[>] Les nombres réels

 
Exercice 1  2092  

Montrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.

 
Exercice 2  2093  Correction  

Montrer que 2 n’est pas un nombre rationnel

Solution

Par l’absurde supposons 2.
On peut alors écrire 2=p/q avec p,q* et, quitte à simplifier, p et q non tous les deux pairs.
On a alors 2q2=p2.
p est alors nécessairement pair car p2 est pair. Cela permet d’écrire p=2k avec k puis q2=2k2.
Mais alors q est pair. Par suite, p et q sont tous les deux pairs.
Absurde.

 
Exercice 3  2094  

Simplifier (22)2.

En déduire l’existence d’un nombre rationnel pouvant s’écrire ab avec a et b deux nombres irrationnels strictement positifs.

 
Exercice 4  2095   Correction  

Soit f: telle que

(x,y)2,f(x+y)=f(x)+f(y).
  • (a)

    On suppose f constante égale C quelle est la valeur de C?
    On revient au cas général.

  • (b)

    Calculer f(0).

  • (c)

    Montrer que f(-x)=-f(x) pour tout x.

  • (d)

    Établir que f(nx)=nf(x) pour tous n et x, et généraliser cette propriété à n.

  • (e)

    On pose a=f(1). Montrer que f(x)=ax pour tout x.

Solution

  • (a)

    La relation f(x+y)=f(x)+f(y) avec f constante égale à C donne C=C+C d’où C=0.

  • (b)

    Pour x=y=0, la relation f(x+y)=f(x)+f(y) implique f(0)=0.

  • (c)

    Pour y=-x, la relation f(x+y)=f(x)+f(y) donne 0=f(-x)+f(x) d’où f(-x)=-f(x).

  • (d)

    Par récurrence:

    n,x,f(nx)=nf(x).

    Pour n-,n=-p avec p et

    f(nx)=f(-px)=-f(px)=-pf(x)=nf(x).
  • (e)

    On peut écrire x=p/q avec p et q*.

    f(x)=f(p×1q)=pf(1q)

    or

    a=f(1)=f(q×1q)=qf(1q)

    donc

    f(1q)=aq

    puis

    f(x)=apq=ax.
 
Exercice 5  2475      CENTRALE (MP)

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Montrer que

Hn=k=1n1k

n’est pas un nombre entier.

 
Exercice 6  2647     MINES (MP)

Soit n un entier naturel.

  • (a)

    Montrer l’existence et l’unicité de nombres entiers an et bn vérifiant

    (1+2)n=an+bn2.
  • (b)

    Calculer an2-2bn2.

  • (c)

    Montrer qu’il existe un unique p* tel que

    (1+2)n=p+p-1.
 
Exercice 7  1975   

(Irrationalité de π)

On veut montrer que π est un nombre irrationnel. On raisonne par l’absurde et l’on suppose qu’il est possible d’écrire π=a/b avec a,b*. Pour n, on introduit alors

Pn=1n!Xn(bX-a)netIn=0πPn(t)sin(t)dt.
  • (a)

    Montrer que Pn et ses polynômes dérivés à tout ordre prennent des valeurs entières en 0.

  • (b)

    Établir la même propriété en π=a/b.

  • (c)

    Montrer que la suite (In) tend vers 0.

  • (d)

    Conclure en observant que In est un nombre entier.

 
Exercice 8  3668   Correction  

(Irrationalité de er pour rQ*)

  • (a)

    Pour a,b*, montrer que la fonction polynomiale

    Pn(x)=1n!xn(bx-a)n

    et ses dérivées successives prennent en x=0 des valeurs entières.

  • (b)

    Établir la même propriété en x=a/b

  • (c)

    On pose r=a/b et pour n*

    In=0rPn(t)etdt.

    Montrer que In0.

  • (d)

    En supposant er=p/q avec p,q*, montrer que qIn. Conclure.

Solution

  • (a)

    0 est racine de multiplicité n de Pn donc

    m<n,Pn(m)(0)=0.

    Le polynôme Pn est de degré 2n donc Pn(m)=0 pour tout m>2n et ainsi

    m>2n,Pn(m)(0)=0.

    Reste à traiter le cas nm2n. En développant par la formule du binôme

    Pn(x)=k=0n1n!(nk)(-a)n-kbkxn+k.

    Puisque Pn(m)(0) est donné par la dérivation du terme xm, on obtient

    Pn(m)(0)=1n!(nm-n)(-a)2n-mbm-nm!.
  • (b)

    On remarque

    x,Pn(a/b-x)=Pn(x)

    donc

    m,Pn(m)(a/b)=(-1)mPn(m)(0).
  • (c)

    On a

    |In-0|=1n!|0rtn(bt-a)netdt|1n!rn+1(br+a)nn+0.
  • (d)

    Par intégration par parties

    In=[Pn(t)et]0r-0rPn(t)etdt

    et en répétant l’opération

    In=[m=02n(-1)mPn(m)(t)et]0r.

    On en déduit

    qIn=m=02n(-1)m(Pn(m)(r)p-Pnm(0)q).

    Or sur [0;r] la fonction tPn(t)et est continue, positive sans être nulle et 0<r donc In>0.
    Ainsi, qIn0, qIn>0 et qIn: c’est absurde.
    Notons que l’on en déduit immédiatement l’irrationalité de ln(r) pour r+*{1}.

 
Exercice 9  4972     X (PC)

Montrer11 1 Pour x0, x3 désigne la racine cubique de x, c’est-à-dire l’unique réel dont le cube vaut x. que 2+33 est un nombre irrationnel.

 
Exercice 10  5272  

Soit a un réel.

  • (a)

    Étudier la limite de la suite de terme général 1nna (avec n*).

  • (b)

    En déduire que tout réel est limite d’une suite de nombres rationnels et d’une suite de nombres irrationnels

 
Exercice 11  5009   

Montrer que tout intervalle ouvert non vide de rencontre11 1 Autrement dit, les intervalles ouverts non vides contiennent des nombres rationnels et des nombres irrationnels. et .

 
Exercice 12  4907    

(Approximation de Dirichlet)

Soit x un nombre irrationnel.

Montrer qu’il existe une infinité de couples (p,q)×* vérifiant

|x-pq|1q2.
 
Exercice 13  5024    

Résoudre l’équation ab+bc+ca=abc d’inconnue (a,b,c)3.

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Édité le 08-11-2019

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