Puisque $a$ est intérieur à $X$, il existe $r>0$ tel que $B(a,r)\subset X$.

Soit $v\in E$. Considèrons $\gamma :ℝ\to E$ définie par $\gamma (t)=a+t.v$. Pour $t$ proche de $0$, $\gamma (t)\in B(a,r)$ donc $\gamma (t)\in X$. Au surplus, $\gamma (0)=a$ et ${\gamma }^{\prime }(0)=v$ et donc $v$ est tangent à $X$ en $a$. L’ensemble ${\mathrm{T}}_{a}X$ vaut donc $E$.

Soit $v$ un vecteur tangent à la boule $B$ en $a$. Il existe $\gamma :]-\epsilon ;\epsilon [\to E$ inscrit dans $B$ tel que $\gamma (0)=a$ et ${\gamma }^{\prime }(0)=v$.

Puisque $\gamma$ est inscrit dans $B$, $\parallel \gamma (t)\parallel \le 1$ pour tout $t\in ]-\epsilon ;\epsilon [$. La fonction $\phi :t\mapsto \left(\gamma (t)\mid \gamma (t)\right)$ est donc maximale en $t=0$. On en déduit ${\phi }^{\prime }(0)=0$. Cela donne $2\left(\gamma (0)\mid {\gamma }^{\prime }(0)\right)=0$ puis $(a\mid v)=0$.

Inversement, soit $u$ un vecteur unitaire vérifiant $(a\mid u)=0$. On considère $\gamma :ℝ\to E$ définie par

$$\gamma (t)=\cos (t).a+\sin (t).u\text{.}$$

On vérifie ${\parallel \gamma (t)\parallel }^2=1$, $\gamma (0)=a$ et ${\gamma }^{\prime }(0)=u$. On en déduit $u\in {\mathrm{T}}_{a}B$. Par colinéarité, tout vecteur $v$ orthogonal à $a$ est élément de ${\mathrm{T}}_{a}B$.

Finalement, ${\mathrm{T}}_{a}B=\mathrm{Vect}{(a)}^{\perp }$.

Commençons par remarquer que ${\mathrm{I}}_n$ est élément de ${\mathrm{SL}}_n(ℝ)$.

Soit $A\in {ℳ}_n(ℝ)$ un vecteur tangent à ${\mathrm{SL}}_n(ℝ)$ en ${\mathrm{I}}_n$. Il existe $t\mapsto M(t)$ fonction définie au voisinage de $0$ et prenant ses valeurs dans ${\mathrm{SL}}_n(ℝ)$ vérifiant

$$M(0)={\mathrm{I}}_n\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}{M}^{\prime }(0)=A\text{.}$$

Puisque $\det (M(t))=1$, on obtient en dérivant

$$\sum _{j=1}^n\det (C_1(0),\mathrm{\dots },C_j^{\prime }(0),\mathrm{\dots },C_n(0))=0$$

en notant $C_1(t),\mathrm{\dots },C_n(t)$ les colonnes de $M(t)$. Puisque $M(0)={\mathrm{I}}_n$, il vient

$$\sum _{j=1}^n\det (E_1,\mathrm{\dots },{\tilde{C}}_j,\mathrm{\dots },E_n)=0$$

en notant ${\tilde{C}}_1,\mathrm{\dots },{\tilde{C}}_n$ les colonnes de $A$. Par développement selon la $j$-ème ligne, on obtient

$$\det (E_1,\mathrm{\dots },{\tilde{C}}_j,\mathrm{\dots },E_n)={\left[A\right]}_{j,j}$$

et, finalement, on parvient à la condition

$$\mathrm{tr}(A)=0\text{.}$$

Ainsi,

$${\mathrm{T}}_{{\mathrm{I}}_n}\left({\mathrm{SL}}_n(ℝ)\right)\subset H=\{A\in {ℳ}_n(ℝ)|\mathrm{tr}(A)=0\}\text{.}$$

Inversement, soit $A\in H$. Considérons

$$M(t)=\frac{1}{\det ({\mathrm{I}}_n+tA)}({\mathrm{I}}_n+tA)$$

pour $t$ réel au voisinage de $0$. L’application $t\mapsto M(t)$ est évidemment à valeurs dans ${\mathrm{SL}}_n(ℝ)$. Aussi, à l’aide du calcul précédent,

$$\det ({\mathrm{I}}_n+tA)\underset{t\to 0}{=}1+t\mathrm{tr}(A)+\mathrm{o}(t)=1+\mathrm{o}(t)$$

de sorte que l’on obtient le développement limité

$$M(t)\underset{t\to 0}{=}\frac{1}{1+\mathrm{o}(t)}({\mathrm{I}}_n+tA)={\mathrm{I}}_n+tA+\mathrm{o}(t)\text{.}$$

On a donc que $M(0)={\mathrm{I}}_n$ et $M^{\prime }(0)=A$. Ainsi, $A$ est un vecteur tangent à ${\mathrm{SL}}_n(ℝ)$ en ${\mathrm{I}}_n$.

On conclut

$${\mathrm{T}}_{{\mathrm{I}}_n}\left({\mathrm{SL}}_n(ℝ)\right)=H\text{.}$$

• (a)

  Commençons par remarquer que ${\mathrm{I}}_n$ est élément de ${\mathrm{O}}_n(ℝ)$.

  Soit $A\in {ℳ}_n(ℝ)$ un vecteur tangent à ${\mathrm{O}}_n(ℝ)$ en ${\mathrm{I}}_n$. Il existe $t\mapsto M(t)$ fonction définie au voisinage de $0$ et prenant ses valeurs dans ${\mathrm{O}}_n(ℝ)$ vérifiant

  $$M(0)={\mathrm{I}}_n\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}{M}^{\prime }(0)=A\text{.}$$

  Puisque ${\left(M(t)\right)}^{\top }M(t)={\mathrm{I}}_n$, on obtient en dérivant

  $${\left(M^{\prime }(0)\right)}^{\top }M(0)+{\left(M(0)\right)}^{\top }{M}^{\prime }(0)={\mathrm{O}}_n$$

  et donc

  $$A^{\top }+A={\mathrm{O}}_n\text{.}$$

  Ainsi,

  $${\mathrm{T}}_{{\mathrm{I}}_n}\left({\mathrm{O}}_n(ℝ)\right)\subset {𝒜}_n(ℝ)=\{A\in {ℳ}_n(ℝ)|A^{\top }=-A\}\text{.}$$

  Inversement, soit $A\in {𝒜}_n(ℝ)$. Considérons $M(t)=\exp \left(tA\right)$ pour $t\in ℝ$. On remarque

  $${\left(M(t)\right)}^{\top }M(t)=\exp (-tA)\exp (tA)=\exp (-tA+tA)={\mathrm{I}}_n\text{.}$$

  L’application $t\mapsto M(t)$ est donc à valeurs dans ${\mathrm{O}}_n(ℝ)$. Au surplus, $M(0)={\mathrm{I}}_n$ et $M^{\prime }(t)=AM(t)$ de sorte que $M^{\prime }(0)=A$. Ainsi, $A$ est un vecteur tangent à ${\mathrm{O}}_n(ℝ)$ en ${\mathrm{I}}_n$.

  On conclut

  $${\mathrm{T}}_{{\mathrm{I}}_n}{\mathrm{O}}_n(ℝ)={𝒜}_n(ℝ)\text{.}$$

• (b)

  Soit $A\in {ℳ}_n(ℝ)$ un vecteur tangent à ${\mathrm{O}}_n(ℝ)$ en $\mathrm{\Omega }$. Un calcul analogue au précédent conduit à la condition

  $$A^{\top }\mathrm{\Omega }+{\mathrm{\Omega }}^{\top }A={\mathrm{O}}_n$$

  soit

  $${\left({\mathrm{\Omega }}^{-1}A\right)}^{\top }=-{\mathrm{\Omega }}^{-1}A\text{.}$$

  Par conséquent,

  $${\mathrm{T}}_{\mathrm{\Omega }}\left({\mathrm{O}}_n(ℝ)\right)\subset \{A\in {ℳ}_n(ℝ)|{\mathrm{\Omega }}^{-1}A\in {𝒜}_n(ℝ)\}$$

  Réciproquement, on vérifie que $t\mapsto \mathrm{\Omega }\exp \left(t{\mathrm{\Omega }}^{-1}A\right)$ définit une application dérivable à valeurs dans ${\mathrm{O}}_n(ℝ)$ prenant la valeur $\mathrm{\Omega }$ en $0$ et de vecteur dérivé $A$ en $0$.

  On conclut

  $${\mathrm{T}}_{\mathrm{\Omega }}\left({\mathrm{O}}_n(ℝ)\right)=\{A\in {ℳ}_n(ℝ)|{\mathrm{\Omega }}^{-1}A\in {𝒜}_n(ℝ)\}\text{.}$$