[>] Rationnels et irrationnels
Soit une application telle que:
Calculer , et .
Déterminer pour puis pour .
Démontrer que . En déduire que est croissante.
Conclure que .
Solution
donc .
Comme est non nulle, on a .
donc .
Par récurrence sur : .
De plus,
donc
Pour , avec ,
Or et
donc . Par suite, .
Pour , si alors
Ainsi est croissante.
Pour et :
Comme est croissante:
puis
À la limite, quand , on obtient c’est-à-dire .
Finalement, .
(Fonctions additives croissantes)
Soit une fonction croissante vérifiant
(1) |
Montrer qu’il existe un réel tel que11 1 On dit alors que la fonction est linéaire. pour tout réel .
[>] Rationnels et irrationnels
Édité le 29-08-2023
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