Soit
Montrer que est une partie bornée et déterminer ses bornes supérieure et inférieure.
Soit
Montrer que est bornée, déterminer et .
Solution
L’ensemble est donc borné.
est une partie de non vide et bornée donc et existent.
est plus grand élément de et donc
est clairement minorée par et
donc il existe une suite d’éléments de qui converge vers . Par conséquent,
Soit une partie de non vide et majorée. Vérifier l’assertion11 1 Lorsque devient petit, cette propriété permet de trouver des éléments de aussi proches que l’on peut le vouloir de . À défaut d’affirmer qu’une borne supérieure appartient à la partie, cette propriété affirme « qu’elle touche la partie ».
Soit une partie de non vide et majorée.
Vérifier que pour tout11 1 Lorsque devient petit, cette propriété permet de trouver des éléments de aussi proches que l’on peut le vouloir de . À défaut d’affirmer qu’une borne supérieure appartient à la partie, cette propriété affirme « qu’elle touche la partie ». , il existe un élément dans tel que
En déduire qu’il existe une suite uniquement constituée d’éléments de convergeant vers .
Soient et deux parties non vides de vérifiant
Montrer que et existent.
Justifier .
Soient et deux parties non vides et bornées de telles que .
Comparer et .
Solution
et sont des parties non vides et bornées de donc les bornes sup et inf considérées existent.
Pour tout , on a donc . majore donc .
Pour tout , on a donc . minore donc .
Enfin, puisque , .
Soient et deux parties de non vides et majorées.
Montrer que et existent et
Solution
sont des parties de non vides et majorées donc existent dans .
Pour tout on a donc
Puisque on a donc
puis l’égalité.
Pour , on pose . Déterminer
Solution
La fonction est dérivable avec
On en déduit les variations du tableau qui suit
avec .
Par conséquent,
Or
donc
Soient et deux parties non vides et majorées de . On forme
Montrer
Soit une partie non vide et minorée de . On pose
Déterminer la borne inférieure de .
Solution
Puisque ne minore pas , la partie est non vide. De plus, est inclus dans et donc la borne inférieure de existe. Au surplus, par inclusion,
Soit .
Cas: . On a et donc .
Cas: . À nouveau .
Ainsi, minore et donc
Finalement, par double inégalité,
Soit une fonction bornée. Établir
Édité le 29-08-2023
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