[<] Rationnels et irrationnels [>] Équations, inéquations et systèmes
(Inégalité triangulaire renversée)
Pour tous réels et , montrer l’inégalité
Vérifier:
pour tout réel .
pour tout .
Montrer que
Solution
Pour , on remarque . Les fonctions et prenant leurs valeurs dans , on en déduit
Vérifier11 1 Cette inégalité sera souvent utilisée dans la suite. que pour tous réels et ,
En déduire que pour tout ,
Montrer que pour tous , et réels,
Montrer
Solution
Compte tenu de la positivité des membres, le problème revient à établir
soit encore
ce qui découle directement de la propriété
Soient et deux réels de l’intervalle . Montrer
Établir
Solution
On raisonne par récurrence sur (avec fixé).
Pour , l’inégalité se relit : elle est correcte.
Supposons la propriété vraie au rang .
Au rang suivant,
La récurrence est établie.
(Inégalité de Cauchy-Schwarz)
Soient , et .
Montrer
On pourra étudier le signe de la fonction .
Soient et .
Montrer
Préciser les cas d’égalité.
Soient , et avec et .
Établir
Soient avec , et .
Montrer
Déterminer tous les couples pour lesquels il existe tel que
Solution
Soit solution. Considérons
sur .
On a
bornée implique .
Inversement, supposons .
Si alors
Si alors idem.
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Édité le 29-08-2023
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