[>] Étude de suites numériques

 
Exercice 1  4904  

Soit

A={(-1)n+2n+12n|n}.

Montrer que A est une partie bornée et déterminer ses bornes supérieure et inférieure.

 
Exercice 2  2107  Correction  

Soit

A={(-1)n+1n+1|n}.

Montrer que A est bornée, déterminer infA et supA.

Solution

n,-1(-1)n+1n+12 donc A est bornée.
A est une partie de non vide et bornée donc infA et supA existent.
n0123(-1)n+1n+12-1+121+13-1+14.
2 est plus grand élément de A et donc supA=maxA=2.
A est clairement minorée par -1 et (-1)2p+1+12p+2-1 donc il existe une suite d’éléments de A qui converge vers -1 donc infA=-1.

 
Exercice 3  4899  

Soit A une partie de non vide et majorée. Vérifier l’assertion11 1 Lorsque ε>0 devient petit, cette propriété permet de trouver des éléments de A aussi proches que l’on peut le vouloir de sup(A). À défaut d’affirmer qu’une borne supérieure appartient à la partie, cette propriété affirme «  qu’elle touche la partie  ».

ε>0,xA,sup(A)-ε<xsup(A).
 
Exercice 4  5269  

Soit A une partie de non vide et majorée.

  • (a)

    Vérifier que pour tout11 1 Lorsque ε>0 devient petit, cette propriété permet de trouver des éléments de A aussi proches que l’on peut le vouloir de sup(A). À défaut d’affirmer qu’une borne supérieure appartient à la partie, cette propriété affirme «  qu’elle touche la partie  ». ε>0, il existe un élément x dans A tel que

    sup(A)-ε<xsup(A).
  • (b)

    En déduire qu’il existe une suite (xn) uniquement constituée d’éléments de A convergeant vers sup(A).

 
Exercice 5  2109  

Soient A et B deux parties non vides de vérifiant

(a,b)A×B,ab.
  • (a)

    Montrer que sup(A) et inf(B) existent.

  • (b)

    Justifier sup(A)inf(B).

 
Exercice 6  2108  Correction  

Soient A et B deux parties non vides et bornées de telles que AB.
Comparer infA,supA,infB et supB.

Solution

A et B sont des parties non vides et bornées de donc les bornes sup et inf considérées existent.
Pour tout aA, on a aB donc asupB. supB majore A donc supAsupB.
Pour tout aA, on a aB donc infBa. infB minore A donc infBinfA.
Enfin, puisque A, infAsupA.

 
Exercice 7  2110  Correction  

Soient A et B deux parties de non vides et majorées.
Montrer que supA,supB et sup(AB) existent et

sup(AB)=max(supA,supB).

Solution

A,B,AB sont des parties de non vides et majorées donc supA,supB,sup(AB) existent dans .
Pour tout xAB on a xmax(supA,supB) donc

sup(AB)max(supA,supB).

Puisque A,BAB on a supA,supBsup(AB) donc

max(supA,supB)sup(AB)

puis l’égalité.

 
Exercice 8  2113  Correction  

Pour n, on pose fn(x)=xn(1-x). Déterminer

limn+supx[0;1]fn(x).

Solution

La fonction fn est dérivable avec

fn(x)=nxn-1(1-x)-xn=nxn-1-(n+1)xn.

On en déduit les variations du tableau qui suit

x0xn1fn(x)0Mn0

avec xn=nn+1[0;1] et

Mn=supx[0;1]fn(x)=(1-1n+1)n1n+1n+0.
 
Exercice 9  2111   

Soient A et B deux parties non vides et majorées de . On forme

A+B={a+b|(a,b)A×B}.

Montrer

sup(A+B)=sup(A)+sup(B).
 
Exercice 10  225   Correction  

Soit A une partie non vide et minorée de . On pose

m=infAetB=A]-;m+1].

Déterminer la borne inférieure de B.

Solution

Puisque m+1 ne minore pas A, la partie B est non vide.
De plus, BA donc la borne inférieure de B existe et

infAinfB.

Soit xA, si xm+1 alors xB et donc xinfB.
Si x>m+1 alors à nouveau xinfB.
Ainsi infB minore A et donc

infAinfB.

Finalement,

infA=infB.
 
Exercice 11  2347   

Soit f:2 une fonction bornée. Établir

supx(infyf(x,y))infy(supxf(x,y)).

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Édité le 08-11-2019

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