Par l’inégalité de Taylor Lagrange:

$$\parallel f\left(\frac{1}{2}\right)-f(0)-\frac{1}{2}{f}^{\prime }(0)\parallel \le \frac{1}{8}{\parallel f^{\prime \prime }\parallel }_{\mathrm{\infty }}$$

et

$$\parallel f\left(\frac{1}{2}\right)-f(1)+\frac{1}{2}{f}^{\prime }(1)\parallel \le \frac{1}{8}{\parallel f^{\prime \prime }\parallel }_{\mathrm{\infty }}\text{.}$$

On en déduit

$$\parallel f\left(\frac{1}{2}\right)\parallel \le \frac{1}{8}{\parallel f^{\prime \prime }\parallel }_{\mathrm{\infty }}\text{ et }\left|\parallel f\left(\frac{1}{2}\right)\parallel -\parallel f(1)\parallel \right|\le \frac{1}{8}{\parallel f^{\prime \prime }\parallel }_{\mathrm{\infty }}$$

donc

$$1=\parallel f(1)\parallel \le \parallel f(1)\parallel -\parallel f\left(\frac{1}{2}\right)\parallel +\parallel f\left(\frac{1}{2}\right)\parallel \le \frac{1}{4}{\parallel f^{\prime \prime }\parallel }_{\mathrm{\infty }}$$

puis ${\parallel f^{\prime \prime }\parallel }_{\mathrm{\infty }}\ge 4$.

• (a)

  Procédons par récurrence sur $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

  Pour $n=1$,

  $$\sum _{k=0}^n{(-1)}^k\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{k}\right)={(1-1)}^n=0\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\sum _{k=0}^n{(-1)}^{k}k\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{k}\right)=-1\text{.}$$

  Supposons la propriété établie au rang $n\ge 1$.

  Soit $0\le p<n+1$.

  Si $p=0$ alors

  $$\sum _{k=0}^{n+1}{(-1)}^k\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n+1}{k}\right)k^p={(1-1)}^{n+1}=0\text{.}$$

  Si $0<p<n+1$ alors

  $$\sum _{k=0}^{n+1}{(-1)}^k\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n+1}{k}\right)k^p=(n+1)\sum _{k=1}^{n+1}{(-1)}^k\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{k-1}\right)k^{p-1}=(n+1)\sum _{k=0}^n{(-1)}^{k-1}\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{k}\right){(k+1)}^{p-1}=0$$

  après développement du ${(k+1)}^{p-1}$.

  Si $p=n+1$ alors

  $$\sum _{k=0}^{n+1}{(-1)}^k\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n+1}{k}\right)k^{n+1}=(n+1)\sum _{k=0}^n{(-1)}^{k-1}\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{k}\right){(k+1)}^n={(-1)}^{n+1}(n+1)!\text{.}$$

  La récurrence est établie.

• (b)

  Par la formule de Taylor-Young,

  $$f(x)\underset{x\to 0}{=}\sum _{p=0}^n\frac{f^{(p)}(0)}{p!}{x}^p+\mathrm{o}(x^n)$$

  donc

  $$\sum _{k=0}^n{(-1)}^k\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{k}\right)f(kh)\underset{h\to 0}{=}\sum _{p=0}^n\frac{f^{(p)}(0)}{p!}\sum _{k=0}^n{(-1)}^k\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{k}\right)k^p+\mathrm{o}(h^n)\underset{h\to 0}{\overset{}{\to }}{(-1)}^n{f}^{(n)}(0)\text{.}$$