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Exercice 1  2100  

Montrer que la fonction partie entière est croissante.

 
Exercice 2  2105  Correction  

Soit ab. Établir

Card([a;b])=b+1-a.

Solution

Si a alors [a;b]={a+1,a+2,,b} donc

Card([a;b])=b-a.

Or

1-a=1+-a=-a

car a donc

Card([a;b])=b+1-a.

Si a alors [a;b]={a,a+1,,b} donc

Card([a;b])=b-a+1=b+1-a

car 1-a.

 
Exercice 3  2101  

Montrer que pour tous x et y réels,

x+yx+yx+y+1.
 
Exercice 4  2102   Correction  

Montrer

x,y,x+x+y+y2x+2y.

Solution

Si xx<x+1/2 et yy<y+1/2 alors

x+y=x+y,
2x=2x et
2y=2y

puis relation voulue.

Si x+1/2x<x+1 et yy<y+1/2 alors

x+yx+y+1,
2x=2x+1 et
2y=2y

puis la relation voulue.

Si xx<x+1/2 et y+1/2y<y+1: c’est analogue.

Si x+1/2x<x+1 et y+1/2y<y+1 alors

x+yx+y+2,
2x=2x+1 et
2y=2y+1

puis la relation voulue.

Dans tous les cas la relation proposée est vérifiée.

 
Exercice 5  2103   

Soient n* et x. Montrer

nxn=x.
 
Exercice 6  5333   Correction  

Soient x et p,q*. Montrer

1pxq=xpq.

Solution

D’une part,

1pxq1pxq1pxq=xpq

et donc

1pxqxpq car 1pxq.

D’autre part,

pxpqpxpq=xq

et donc

pxpqxq car pxpq.

On en déduit

xpq1pxq

puis

xpq1pxq car xpq.

Par double inégalité, on peut conclure.

 
Exercice 7  2104   Correction  

Montrer que

x,n*,k=0n-1x+kn=nx.

Solution

Posons m=nx et réalisons la division euclidienne de m par n: m=nq+r avec 0rn-1.
On a nq+rnx<nq+r+1 donc pour tout k{0,,n-1}:

q+k+rnx+kn<q+k+r+1n.

Si k+r<n alors x+kn=q et si k+rn alors x+kn=q+1.
Par suite,

k=0n-1x+kn=k=0n-r-1x+kn+k=n-rn-1x+kn=nq+r=m=nx.
 
Exercice 8  2106   Correction  

Soit n*.

  • (a)

    Montrer qu’il existe (an,bn)(*)2 tel que

    (2+3)n=an+bn3et3bn2=an2-1.
  • (b)

    Montrer que la partie entière de (2+3)n est un entier impair.

Solution

  • (a)

    Par récurrence sur n*.
    Pour n=1, a1=2 et b1=1 conviennent.
    Supposons la propriété établie au rang n1.

    (2+3)n+1=(2+3)(an+bn3)=an+1+bn+13

    avec an+1=2an+3bn et bn+1=an+2bn de sorte que

    3bn+12-an+12=-an2+3bn2=-1.

    Récurrence établie.

  • (b)

    an-1bn3<an donc 2an-1(2+3)n<2an donc

    (2+3)n=2an-1.

    C’est un entier impair.

 
Exercice 9  3416    

Vérifier que pour tout n entier naturel,

n+n+1=4n+2.

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Édité le 08-11-2019

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