)=(λf+μg)′′-3(λf+μg)+2(λf+μg)

puis

φ(λf+μg)=λ(f′′-3f+2f)+μ(g′′-3g+2g)

donc

φ(λf+μg)=λφ(f)+μφ(g).

De plus, φ:𝒞(,)𝒞(,) donc φ est un endomorphisme 𝒞(,).

fKer(φ)f′′-3f+2f=0.

C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants d’équation caractéristique r2-3r+2=0 de racines 1 et 2. La solution générale est

f(x)=C1ex+C2e2x.

Par suite,

Ker(φ)={C1ex+C2e2x|C1,C2}.
 
Exercice 6  1707   Correction  

Soient a un élément d’un ensemble X non vide et E un 𝕂-espace vectoriel.

  • (a)

    Montrer que Ea:(X,E)E définie par Ea(f)=f(a) est une application linéaire.

  • (b)

    Déterminer l’image et le noyau de l’application Ea.

Solution

  • (a)

    Soient λ,μ𝕂 et f,g(X,E),

    Ea(λf+μg)=(λf+μg)(a)=λf(a)+μg(a)=λEa(f)+μEa(g).

    Par suite, Ea est une application linéaire.

  • (b)

    fKer(Ea)f(a)=0. Ker(Ea)={f(X,E)|f(a)=0}.
    Im(Ea)E et pour toutxE, en considérant f:XE la fonction constante égale à x, on a Ea(f)=x. Par suite, xIm(Ea) et donc EIm(Ea). Par double inclusion Im(Ea)=E.

 
Exercice 7  1708   

On note E l’espace vectoriel réel des applications indéfiniment dérivables de vers . Soient D:EE et I:EE les applications qui associent à fE respectivement sa dérivée et sa primitive s’annulant en 0.

  • (a)

    Vérifier que D et I sont des endomorphismes de E.

  • (b)

    Exprimer DI et ID.

  • (c)

    Déterminer les images et noyaux de D et I.

 
Exercice 8  2012   Correction  

Montrer que l’application partie entière Ent:𝕂(X)𝕂[X] est linéaire et déterminer son noyau.

Solution

Soient λ,μ𝕂 et F,G𝕂(X). On peut écrire

F=Ent(F)+F^ et G=Ent(G)+G^

avec deg(F^),deg(G^)<0.
Puisque

λF+μG=λEnt(F)+μEnt(G)+λF^+μG^

avec deg(λF^+μG^)<0 on a

Ent(λF+μG)=λEnt(F)+μEnt(G).

Ainsi Ent est linéaire.

Ker(Ent)={F𝕂(X)|deg(F)<0}.

 [>] Images et noyaux



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax