Exercice 1 2092

Montrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.

Exercice 2 2093 Correction

Montrer que $\sqrt{2}$ n’est pas un nombre rationnel

Solution

Par l’absurde supposons $\sqrt{2} \in ℚ$ .
On peut alors écrire $\sqrt{2} = p / q$ avec $p, q \in ℕ^{*}$ et, quitte à simplifier, $p$ et $q$ non tous les deux pairs.
On a alors $2 q^{2} = p^{2}$ .
$p$ est alors nécessairement pair car $p^{2}$ est pair. Cela permet d’écrire $p = 2 k$ avec $k \in ℕ$ puis $q^{2} = 2 k^{2}$ .
Mais alors $q$ est pair. Par suite, $p$ et $q$ sont tous les deux pairs.
Absurde.

Exercice 3 2094

Simplifier ${({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{2}}$ .

En déduire l’existence d’un nombre rationnel pouvant s’écrire $a^{b}$ avec $a$ et $b$ deux nombres irrationnels strictement positifs.

Exercice 4 2095 Correction

Soit $f : ℚ \to ℚ$ telle que

\forall (x, y) \in ℚ^{2}, f (x + y) = f (x) + f (y) .

(a)

On suppose $f$ constante égale $C$ quelle est la valeur de $C$ ?
On revient au cas général.
(b)

Calculer $f (0)$ .
(c)

Montrer que $f (- x) = - f (x)$ pour tout $x \in ℚ$ .
(d)

Établir que $f (n x) = n f (x)$ pour tous $n \in ℕ$ et $x \in ℚ$ , et généraliser cette propriété à $n \in ℤ$ .
(e)

On pose $a = f (1)$ . Montrer que $f (x) = a x$ pour tout $x \in ℚ$ .

Solution

(a)

La relation $f (x + y) = f (x) + f (y)$ avec $f$ constante égale à $C$ donne $C = C + C$ d’où $C = 0$ .
(b)

Pour $x = y = 0$ , la relation $f (x + y) = f (x) + f (y)$ implique $f (0) = 0$ .
(c)

Pour $y = - x$ , la relation $f (x + y) = f (x) + f (y)$ donne $0 = f (- x) + f (x)$ d’où $f (- x) = - f (x)$ .
(d)

Par récurrence:

$\forall n \in ℕ, \forall x \in ℚ, f (n x) = n f (x) .$

Pour $n \in ℤ^{-}, n = - p$ avec $p \in ℕ$ et

$f (n x) = f (- p x) = - f (p x) = - p f (x) = n f (x) .$
(e)

On peut écrire $x = p / q$ avec $p \in ℤ$ et $q \in ℕ^{*}$ .

$f (x) = f (p \times \frac{1}{q}) = p f (\frac{1}{q})$

or

$a = f (1) = f (q \times \frac{1}{q}) = q f (\frac{1}{q})$

donc

$f (\frac{1}{q}) = \frac{a}{q}$

puis

$f (x) = \frac{a p}{q} = a x .$

Exercice 5 2475 CENTRALE (MP)

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ . Montrer que

H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}

n’est pas un nombre entier.

Exercice 6 2647 MINES (MP)

Soit $n$ un entier naturel.

(a)

Montrer l’existence et l’unicité de nombres entiers $a_{n}$ et $b_{n}$ vérifiant

${(1 + \sqrt{2})}^{n} = a_{n} + b_{n} \sqrt{2} .$
(b)

Calculer $a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2}$ .
(c)

Montrer qu’il existe un unique $p \in ℕ^{*}$ tel que

${(1 + \sqrt{2})}^{n} = \sqrt{p} + \sqrt{p - 1} .$

Exercice 7 1975

(Irrationalité de $π$ )

On veut montrer que $π$ est un nombre irrationnel. On raisonne par l’absurde et l’on suppose qu’il est possible d’écrire $π = a / b$ avec $a, b \in ℕ^{*}$ . Pour $n \in ℕ$ , on introduit alors

P_{n} = \frac{1}{n!} X^{n} {(b X - a)}^{n} et I_{n} = \int_{0}^{π} P_{n} (t) \sin (t) d t .

(a)

Montrer que $P_{n}$ et ses polynômes dérivés à tout ordre prennent des valeurs entières en $0$ .
(b)

Établir la même propriété en $π = a / b$ .
(c)

Montrer que la suite $(I_{n})$ tend vers $0$ .
(d)

Conclure en observant que $I_{n}$ est un nombre entier.

Exercice 8 3668 Correction

(Irrationalité de $e^{r}$ pour $r \in Q^{*}$ )

(a)

Pour $a, b \in ℕ^{*}$ , montrer que la fonction polynomiale

$P_{n} (x) = \frac{1}{n!} x^{n} {(b x - a)}^{n}$

et ses dérivées successives prennent en $x = 0$ des valeurs entières.
(b)

Établir la même propriété en $x = a / b$
(c)

On pose $r = a / b$ et pour $n \in ℕ^{*}$

$I_{n} = \int_{0}^{r} P_{n} (t) e^{t} d t .$

Montrer que $I_{n} \to 0$ .
(d)

En supposant $e^{r} = p / q$ avec $p, q \in ℕ^{*}$ , montrer que $q I_{n} \in ℤ$ . Conclure.

Solution

(a)

0 est racine de multiplicité $n$ de $P_{n}$ donc

$\forall m < n, P_{n}^{(m)} (0) = 0 .$

Le polynôme $P_{n}$ est de degré $2 n$ donc $P_{n}^{(m)} = 0$ pour tout $m > 2 n$ et ainsi

$\forall m > 2 n, P_{n}^{(m)} (0) = 0 .$

Reste à traiter le cas $n \leq m \leq 2 n$ . En développant par la formule du binôme

$P_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{n!} (\binom{n}{k}) {(- a)}^{n - k} b^{k} x^{n + k} .$

Puisque $P_{n}^{(m)} (0)$ est donné par la dérivation du terme $x^{m}$ , on obtient

$P_{n}^{(m)} (0) = \frac{1}{n!} (\binom{n}{m - n}) {(- a)}^{2 n - m} b^{m - n} m! \in ℤ .$
(b)

On remarque

$\forall x \in ℝ, P_{n} (a / b - x) = P_{n} (x)$

donc

$\forall m \in ℕ, P_{n}^{(m)} (a / b) = {(- 1)}^{m} P_{n}^{(m)} (0) \in ℤ .$
(c)

On a

$| I_{n} - 0 | = \frac{1}{n!} | \int_{0}^{r} t^{n} {(b t - a)}^{n} e^{t} d t | \leq \frac{1}{n!} r^{n + 1} {(b r + a)}^{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$
(d)

Par intégration par parties

$I_{n} = {[P_{n} (t) e^{t}]}_{0}^{r} - \int_{0}^{r} P_{n}^{'} (t) e^{t} d t$

et en répétant l’opération

$I_{n} = {[\sum_{m = 0}^{2 n} {(- 1)}^{m} P_{n}^{(m)} (t) e^{t}]}_{0}^{r} .$

On en déduit

$q I_{n} = \sum_{m = 0}^{2 n} {(- 1)}^{m} (P_{n}^{(m)} (r) p - P_{n}^{m} (0) q) \in ℤ .$

Or sur $[0; r]$ la fonction $t \mapsto P_{n} (t) e^{t}$ est continue, positive sans être nulle et $0 < r$ donc $I_{n} > 0$ .
Ainsi, $q I_{n} \to 0$ , $q I_{n} > 0$ et $q I_{n} \in ℤ$ : c’est absurde.
Notons que l’on en déduit immédiatement l’irrationalité de $\ln (r)$ pour $r \in ℚ^{+ *} ∖ {1}$ .

Exercice 9 4972 X (PC)

Montrer¹¹ 1 Pour $x \geq 0$ , $\sqrt[3]{x}$ désigne la racine cubique de $x$ , c’est-à-dire l’unique réel dont le cube vaut $x$ . que $\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$ est un nombre irrationnel.

Exercice 10 5272

Soit $a$ un réel.

(a)

Étudier la limite de la suite de terme général $\frac{1}{n} ⌊ n a ⌋$ (avec $n \in ℕ^{*}$ ).
(b)

En déduire que tout réel est limite d’une suite de nombres rationnels et d’une suite de nombres irrationnels

Exercice 11 5009

Montrer que tout intervalle ouvert non vide de $ℝ$ rencontre¹¹ 1 Autrement dit, les intervalles ouverts non vides contiennent des nombres rationnels et des nombres irrationnels. $ℚ$ et $ℝ ∖ ℚ$ .

Exercice 12 4907

(Approximation de Dirichlet)

Soit $x$ un nombre irrationnel.

Montrer qu’il existe une infinité de couples $(p, q) \in ℤ \times ℕ^{*}$ vérifiant

| x - \frac{p}{q} | \leq \frac{1}{q^{2}} .

Exercice 13 5024

Résoudre l’équation $a b + b c + c a = a b c$ d’inconnue $(a, b, c) \in ℕ^{3}$ .

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Édité le 29-11-2025

Rationnels et irrationnels