[>] Vecteurs tangents à une partie
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et dérivable en .
On suppose
Montrer que est linéaire
Solution
Pour , on obtient et donc .
Pour ,
Par récurrence, on acquiert
Par développement limité en , on peut écrire
On en déduit
À la limite quand tend vers l’infini,
Ainsi, est linéaire.
Pour , on pose
ce qui détermine une fonction dérivable .
Calculer .
A-t-on ?
Solution
On remarque . On en déduit
On obtient
et
La formule n’est pas vérifiée.
Pour et réel, on pose:
Montrer que est une fonction dérivable et exprimer en fonction de pour et .
En déduire l’expression de pour tous et .
Solution
Notons la matrice dont est le déterminant. Par la formule définissant le déterminant,
On en déduit que la fonction est dérivable mais cette formule n’est pas particulièrement commode11 1 Cependant, on peut y parvenir après un effort de lucidité! pour calculer .
Notons les colonnes de la matrice . On sait
Les coefficients de étant des fonctions dérivables, on peut affirmer que chaque fonction est dérivable. Par multilinéarité du déterminant d’une famille de colonnes, on retrouve que l’application est dérivable22 2 Par la même argumentation, on montre de classe car les fonctions colonnes le sont. avec, au surplus, la formule de dérivation
On remarque que, pour tout , . Le déterminant d’une famille comportant deux vecteurs identiques étant nuls, on peut simplifier l’égalité précédente et écrire
En développant par rapport à la dernière colonne ce dernier déterminant, on obtient
Sachant et , on montre par récurrence
La propriété est immédiatement vraie pour .
Supposons celle-ci acquise au rang avec .
Par hypothèse de récurrence,
La récurrence est établie
Calculer le déterminant
où réels.
Solution
En retirant la première colonne aux autres, on obtient un déterminant où ne figurent des que sur la première colonne. En développant selon cette première colonne, on obtient une expression affine de la variable .
Il reste à déterminer les réels exprimant cette fonction affine.
D’une part
et d’autre part
La dérivée d’un déterminant est la somme des déterminants obtenus lorsque l’on ne dérive qu’une colonne
où la colonne formée de 1 est à la position . Chaque déterminant se calcule en développant selon la ligne ne contenant que le coefficient 1 et l’on obtient
Soit une fonction dérivable.
Montrer qu’il existe tel que soit colinéaire à .
Soit une fonction de classe définie sur et à valeurs dans l’espace muni de sa structure euclidienne usuelle.
On suppose la fonction constante. Montrer que pour tout réel , les vecteurs et sont orthogonaux.
Soit une fonction dérivable ne s’annulant pas et telle que les vecteurs et sont colinéaires pour tout .
Montrer que la fonction prend toutes ses valeurs dans une même droite vectorielle.
(Loi des aires)
Soit une fonction de classe ne s’annulant pas et telle que les vecteurs et sont colinéaires pour tout .
Montrer que la fonction prend toutes ses valeurs dans un même plan vectoriel et que le triangle défini par les vecteurs et est d’aire constante.
Soient trois fonctions de classe de vers (avec ). On suppose
Montrer qu’il existe vérifiant
Solution
On introduit la fonction définie par
Cette fonction est continue sur , dérivable sur avec
De plus, et donc, par le théorème de Rolle, il existe tel que . Au surplus, et une nouvelle application du théorème de Rolle – à la fonction cette fois – donne l’existence de telle
Soit une application de classe vérifiant, pour tout réel ,
Montrer que la matrice n’est inversible pour aucune valeur de .
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et .
Montrer que admet un prolongement de classe à si, et seulement si, admet une limite en .
Solution
Un tel résultat est déjà connu pour les fonctions à valeurs réelles par application du théorème des accroissements finis. En raisonnant via parties réelles et imaginaires on peut étendre ce résultat au cas d’une fonction complexe. En raisonnant via les fonctions coordonnées dans une base de , on prolonge ce résultat aux fonctions à valeurs dans .
Pour nilpotente, on pose
On étudie la fonction donnée par pour .
Établir
Montrer que est dérivable sur avec
Montrer que est constante.
En déduire .
Solution
Puisque est nilpotente de taille , on sait . Cela assure que est correctement définie pour tout .
et l’on peut introduire
Les termes de la somme définissant commutent entre eux et donc
Pour , on sait que est de classe sur avec
Par produit, on en déduit que la fonction est de classe sur . Aussi, par composition,
et, par dérivation d’un produit (et commutativité des facteurs),
On multiplie les deux membres par pour observer un télescopage en second membre
On peut à nouveau dériver
ce qui se simplifie en
Puisque la matrice est nilpotente, elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte. Par cette similitude, on obtient et donc est une matrice inversible. On en déduit
La fonction est donc constante.
On a et puis on obtient
En particulier,
Pour nilpotente, on pose
Établir que pour tout .
Solution
Puisque est nilpotente de taille , on sait . Cela assure que est correctement définie pour tout .
et l’on peut introduire
Les termes de la somme définissant commutent entre eux et donc
Pour , on sait que est de classe sur avec
Par produit, on en déduit que la fonction est de classe sur . Aussi, par composition,
et, par dérivation d’un produit (et commutativité des facteurs),
On multiplie les deux membres par pour observer un télescopage en second membre
On peut à nouveau dériver
ce qui se simplifie en
Puisque la matrice est nilpotente, elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte. Par cette similitude, on obtient et donc est une matrice inversible. On en déduit
La fonction est donc constante égale à puis on obtient
Soit dérivable à droite en 0 et vérifiant .
Déterminer la limite quand de
Solution
Par la dérivabilité à droite de en , on peut écrire
Puisque , on obtient
En exploitant
et
on obtient
Or donc
puis
(Inégalité des accroissements finis)
Soient un espace normé par , deux réels et une fonction dérivable. On suppose qu’il existe tel que
On souhaite établir11 1 On retrouve l’inégalité des accroissements finis déjà affirmée dans le cours mais obtenue ici avec l’hypothèse dérivable au lieu de classe .
Soit . Montrer l’existence d’un plus grand élément tel que
Montrer que et conclure.
Solution
Méthode: On introduit la borne supérieure de l’ensemble des nombres convenables et l’on montre que celle-ci appartient aussi à cet ensemble.
Notons l’ensemble des vérifiant
Cet ensemble est une partie de , celle-ci est non vide car lui appartient et est majorée par . La partie admet donc une borne supérieure que l’on note encore . Par réalisation séquentielle d’une borne supérieure, il existe une suite d’éléments de qui tend vers . Les éléments appartiennent au segment et donc la limite aussi. En particulier, la fonction est définie en .
De plus, pour tout ,
Compte tenu de la continuité de , cela donne à la limite
Ainsi, est élément de , c’est le plus grand élément de vérifiant l’inégalité.
Par l’absurde, supposons .
Méthode: Puisque , on montre que pour au voisinage de , on a l’inégalité .
Sachant
il existe tel que
Puisque est strictement inférieur à , on peut introduire tel que et alors
puis, par l’inégalité triangulaire,
Cela contredit la définition de , c’est absurde.
On en déduit que et donc
Enfin, cela valant pour tout , aussi petit soit-il, on a encore
[>] Vecteurs tangents à une partie
Édité le 05-04-2024
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