Exercice 1 4904

Soit

A = {{(- 1)}^{n} + \frac{2^{n} + 1}{2^{n}} | n \in ℕ} .

Montrer que $A$ est une partie bornée et déterminer ses bornes supérieure et inférieure.

Exercice 2 2107 Correction

Soit

A = {{(- 1)}^{n} + \frac{1}{n + 1} | n \in ℕ} .

Montrer que $A$ est bornée, déterminer $inf A$ et $sup A$ .

Solution

$\forall n \in ℕ, - 1 \leq {(- 1)}^{n} + \frac{1}{n + 1} \leq 2$ donc $A$ est bornée.
$A$ est une partie de $ℝ$ non vide et bornée donc $inf A$ et $sup A$ existent.
$\begin{matrix} n & 0 & 1 & 2 & 3 & \dots \\ {(- 1)}^{n} + \frac{1}{n + 1} & 2 & - 1 + \frac{1}{2} & 1 + \frac{1}{3} & - 1 + \frac{1}{4} & \dots \end{matrix}$ .
$2$ est plus grand élément de $A$ et donc $sup A = \max A = 2$ .
$A$ est clairement minorée par $- 1$ et ${(- 1)}^{2 p + 1} + \frac{1}{2 p + 2} \to - 1$ donc il existe une suite d’éléments de $A$ qui converge vers $- 1$ donc $inf A = - 1$ .

Exercice 3 4899

Soit $A$ une partie de $ℝ$ non vide et majorée. Vérifier l’assertion¹¹ 1 Lorsque $ε > 0$ devient petit, cette propriété permet de trouver des éléments de $A$ aussi proches que l’on peut le vouloir de $sup (A)$ . À défaut d’affirmer qu’une borne supérieure appartient à la partie, cette propriété affirme « qu’elle touche la partie ».

\forall ε > 0, \exists x \in A, sup (A) - ε < x \leq sup (A) .

Exercice 4 5269

Soit $A$ une partie de $ℝ$ non vide et majorée.

(a)

Vérifier que pour tout¹¹ 1 Lorsque $ε > 0$ devient petit, cette propriété permet de trouver des éléments de $A$ aussi proches que l’on peut le vouloir de $sup (A)$ . À défaut d’affirmer qu’une borne supérieure appartient à la partie, cette propriété affirme « qu’elle touche la partie ». $ε > 0$ , il existe un élément $x$ dans $A$ tel que

$sup (A) - ε < x \leq sup (A) .$
(b)

En déduire qu’il existe une suite $(x_{n})$ uniquement constituée d’éléments de $A$ convergeant vers $sup (A)$ .

Exercice 5 2109

Soient $A$ et $B$ deux parties non vides de $ℝ$ vérifiant

\forall (a, b) \in A \times B, a \leq b .

(a)

Montrer que $sup (A)$ et $inf (B)$ existent.
(b)

Justifier $sup (A) \leq inf (B)$ .

Exercice 6 2108 Correction

Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et bornées de $ℝ$ telles que $A \subset B$ .
Comparer $inf A, sup A, inf B$ et $sup B$ .

Solution

$A$ et $B$ sont des parties non vides et bornées de $ℝ$ donc les bornes sup et inf considérées existent.
Pour tout $a \in A$ , on a $a \in B$ donc $a \leq sup B$ . $sup B$ majore $A$ donc $sup A \leq sup B$ .
Pour tout $a \in A$ , on a $a \in B$ donc $inf B \leq a$ . $inf B$ minore $A$ donc $inf B \leq inf A$ .
Enfin, puisque $A \neq \emptyset$ , $inf A \leq sup A$ .

Exercice 7 2110 Correction

Soient $A$ et $B$ deux parties de $ℝ$ non vides et majorées.
Montrer que $sup A, sup B$ et $sup (A \cup B)$ existent et

sup (A \cup B) = \max (sup A, sup B) .

Solution

$A, B, A \cup B$ sont des parties de $ℝ$ non vides et majorées donc $sup A, sup B, sup (A \cup B)$ existent dans $ℝ$ .
Pour tout $x \in A \cup B$ on a $x \leq \max (sup A, sup B)$ donc

sup (A \cup B) \leq \max (sup A, sup B) .

Puisque $A, B \subset A \cup B$ on a $sup A, sup B \leq sup (A \cup B)$ donc

\max (sup A, sup B) \leq sup (A \cup B)

puis l’égalité.

Exercice 8 2113 Correction

Pour $n \in ℕ$ , on pose $f_{n} (x) = x^{n} (1 - x)$ . Déterminer

lim_{n \to + \infty} sup_{x \in [0; 1]} f_{n} (x) .

Solution

La fonction $f_{n}$ est dérivable avec

f_{n}^{'} (x) = n x^{n - 1} (1 - x) - x^{n} = n x^{n - 1} - (n + 1) x^{n} .

On en déduit les variations du tableau qui suit

\begin{matrix} x & 0 & x_{n} & 1 \\ f_{n} (x) & 0 & ↗ & M_{n} & ↘ & 0 \end{matrix}

avec $x_{n} = \frac{n}{n + 1} \in [0; 1]$ et

M_{n} = sup_{x \in [0; 1]} f_{n} (x) = {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n} \frac{1}{n + 1} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Exercice 9 2111

Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $ℝ$ . On forme

A + B = {a + b | (a, b) \in A \times B} .

Montrer

sup (A + B) = sup (A) + sup (B) .

Exercice 10 225 Correction

Soit $A$ une partie non vide et minorée de $ℝ$ . On pose

m = inf A et B = A \cap] - \infty; m + 1] .

Déterminer la borne inférieure de $B$ .

Solution

Puisque $m + 1$ ne minore pas $A$ , la partie $B$ est non vide.
De plus, $B \subset A$ donc la borne inférieure de $B$ existe et

inf A \leq inf B .

Soit $x \in A$ , si $x \leq m + 1$ alors $x \in B$ et donc $x \geq inf B$ .
Si $x > m + 1$ alors à nouveau $x \geq inf B$ .
Ainsi $inf B$ minore $A$ et donc

inf A \geq inf B .

Finalement,

inf A = inf B .

Exercice 11 2347

Soit $f : ℝ^{2} \to ℝ$ une fonction bornée. Établir

sup_{x \in ℝ} (inf_{y \in ℝ} f (x, y)) \leq inf_{y \in ℝ} (sup_{x \in ℝ} f (x, y)) .

Supremum et infimum