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Exercice 1  5267  

Résoudre les équations suivantes d’inconnue x réelle:

  • (a)

    x=2x-1+2

  • (b)

    ex-4e-x=3.

 
Exercice 2  2115  Correction  

Résoudre les équations suivantes d’inconnue x:

  • (a)

    x=2x-1[1]

  • (b)

    3x=2-x[π]

  • (c)

    nx=0[π] (avec n*)

Solution

  • (a)

    x=2x-1[1]-x=-1[1]x=1[1], 𝒮=.

  • (b)

    3x=2-x[π]4x=2[π]x=12[π4], 𝒮={kπ+24|k}.

  • (c)

    nx=0[π]x=0[πn],

    𝒮={kπn|k}.
 
Exercice 3  2116   Correction  

Observer que

x=20+1423+20-1423

est solution d’une équation de la forme x3=αx+β avec α,β. Résoudre cette dernière et déterminer x.

Solution

On remarque

x3=6x+40

4 est solution apparente de cette équation.

x3-6x-40=(x-4)(x2+4x+10).

Les solutions de l’équation sont 4,-2+i6,-2-i6. Le nombre x correspond à la seule solution réelle donc x=4.

 
Exercice 4  5014  

Résoudre les inéquations suivantes d’inconnue x réelle:

  • (a)

    1x12

  • (b)

    2x-1x+21

  • (c)

    3+x-1<x

  • (d)

    |2x-1|+|x-3|7.

 
Exercice 5  5189  

Résoudre les systèmes d’inconnues réelles qui suivent:

  • (a)

    {x+y+2z=1x+2y+z=22x-y+z=1

  • (b)

    {x+y-z=12x-y+z=2-x+2y-2z=3

  • (c)

    {x-z=1-x+y+2z=0x+2y+z=3

  • (d)

    {2x+y+z=0x+y-z=1x+2y+z=2-x+3y-z=5

  • (e)

    {x-y+2z+t=12x-3y+z-t=1-x+2y+z+t=1.

 
Exercice 6  2118  Correction  

Résoudre les systèmes suivants d’inconnue (x,y,z)3:

  • (a)

    {x+2y-z=1x-y+z=2xyz=0

  • (b)

    {x+2y-z=1x-y+2z=23x-y+z=3

  • (c)

    {x+y+z=1x-y+3z=22x-y+z=3

Solution

  • (a)

    Si (x,y,z) est solution alors (3) donne x=0,y=0 ou z=0.
    Si x=0 alors y=3,z=5. Si y=0 alors x=32,z=12. Si z=0 alors x=53,y=-13.
    Inversement: ok.

    Finalement, 𝒮={(0,3,5),(32,0,12),(53,-13,0)}.

  • (b)

    𝒮={(89,49,79)}.

  • (c)

    𝒮={(54,-38,18)}.

 
Exercice 7  2119   Correction  

Résoudre le système

{x-ay+z=2x+(a+1)z=3x+ay+3z=4

d’inconnue (x,y,z)3, a désignant un paramètre réel.

Solution

On a

{x-ay+z=2x+(a+1)z=3x+ay+3z=4{x-ay+z=2ay+az=1ay+z=1{x-ay+z=2ay+az=1(1-a)z=0.

Si a=1 alors le système a pour solution les triplets

(3-2z,1-z,z) avec z.

Si a1 alors le système équivaut à

{x-ay=2ay=1z=0.

Si a=0, il n’y a pas de solutions.
Si a0,1 alors le système possède pour solution l’unique le triplet

(3,1/a,0).
 
Exercice 8  4419  

Résoudre dans les systèmes d’équations linéaires suivants en discutant selon la valeur du paramètre réel m:

  • (a)

    {x+y+z+t=1x+y+2z=0x+y+2t=m

  • (b)

    {mx+y+z=1x+my+z=mx+y+mz=m2.

 
Exercice 9  4420  

Soient a,b et θ des réels. Résoudre le système suivant d’inconnue (x,y)2:

(Σ):{cos(θ)x-sin(θ)y=a(1)sin(θ)x+cos(θ)y=b(2).
 
Exercice 10  2117   Correction  

Résoudre les systèmes d’inconnue (x,y)2:

  • (a)

    {x2+2y2=1x2+xy=0

  • (b)

    {x2+y2=12xy=1

  • (c)

    {x2=yy2=x

Solution

  • (a)

    Si (x,y) est solution alors (2)x(x+y)=0 donc x=0 ou y=-x.
    Si x=0 alors (1) donne y=±1/2.
    Si y=-x alors (1) donne x=±1/3.
    Inversement: ok

    Finalement,

    𝒮={(0,1/2),(0,-1/2),(1/3,-1/3),(-1/3,1/3)}.
  • (b)

    Si (x,y) est solution alors (1)-(2) donne (x-y)2=0 d’où x=y puis (1) donne x=y=±12.
    Inversement: ok.

    Finalement,

    𝒮={(1/2,1/2),(-1/2,-1/2)}.
  • (c)

    Si (x,y) est solution alors (1) et (2) donnent x4=x d’où x=0 ou x=1.
    Si x=0 alors y=0. Si x=1 alors y=1.
    Inversement: ok. Finalement,

    𝒮={(0,0),(1,1)}.
 
Exercice 11  5019   

Soit a un réel non nul. Déterminer les triplets (x,y,z) de réels non nuls vérifiant:

{x+y+z=a1x+1y+1z=1a.

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Édité le 08-11-2019

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