Puisque $M$ est nilpotente de taille $n$, on sait $M^n={\mathrm{O}}_n$. Cela assure que $L(tM)$ est correctement définie pour tout $t\in ℝ$.

$$L(tM)=\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}{t}^k{M}^k$$

et l’on peut introduire

$$f(t)=\exp \left(-L(tM)\right)\text{.}$$

Les termes de la somme définissant $L(tM)$ commutent entre eux et donc

$$f(t)=\prod _{k=1}^{n-1}\exp \left(-\frac{1}{k}{t}^k{M}^k\right)\text{.}$$

Pour $A\in {ℳ}_n(ℂ)$, on sait que $t\mapsto {\mathrm{e}}^{tA}$ est de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ sur $ℝ$ avec

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left({\mathrm{e}}^{tA}\right)=A{\mathrm{e}}^{tA}\text{.}$$

Par produit, on en déduit que la fonction $f$ est de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ sur $ℝ$. Aussi, par composition,

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\exp \left(-\frac{1}{k}{t}^k{M}^k\right)\right)=-t^{k-1}{M}^k\exp \left(-\frac{1}{k}{t}^k{M}^k\right)$$

et, par dérivation d’un produit (et commutativité des facteurs),

$$f^{\prime }(t)=-\sum _{k=1}^{n-1}{t}^{k-1}{M}^{k}f(t)\text{.}$$

On multiplie les deux membres par ${\mathrm{I}}_{n}tM$ pour observer un télescopage en second membre

	$({\mathrm{I}}_n-tM)f^{\prime }(t)$	$=-{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}\left(t^{k-1}{M}^k-t^k{M}^{k+1}\right)f(t)$
		$=-\left(M-t^{n-1}{M}^n\right)f(t)=-Mf(t)\text{.}$

On peut à nouveau dériver

$$-M{f}^{\prime }(t)+({\mathrm{I}}_n-tM)f^{\prime \prime }(t)=-M{f}^{\prime }(t)$$

ce qui se simplifie en

$$({\mathrm{I}}_n-tM)f^{\prime \prime }(t)=0\text{.}$$

Puisque la matrice $M$ est nilpotente, elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte. Par cette similitude, on obtient $\det ({\mathrm{I}}_n-tM)=1$ et donc ${\mathrm{I}}_n-tM$ est une matrice inversible. On en déduit

$$f^{\prime \prime }(t)=0\text{.}$$

La fonction $f^{\prime }$ est donc constante.

On a $f(0)={\mathrm{I}}_n$ et $f^{\prime }(0)=-M$ puis on obtient

$$\forall t\in ℝ,f(t)={\mathrm{I}}_n-tM\text{.}$$

En particulier,

$$\exp \left(L(M)\right)={\left(f(1)\right)}^{-1}={\left({\mathrm{I}}_n-M\right)}^{-1}\text{.}$$