Exercice 1 564 Correction

Soient $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension finie et $f : ℝ \to E$ dérivable en $0$ .

On suppose

\forall x \in ℝ, f (2 x) = 2 f (x) .

Montrer que $f$ est linéaire

Solution

Pour $x = 0$ , on obtient $f (2 \times 0) = 2 \times f (0)$ et donc $f (0) = 0_{E}$ .

Pour $x \in ℝ$ ,

f (x) = f (2 \times \frac{x}{2}) = 2 f (\frac{x}{2}) .

Par récurrence, on acquiert

f (x) = 2^{n} f (\frac{x}{2^{n}}) pour tout n \in ℕ .

Par développement limité en $0$ , on peut écrire

f (t) = f (0) + t . f^{'} (0) + t . ε (t) = t . f^{'} (0) + t . ε (t) avec ε (t) \to_{t \to 0}^{} 0_{E} .

On en déduit

f (x) = 2^{n} (\frac{x}{2^{n}} . f^{'} (0) + \frac{x}{2^{n}} ε (\frac{x}{2^{n}})) = x . f^{'} (0) + x . ε (\frac{x}{2^{n}}) .

À la limite quand $n$ tend vers l’infini,

f (x) = x . f^{'} (0) + x {.0}_{E} = x . f^{'} (0) .

Ainsi, $f$ est linéaire.

Exercice 2 565 Correction

Soient $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension finie et $f : 𝒞^{1} ([a; b [, E)$ .
Montrer que $f$ admet un prolongement de classe $𝒞^{1}$ à $[a; b]$ si, et seulement si, $f^{'}$ admet une limite en $b$ .

Solution

Un tel résultat est déjà connu pour les fonctions à valeurs réelles par application du théorème des accroissements finis. En raisonnant via parties réelles et imaginaires on peut étendre ce résultat au cas d’une fonction complexe. En raisonnant via les fonctions coordonnées dans une base de $E$ , on prolonge ce résultat aux fonctions à valeurs dans $E$ .

Exercice 3 569 Correction

Soit $f : [0; 1] \to E$ dérivable à droite en 0 et vérifiant $f (0) = 0$ .
Déterminer la limite quand $n \to + \infty$ de

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{k}{n^{2}}) .

Solution

Par la dérivabilité à droite de $f$ en $0$ , on peut écrire

f (x) = f (0) + x . f^{'} (0) + x . ε (x) avec ε \to_{0^{+}}^{} 0 .

Puisque $f (0) = 0$ , on obtient

S_{n} = \frac{1}{n^{2}} \sum_{k = 1}^{n} k . f^{'} (0) + \frac{1}{n^{2}} \sum_{k = 1}^{n} k . ε (\frac{k}{n^{2}}) .

En exploitant

∥ ε (\frac{k}{n^{2}}) ∥ \leq \max_{] 0; 1 / n]} ∥ ε ∥

\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}

on obtient

∥ S_{n} - \frac{n + 1}{2 n} f^{'} (0) ∥ \leq \frac{n + 1}{2 n} \max_{] 0; 1 / n]} ∥ ε ∥ .

Or $ε \to_{0^{+}}^{} 0$ donc

\max_{] 0; 1 / n]} ∥ ε ∥ \to_{n \to + \infty}^{} 0

puis

S_{n} \to_{n \to + \infty}^{} \frac{1}{2} f^{'} (0) .

Exercice 4 5060

Soit $f : [a; b] \to ℝ^{2}$ une fonction dérivable.

Montrer qu’il existe $c \in] a; b [$ tel que $f^{'} (c)$ soit colinéaire à $f (b) - f (a)$ .

Exercice 5 3964

Soit $t \mapsto f (t)$ une fonction de classe $𝒞^{1}$ définie sur $ℝ$ et à valeurs dans l’espace $ℝ^{2}$ muni de sa structure euclidienne usuelle.

On suppose la fonction $t \mapsto ∥ f (t) ∥$ constante. Montrer que pour tout réel $t$ , les vecteurs $f (t)$ et $f^{'} (t)$ sont orthogonaux.

Exercice 6 6143 Correction

Soit $E$ un espace euclidien de produit scalaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ .

Soit $f : [a; b] \to E$ une fonction continue sur $[a; b]$ et dérivable sur $] a; b [$ . En considérant la fonction $φ : t \mapsto ⟨ f (b) - f (a), f (t) ⟩$ , montrer qu’il existe $c \in] a; b [$ tel que

∥ f (b) - f (a) ∥ ⩽ (b - a) ∥ f^{'} (c) ∥ .

Solution

La fonction $φ$ est à valeurs réelles, définie et continue sur $[a; b]$ et dérivable sur $] a; b [$ . Par le théorème des accroissements finis, il existe $c \in] a; b [$ tel que

φ (b) - φ (a) = (b - a) φ^{'} (c)

c’est-à-dire

{∥ f (b) - f (a) ∥}^{2} = (b - a) ⟨ f (b) - f (a), f^{'} (c) ⟩ .

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

{∥ f (b) - f (a) ∥}^{2} = (b - a) ∥ f (b) - f (a) ∥ ∥ f^{'} (c) ∥ .

Que $∥ f (b) - f (a) ∥$ soit nul ou non, on obtient

∥ f (b) - f (a) ∥ ⩽ (b - a) ∥ f^{'} (c) ∥ .

Exercice 7 5343 Correction

(Inégalité des accroissements finis)

Soient $E$ un espace normé par $∥ \cdot ∥$ , $a < b$ deux réels et $f : [a; b] \to E$ une fonction dérivable. On suppose qu’il existe $M \in ℝ_{+}$ tel que

∥ f^{'} (t) ∥ \leq M pour tout t \in [a; b] .

On souhaite établir¹¹ 1 On retrouve l’inégalité des accroissements finis déjà affirmée dans le cours mais obtenue ici avec l’hypothèse dérivable au lieu de classe $𝒞^{1}$ .

∥ f (b) - f (a) ∥ \leq M (b - a) .

(a)

Soit $ε > 0$ . Montrer l’existence d’un plus grand élément $c \in [a; b]$ tel que

$∥ f (c) - f (a) ∥ \leq (M + ε) (c - a) .$
(b)

Montrer que $c = b$ et conclure.

Solution

(a)

Méthode: On introduit la borne supérieure de l’ensemble des nombres $c$ convenables et l’on montre que celle-ci appartient aussi à cet ensemble.

Notons $A_{ε}$ l’ensemble des $c \in [a; b]$ vérifiant

$∥ f (c) - f (a) ∥ \leq (M + ε) (c - a) .$

Cet ensemble est une partie de $ℝ$ , celle-ci est non vide car $a$ lui appartient et est majorée par $b$ . La partie $A_{ε}$ admet donc une borne supérieure que l’on note encore $c$ . Par réalisation séquentielle d’une borne supérieure, il existe une suite $(c_{n})$ d’éléments de $A_{ε}$ qui tend vers $c$ . Les éléments $c_{n}$ appartiennent au segment $[a; b]$ et donc la limite $c$ aussi. En particulier, la fonction $f$ est définie en $c$ .

De plus, pour tout $n \in ℕ$ ,

$∥ f (c_{n}) - f (a) ∥ \leq (M + ε) (c_{n} - a) .$

Compte tenu de la continuité de $f$ , cela donne à la limite

$∥ f (c) - f (a) ∥ \leq (M + ε) (c - a) .$

Ainsi, $c$ est élément de $A_{ε}$ , c’est le plus grand élément de $[a; b]$ vérifiant l’inégalité.
(b)

Par l’absurde, supposons $c \in [a; b [$ .

Méthode: Puisque $∥ f^{'} (c) ∥ < M + ε$ , on montre que pour $t$ au voisinage de $c$ , on a l’inégalité $∥ f (t) - f (c) ∥ \leq (M + ε) | t - c |$ .

Sachant

$lim_{\begin{matrix} t \to c \\ t \neq c \end{matrix}} \frac{f (t) - f (c)}{t - c} = f^{'} (c) avec ∥ f^{'} (c) ∥ < M + ε$

il existe $α > 0$ tel que

$\forall t \in [a; b], (| t - c | \leq α et t \neq c) ⟹ ∥ \frac{f (t) - f (c)}{t - c} ∥ \leq M + ε .$

Puisque $c$ est strictement inférieur à $b$ , on peut introduire $t \in] c; b]$ tel que $| t - c | \leq α$ et alors

$∥ f (t) - f (c) ∥ \leq (M + ε) (t - c)$

puis, par l’inégalité triangulaire,

$∥ f (t) - f (a) ∥$ $= ∥ f (t) - f (c) + f (c) - f (a) ∥$

$\leq \underset{\begin{matrix} \leq (M + ε) (c - t) \end{matrix}}{\underset{⏟}{∥ f (t) - f (c) ∥}} + \underset{\begin{matrix} \leq (M + ε) (c - a) \end{matrix}}{\underset{⏟}{∥ f (c) - f (a) ∥}} \leq (M + ε) (t - a) .$

Cela contredit la définition de $c$ , c’est absurde.

On en déduit que $c = b$ et donc

$∥ f (b) - f (a) ∥ \leq (M + ε) (b - a) .$

Enfin, cela valant pour tout $ε > 0$ , aussi petit soit-il, on a encore

$∥ f (b) - f (a) ∥ \leq M (b - a) .$

Exercice 8 5061

Soit $\vec{f} : I \to ℝ^{n}$ une fonction dérivable ne s’annulant pas et telle que les vecteurs $\vec{f} (t)$ et ${\vec{f}}^{'} (t)$ sont colinéaires pour tout $t \in I$ .

Montrer que la fonction $\vec{f}$ prend toutes ses valeurs dans une même droite vectorielle.

Exercice 9 5247

(Loi des aires)

Soit $\vec{f} : I \to ℝ^{3}$ une fonction de classe $𝒞^{2}$ ne s’annulant pas et telle que les vecteurs $\vec{f} (t)$ et ${\vec{f}}^{''} (t)$ sont colinéaires pour tout $t \in I$ .

Montrer que la fonction $f$ prend toutes ses valeurs dans un même plan vectoriel et que le triangle défini par les vecteurs $\vec{f} (t)$ et ${\vec{f}}^{'} (t)$ est d’aire constante.

Exercice 10 6144 Correction

Soit $E$ un espace euclidien de produit scalaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ .

Soit $f : I \to E$ une fonction de classe $𝒞^{2}$ , telle que, $∥ f ∥$ est constante et, pour tout $t \in I$ , $f^{''} (t)$ est colinéaire à $f (t)$ .

Montrer que $∥ f^{'} ∥$ est constante.

Solution

Comme $t \mapsto ∥ f (t) ∥$ est constante sur $I$ , on a, pour tout $t \in I$ ,

⟨ f (t), f (t) ⟩ = c

où $c$ est une constante. En dérivant, on obtient

⟨ f^{'} (t), f (t) ⟩ = 0 .

En dérivant $t \mapsto {∥ f^{'} (t) ∥}^{2}$ , on obtient

\frac{d}{d t} ({∥ f^{'} (t) ∥}^{2}) = 2 ⟨ f^{''} (t), f^{'} (t) ⟩ .

Or $f^{''} (t)$ est colinéaire à $f (t)$ et il existe donc $λ (t) \in ℝ$ tel que $f^{''} (t) = λ (t) f (t)$ . Ainsi

⟨ f^{''} (t), f^{'} (t) ⟩ = λ (t) ⟨ f (t), f^{'} (t) ⟩ = 0

puis

\frac{d}{d t} ({∥ f^{'} (t) ∥}^{2}) = 0

ce qui montre que $t \mapsto {∥ f^{'} (t) ∥}^{2}$ est constante.

Exercice 11 6145 Correction

On munit $ℝ^{3}$ de son produit scalaire canonique.

Soient $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ trois fonctions définies sur $ℝ$ , à valeurs dans $ℝ^{3}$ , de classe $𝒞^{1}$ telles que, pour tout $t \in ℝ$ , la famille $ℬ (t) = (e_{1} (t), e_{2} (t), e_{3} (t))$ est une base orthonormée de $ℝ^{3}$ .

Pour tout $t \in ℝ$ , montrer que la matrice $M (t)$ représentative de la famille $(e_{1}^{'} (t), e_{2}^{'} (t), e_{3}^{'} (t))$ dans la base $ℬ (t)$ est antisymétrique.

Solution

Soit $t \in ℝ$ . Comme $ℬ (t) = (e_{1} (t), e_{2} (t), e_{3} (t))$ est une base orthonormée de $ℝ^{3}$ , on a, pour tous $i, j \in {1, 2, 3}$ ,

⟨ e_{i} (t), e_{j} (t) ⟩ = δ_{i, j} .

En dérivant cette relation par rapport à $t$ , on obtient

⟨ e_{i}^{'} (t), e_{j} (t) ⟩ + ⟨ e_{i} (t), e_{j}^{'} (t) ⟩ = 0

Or, par définition de la matrice $M (t)$ de la famille $(e_{1}^{'} (t), e_{2}^{'} (t), e_{3}^{'} (t))$ dans la base orthonormée $ℬ (t)$ , ses coefficients sont donnés par

M (t) = (m_{i, j} (t)) avec m_{i, j} (t) = ⟨ e_{i} (t), e_{j}^{'} (t) ⟩

Ainsi, pour tous $i, j$ ,

m_{i, j} (t) = ⟨ e_{i} (t), e_{j}^{'} (t) ⟩ = - ⟨ e_{j} (t), e_{i}^{'} (t) ⟩ = - m_{j, i} (t)

où l’on a utilisé la symétrie du produit scalaire.

On en déduit que $M (t)$ est antisymétrique.

Exercice 12 6146 Correction

Soit $f : [a; b] \to E$ une application dérivable telle que

\forall t \in [a; b], ∥ f (t) ∥ + ∥ f^{'} (t) ∥ > 0 .

Montrer que $f$ ne s’annule qu’au plus un nombre fini de fois.

Solution

Par l’absurde, supposons que $f$ s’annule une infinité de fois. On peut former une suite ${(t_{n})}_{n \in ℕ}$ d’éléments de $[a; b]$ formée d’annulations deux à deux distinctes de $f$ . Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe $φ : ℕ \to ℕ$ strictement croissante telle que

t_{φ (k)} \to_{k \to + \infty}^{} t_{\infty} \in [a; b] .

Par continuité de $f$ , $f (t_{\infty}) = 0$ . Par définition,

f^{'} (t_{\infty}) = lim_{\binom{t \to t_{\infty}}{t \neq t_{\infty}}} \frac{f (t) - f (t_{\infty})}{t - t_{\infty}} .

et, par caractérisation séquentielle,

f^{'} (t_{\infty}) = lim_{k \to + \infty} \frac{f (t_{φ (k)}) - f (t_{\infty})}{t_{φ (k)} - t_{\infty}} = 0 .

Cela contredit l’hypothèse

\forall t \in [a; b], ∥ f (t) ∥ + ∥ f^{'} (t) ∥ > 0 .

C’est absurde.

[>] Dérivation de fonctions à valeurs matricielles

Édité le 24-04-2026

	$∥ f (t) - f (a) ∥$	$= ∥ f (t) - f (c) + f (c) - f (a) ∥$
		$\leq \underset{\begin{matrix} \leq (M + ε) (c - t) \end{matrix}}{\underset{⏟}{∥ f (t) - f (c) ∥}} + \underset{\begin{matrix} \leq (M + ε) (c - a) \end{matrix}}{\underset{⏟}{∥ f (c) - f (a) ∥}} \leq (M + ε) (t - a) .$