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Exercice 1  2098   

Soit a[1;+[. Simplifier

a+2a-1+a-2a-1.
 
Exercice 2  2099   Correction  

Soit f: une application telle que:

(x,y)2, f(x+y)=f(x)+f(y);
(x,y)2, f(xy)=f(x)f(y);
x, f(x)0.
  • (a)

    Calculer f(0), f(1) et f(-1).

  • (b)

    Déterminer f(x) pour x puis pour x.

  • (c)

    Démontrer que x0,f(x)0. En déduire que f est croissante.

  • (d)

    Conclure que f=Id.

Solution

  • (a)

    f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) donc f(0)=0.

    x,f(x)=f(1.x)=f(1)f(x).

    Comme f est non nulle, on a f(1)=1.
    f(1)+f(-1)=f(0)=0 donc f(-1)=-1.

  • (b)

    Par récurrence sur n: f(n)=n.

    De plus,

    f(-n)=f((-1)×n)=f(-1)×f(n)=-f(n)=-n

    donc

    x,f(x)=x.

    Pour x, x=pq avec p,q*,

    f(x)=f(p×1q)=f(p)×f(1q).

    Or f(p)=p et

    1=f(1)=f(q×1q)=f(q)×f(1q)=q×f(1q)

    donc f(1q)=1q. Par suite, f(x)=x.

  • (c)
    x0,f(x)=f(xx)=(f(x))20.

    Pour x,y, si xy alors

    f(y)=f(x+y-x)=f(x)+f(y-x)f(x).

    Ainsi f est croissante.

  • (d)

    Pour x et n:

    (nx)nx<(nx)+1n.

    Comme f est croissante:

    f((nx)n)f(x)<f((nx)+1n)

    puis

    (nx)nf(x)<(nx)+1n.

    À la limite, quand n+, on obtient xf(x)x c’est-à-dire f(x)=x.

    Finalement, f=Id.

 
Exercice 3  4906   

(Fonctions additives croissantes)

Soit f: une fonction croissante vérifiant

f(x+y)=f(x)+f(y)pour tout (x,y)2. (1)

Montrer qu’il existe un réel a0 tel que11 1 On dit alors que la fonction f est linéaire. f(x)=ax pour tout réel x.

 
Exercice 4  3404   

Soient n* et x1,,xn des réels. On suppose

{x1++xn=nx12++xn2=n.

Montrer que les réels x1,,xn sont tous égaux à 1.

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Édité le 08-11-2019

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