[<] Formules de Taylor

 
Exercice 1  579   Correction  

Étudier la courbe paramétrée définie par

{x=cos(3t)y=sin(2t).

Solution

L’application tM(t) est définie et de classe 𝒞 sur .

Réduction du domaine d’étude:

M(t+2π)=M(t).

M(-t) est le symétrique de M(t) par rapport à l’axe (Ox).

M(π-t) est le symétrique de M(t) par rapport au point O.

On peut limiter l’étude à l’intervalle [0;π/2]. La courbe obtenue sera complétée par les symétries de centre O et d’axe (Ox).

Tableau des variations simultanées

Il y a deux points doubles. Pour des raisons de symétrie, ceux-ci correspondent à une abscisse nulle. On obtient un point double pour t=π/6 et t=7π/6 de coordonnées (0,3/2). Par symétrie, l’autre point double est de coordonnées (0,-3/2).

 
Exercice 2  3969   

(Une ellipse)

Soient a et b deux réels strictement positifs avec a>b

  • (a)

    Montrer que le système

    {x=acos(t)y=bsin(t)

    définit pour t parcourant un paramétrage de la courbe d’équation cartésienne

    x2a2+y2b2=1.
  • (b)

    Exploiter ce paramétrage pour donner l’allure de cette courbe.

On pose c>0 tel que a2=b2+c2 et l’on introduit les deux points F et F de l’axe des abscisses situés à la distance c de l’origine.

  • (c)

    Vérifier que la courbe étudiée est exactement celle constituée des points M satisfaisant

    MF+MF=2a.
 
Exercice 3  3965   Correction  

(Astroïde)

  • (a)

    Étudier la courbe paramétrée définie par

    {x=cos3(t)y=sin3(t).
  • (b)

    On note A et B les points d’intersection des axes (Ox) et (Oy) avec la tangente au point de paramètre t0[π/2] de la courbe précédente. Calculer la distance A(t)B(t).

Solution

  • (a)

    L’application tf(t) est définie et de classe 𝒞 sur .
    f(t+2π)=f(t) sont confondus.
    f(-t) est le symétrique de f(t) par rapport à l’axe (Ox)
    f(π-t) est le symétrique de f(t) par rapport à l’axe (Oy)
    f(π/2-t) est le symétrique de f(t) par rapport à la droit Δ:y=x.
    On peut limiter l’étude à l’intervalle [0;π/4]. La courbe obtenue sera complétée par les symétries d’axe Δ, (Oy) puis (Ox).
    Tableau des variations simultanées

    {x(t)=-3sin(t)cos2(t)y(t)=3cos(t)sin2(t).

    Étude en t=0. Le paramètre n’est pas régulier. Cependant

    y(t)-y(0)x(t)-x(0)t0t3-3/2t20.

    La tangente est donc dirigée par l’axe des abscisses.


    L’astroïde

  • (b)

    L’équation de la tangente au point de paramètre t est

    y=-tan(t)(x-cos3(t))+sin3(t).

    On a A(t)|0sin(t) et B(t)|cos(t)0 et donc

    A(t)B(t)=1.
 
Exercice 4  3966   Correction  

(Cycloïde)

Étudier la courbe paramétrée définie par

{x=t-sin(t)y=1-cos(t).

Solution

L’application tf(t) est définie et de classe 𝒞 sur .
f(t+2π) est l’image de f(t) par la translation de vecteur 2πi.
f(-t) est le symétrique de f(t) par rapport à l’axe (Oy).
On peut limiter l’étude à l’intervalle [0;π]. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe (Oy) et par les translations de vecteurs 2kπi avec k.
Tableau des variations simultanées

{x(t)=1-cos(t)y(t)=sin(t).
t0πx(t)0+2x(t)0πy(t)02y(t)0+0.

Le paramètre t=0 n’est pas régulier. Cependant

y(t)-y(0)x(t)-x(0)t0t2/2t3/6+.

La courbe présente donc une tangente verticale en l’origine.

Figure 1: La cycloïde
 
Exercice 5  3967   

(Tractrice)

  • (a)

    Figurer la courbe définie par le paramétrage

    {x=t-sh(t)ch(t)y=1ch(t)

    avec t parcourant .

  • (b)

    On note A le point d’intersection de l’axe (Ox) avec la tangente au point M de paramètre t de la courbe ci-dessus. Calculer la distance AM.

 
Exercice 6  585   Correction  

(Lemniscate de Bernoulli)

  • (a)

    Étudier la courbe paramétrée définie par

    {x=sin(t)1+cos2(t)y=sin(t)cos(t)1+cos2(t).
  • (b)

    On introduit les points

    F(1/2,0) et F(-1/2,0).

    Montrer que pour tout point M de la courbe ci-dessus

    MF×MF=12.

Solution

  • (a)

    L’application tf(t) est définie et de classe 𝒞 sur .
    f(t+2π) et f(t) sont confondus.
    f(-t) est le symétrique de f(t) par rapport au point O.
    f(π-t) est le symétrique de f(t) par rapport à l’axe (Ox)
    On peut limiter l’étude à l’intervalle [0;π/2]. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe (Ox) et la symétrie de centre O.
    Tableau des variations simultanées
    On pose t0=arccos(1/3). On a cos(t0)=1/3 et sin(t0)=2/3.


    La lemniscate de Bernoulli

  • (b)

    On a

    MF2=sin2(t)(1+cos2(t))+12-2sin(t)1+cos2(t) et MF2=sin2(t)(1+cos2(t))+12+2sin(t)1+cos2(t)

    donc

    MF2MF2=14.
 
Exercice 7  3968   Correction  

(Cardioïde)

Étudier la courbe définie par

{x(t)=2cos(t)+cos(2t)y(t)=2sin(t)+sin(2t).

Solution

L’application tf(t) est définie et de classe 𝒞 sur .
f(t+2π) et f(t) sont confondus.
f(-t) est le symétrique de f(t) par rapport à l’axe (Ox).
On peut limiter l’étude à l’intervalle [0;π]. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe (Ox).
Tableau des variations simultanées

{x(t)=-2sin(t)-2sin(2t)y(t)=2cos(t)+2cos(2t).
{x(t)=0t=0,2π/3,πy(t)=0t=π/3,π.
t0π/32π/3πx(t)0--0+0x(t)31/2-3/2-1y(t)033/23/20y(t)+0--0m(t)-0+-?.

Le point de paramètre t=π est stationnaire. Cependant

y(t)-y(π)x(t)-x(π)tπt-π0.

La courbe présente donc une tangente horizontale en t=π.

Figure 1: La cardioïde
 
Exercice 8  3971   Correction  
  • (a)

    Étudier la courbe

    {x=3t2y=2t3.
  • (b)

    Donner une équation de la tangente et de la normale en le point M de paramètre t.

  • (c)

    Déterminer les droites qui sont à la fois tangentes et normales à cette courbe.

Solution

Notons f(t) la fonction définissant ce paramétrage.

  • (a)

    L’application tf(t) est définie et de classe 𝒞 sur .
    Les points désignés par f(-t) et f(t) sont symétriques par rapport à (Ox).
    Étude limitée à [0;+[. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe (Ox)

    {x(t)=6ty(t)=6t2.
    {x(t)=0t=0y(t)=0t=0.
    t0+x(t)0+x(t)0+y(t)0+y(t)0+.

    Étude en t=0. Le point n’est pas régulier, cependant

    y(t)-y(0)x(t)-x(0)t00.

    Il y a une tangente horizontale en t=0

    Figure 1: La courbe x=3t2,y=2t3
  • (b)

    Pour t0, la tangente 𝒟t en M a pour équation

    -t2(x-3t2)+t(y-2t3)=0

    soit

    tx-y=t3.

    Pour t0, la normale 𝒩t en M a pour équation

    t(x-3t2)-t2(y-2t3)=0

    soit

    tx-t2y=3t3-2t5.

    Ces équations sont encore valables pour t=0.

  • (c)

    La tangente 𝒟t est normale à la courbe au point N de paramètre τ si, et seulement si,

    {3tτ2-2τ3=t3tτ+t2τ2=0

    ce qui traduit N𝒟t et l’orthogonalité des tangentes en M et N.
    Si t=0 alors τ=0 mais le couple (0,0) n’est pas solution.
    Si t0 alors τ0 et τ=-1/t puis 3t+2t3=t3 d’où (t2+1)2(t2-2)=0
    ce qui donne t=2,-2.

 
Exercice 9  3972   Correction  
  • (a)

    Étudier et représenter la courbe définie par

    {x=4t3y=3t4.
  • (b)

    Former une équation de la tangente au point de paramètre t.

  • (c)

    Déterminer un paramétrage du lieu des points d’où l’on peut mener deux tangentes à la courbe précédente orthogonales et figurer cette courbe.

Solution

Notons f(t) la fonction définissant ce paramétrage.

  • (a)

    L’application tf(t) est définie et de classe 𝒞 sur .
    f(-t) est le symétrique de f(t) par rapport à l’axe (Oy).
    On peut limiter l’étude à l’intervalle [0;+[. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe (Oy).
    Tableau des variations simultanées

    {x(t)=12t2y(t)=12t3.
    {x(t)=0t=0y(t)=0t=0.
    t0+x(t)0+x(t)0+y(t)0+y(t)0+.

    Étude en t=0. Le point n’est pas régulier, cependant

    y(t)-y(0)x(t)-x(0)t00.

    Il y a une tangente horizontale

    Figure 1: La courbe x=4t3,y=3t2
  • (b)

    Pour t0, la tangente en M a pour équation:

    tx-y=t4.

    En t=0: cette équation convient encore.

  • (c)

    Les tangentes en M et N de paramètres t et τ et M(τ) sont orthogonales si, et seulement si, 1+tτ=0
    Si tel est le cas leur intersection est solution du système

    {tx-y=t4-1tx-y=1t4.

    Après résolution

    {x=t3-t+1t-1t3y=-t2+1-1t2.

    Notons g(t) la fonction définissant le paramétrage de la courbe ainsi obtenue, t*
    g(-t) est le symétrique de g(t) par rapport à l’axe (Oy).
    Les points g(t) et g(1/t) sont confondus.
    On peut limiter l’étude à l’intervalle ]0;1].

    {x(t)=3t2-1-1t2+3t4=(1+t2)(3t4-4t2+3)t4y(t)=-2t+2t3=2(1-t4)t3.

    Tableau des variations simultanées

    t01x(t)-4x(t)+0y(t)--1y(t)+0.
    Figure 2: La courbe des points d’où l’on peut mener deux tangentes orthogonales
 
Exercice 10  3970   Correction  

Soit tf(t) définissant un arc régulier tel qu’en tout point de paramètre t la tangente soit

Dt:(t3+3t)x-2y=t3.

Réaliser un paramétrage en coordonnées cartésiennes de l’arc étudié et le représenter.

Solution

Posons f(t)=(x(t),y(t)) avec x et y fonctions dérivables. Le point de paramètre t appartient à la droite Dt et donc

(t3+3t)x(t)-2y(t)=t3.

Le vecteur f(t) dirige la droite Dt donc

(t3+3t)x(t)-2y(t)=0.

En dérivant (1) et en exploitant (2), on obtient

(3t2+3)x(t)=3t2

donc

x(t)=t21+t2 et y(t)=t31+t2.

L’application tf(t) correspondante est définie et de classe 𝒞 sur .
f(-t) est le symétrique de f(t) par rapport à l’axe (Ox).
On peut limiter l’étude à l’intervalle +. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe (Ox).

t0+x(t)0+x(t)01y(t)0+y(t)0+.

Étude en t=0. Le point n’est pas régulier, cependant

y(t)-y(0)x(t)-x(0)t00.

Il y a donc une tangente horizontale en le point de paramètre t=0.
Étude quand t+
x(t)1- et y(t)+
La droite est asymptote à la courbe et celle-ci est à gauche de la droite.

Figure 1: La courbe solution
 
Exercice 11  4077   Correction  

Soit D le disque de centre (0,0) et de rayon R>0 du plan 2.
Montrer que les vecteurs tangents à D aux points du cercle limite sont orthogonaux au vecteur rayon.

Solution

Soit a un point du cercle limite de centre (0,0) et de rayon R>0.
Soit γ:]-ε;ε[D une application dérivable en 0 avec γ(0)=a.
Puisque l’application γ est à valeurs dans D, on a

t]-ε;ε[,γ(t)2R2.

Or γ(0)2=R2 et donc l’application tγ(t)2 admet un maximum en t=0. Son nombre dérivé y est alors nul ce qui fournit

2γ(0),γ(0)=0.

Ainsi, le vecteur tangent v=γ(0) est orthogonal au vecteur rayon a=γ(0).

[<] Formules de Taylor



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax