Les applications entre -espaces vectoriels suivantes sont-elles linéaires:
définie par
définie par
définie par
définie par ?
Solution
oui.
non.
non.
oui.
Étudier la linéarité des applications suivantes, préciser leur noyau et leur image, préciser aussi si celles-ci sont injectives ou surjectives:
définie par .
définie par .
définie par .
définie par .
définie par .
Soit définie par .
Montrer que est un automorphisme de et déterminer son automorphisme réciproque.
Solution
Soient et
donne
donc
De plus, donc est un endomorphisme de .
Pour tout et tout
Par suite, chaque possède un unique antécédent par :
est donc bijective.
Finalement, est un automorphisme de et
Soit définie par .
Montrer que est une forme linéaire.
Solution
Soient et ,
et par linéarité de l’intégrale
De plus, donc est une forme linéaire sur .
Soit définie par .
Montrer que est un endomorphisme et préciser son noyau.
Solution
Soient et ,
puis
donc
De plus, donc est un endomorphisme .
C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants d’équation caractéristique de racines et . La solution générale est
Par suite,
Soient un élément d’un ensemble non vide et un -espace vectoriel.
Montrer que définie par est une application linéaire.
Déterminer l’image et le noyau de l’application .
Solution
Soient et ,
Par suite, est une application linéaire.
. .
et pour tout , en considérant la fonction constante égale à , on a . Par suite, et donc . Par double inclusion .
On note l’espace vectoriel réel des applications indéfiniment dérivables de vers . Soient et les applications qui associent à respectivement sa dérivée et sa primitive s’annulant en .
Vérifier que et sont des endomorphismes de .
Exprimer et .
Déterminer les images et noyaux de et .
Montrer que l’application partie entière est linéaire et déterminer son noyau.
Solution
Soient et . On peut écrire
avec .
Puisque
avec on a
Ainsi est linéaire.
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel réel . On considère l’application donnée par .
Montrer que est linéaire et préciser son noyau.
Solution
Soient et . Par opérations sur les endomorphismes,
L’application est linéaire (et c’est un endomorphisme de , autrement dit un élément de ).
Pour , on sait
Le noyau de correspond à l’ensemble des endomorphismes à valeurs dans , autrement dit .
Édité le 22-03-2024
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