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Exercice 1  4897  

(Inégalité triangulaire renversée)

Pour tous réels x et y, montrer l’inégalité

||y|-|x|||y-x|.
 
Exercice 2  3983  

Vérifier:

  • (a)

    x(1-x)14 pour tout réel x.

  • (b)

    xln(x)-1e pour tout x>0.

 
Exercice 3  3643  Correction  

Soient x,y[0;1]. Montrer

x2+y2-xy1.

Solution

Sachant x2x et y2y, on a

x2+y2-xy-1x+y-xy-1=(x-1)(1-y)0.
 
Exercice 4  2096  

Vérifier11 1 Cette inégalité sera souvent utilisée dans la suite. que pour tous réels a et b,

ab12(a2+b2).

En déduire que pour tout x>0,

x+1x2.
 
Exercice 5  2097  

Montrer que pour tous a, b et c réels,

ab+bc+caa2+b2+c2.
 
Exercice 6  3224  Correction  

Montrer

(u,v)+, 1+uv1+u1+v.

Solution

Compte tenu de la positivité des membres, le problème revient à établir

(1+uv)2(1+u)(1+v)

soit encore

2uvu+v

ce qui découle directement de la propriété

(u-v)20.
 
Exercice 7  4017   

Soient x et y deux réels de l’intervalle [0;1]. Montrer

min{xy,(1-x)(1-y)}14.
 
Exercice 8  4902   

(Inégalité de Cauchy-Schwarz)

Soient n*, a1,,an et b1,,bn.

Montrer

|k=1nakbk|(k=1nak2)1/2(k=1nbk2)1/2.

On pourra étudier le signe de la fonction φ:λk=1n(λak+bk)2.

 
Exercice 9  2114   

Soient n* et x1,,xn+*.

Montrer

(x1++xn)(1x1++1xn)n2.

Préciser les cas d’égalité.

 
Exercice 10  3405   

Soient n*, a1,,an et b1,,bn avec a1an et b1bn.

Établir

(1nk=1nak)(1nk=1nbk)1nk=1nakbk.
 
Exercice 11  5021    

Soient n avec n2, a1,,an et b1,,bn+*.

Montrer

min{a1b1,,anbn}a1++anb1++bnmax{a1b1,,anbn}.
 
Exercice 12  1733   Correction  

Déterminer tous les couples (α,β)(+*)2 pour lesquels il existe M tel que

x,y>0,xαyβM(x+y).

Solution

Soit (α,β) solution. Considérons

f(x,y)=xαyβx+y

sur (+*)2.
On a

f(x,x)=xα+β2x

f bornée implique α+β=1.
Inversement, supposons α+β=1.
Si yx alors

0f(x,y)=xαy1-αx+yyx+y(xy)α1.

Si xy alors idem.

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Édité le 08-11-2019

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