L’application $t\mapsto M(t)$ est définie et de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ sur $ℝ$.

Réduction du domaine d’étude:

$M(t+2\pi )=M(t)$.

$M(-t)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à l’axe $(Ox)$.

$M(\pi -t)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport au point $O$.

On peut limiter l’étude à l’intervalle $[0;\pi /2]$. La courbe obtenue sera complétée par les symétries de centre $O$ et d’axe $(Ox)$.

Tableau des variations simultanées

Il y a deux points doubles. Pour des raisons de symétrie, ceux-ci correspondent à une abscisse nulle. On obtient un point double pour $t=\pi /6$ et $t^{\prime }=7\pi /6$ de coordonnées $(0,\sqrt{3}/2)$. Par symétrie, l’autre point double est de coordonnées $(0,-\sqrt{3}/2)$.

• (a)

  L’application $t\mapsto f(t)$ est définie et de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ sur $ℝ$.
  $f(t+2\pi )=f(t)$ sont confondus.
  $f(-t)$ est le symétrique de $f(t)$ par rapport à l’axe $(Ox)$
  $f(\pi -t)$ est le symétrique de $f(t)$ par rapport à l’axe $(Oy)$
  $f(\pi /2-t)$ est le symétrique de $f(t)$ par rapport à la droit $\mathrm{\Delta }:y=x$.
  On peut limiter l’étude à l’intervalle $[0;\pi /4]$. La courbe obtenue sera complétée par les symétries d’axe $\mathrm{\Delta }$, $(Oy)$ puis $(Ox)$.
  Tableau des variations simultanées

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x^{\prime }(t)& =-3\sin (t){\cos }^2(t)\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill y^{\prime }(t)& =3\cos (t){\sin }^2(t)\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  

  Étude en $t=0$. Le paramètre n’est pas régulier. Cependant

  $$\frac{y(t)-y(0)}{x(t)-x(0)}\underset{t\to 0}{\sim }\frac{t^3}{-3/2t^2}\to 0\text{.}$$

  La tangente est donc dirigée par l’axe des abscisses.

  
  

  L’astroïde

• (b)

  L’équation de la tangente au point de paramètre $t$ est

  $$y=-\tan (t)\left(x-{\cos }^3(t)\right)+{\sin }^3(t)\text{.}$$

  On a $A(t)|\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill \sin (t)\hfill \end{array}$ et $B(t)|\begin{array}{c}\hfill \cos (t)\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}$ et donc

  $$A(t)B(t)=1\text{.}$$

L’application $t\mapsto f(t)$ est définie et de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ sur $ℝ$.
$f(t+2\pi )$ est l’image de $f(t)$ par la translation de vecteur $2\pi \overrightarrow{i}$.
$f(-t)$ est le symétrique de $f(t)$ par rapport à l’axe $(Oy)$.
On peut limiter l’étude à l’intervalle $[0;\pi ]$. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe $(Oy)$ et par les translations de vecteurs $2k\pi \overrightarrow{i}$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Tableau des variations simultanées

Le paramètre $t=0$ n’est pas régulier. Cependant

La courbe présente donc une tangente verticale en l’origine.

• (a)

  L’application $t\mapsto f(t)$ est définie et de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ sur $ℝ$.
  $f(t+2\pi )$ et $f(t)$ sont confondus.
  $f(-t)$ est le symétrique de $f(t)$ par rapport au point $O$.
  $f(\pi -t)$ est le symétrique de $f(t)$ par rapport à l’axe $(Ox)$
  On peut limiter l’étude à l’intervalle $[0;\pi /2]$. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe $(Ox)$ et la symétrie de centre $O$.
  Tableau des variations simultanées
  On pose $t_0=\arccos (1/\sqrt{3})$. On a $\cos (t_0)=1/\sqrt{3}$ et $\sin (t_0)=\sqrt{2/3}$.

  
  
  

  La lemniscate de Bernoulli

• (b)

  On a

  $$M{F}^2=\frac{{\sin }^2(t)}{\left(1+{\cos }^2(t)\right)}+\frac{1}{2}-\sqrt{2}\frac{\sin (t)}{1+{\cos }^2(t)}\text{ et }M{F}^{\prime 2}=\frac{{\sin }^2(t)}{\left(1+{\cos }^2(t)\right)}+\frac{1}{2}+\sqrt{2}\frac{\sin (t)}{1+{\cos }^2(t)}$$

  donc

  $$M{F}^{2}M{F}^{\prime 2}=\frac{1}{4}\text{.}$$

L’application $t\mapsto f(t)$ est définie et de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ sur $ℝ$.
$f(t+2\pi )$ et $f(t)$ sont confondus.
$f(-t)$ est le symétrique de $f(t)$ par rapport à l’axe $(Ox)$.
On peut limiter l’étude à l’intervalle $[0;\pi ]$. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe $(Ox)$.
Tableau des variations simultanées

Le point de paramètre $t=\pi$ est stationnaire. Cependant

La courbe présente donc une tangente horizontale en $t=\pi$.

Notons $f(t)$ la fonction définissant ce paramétrage.

• (a)

  L’application $t\mapsto f(t)$ est définie et de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ sur $ℝ$.
  Les points désignés par $f(-t)$ et $f(t)$ sont symétriques par rapport à $(Ox)$.
  Étude limitée à $[0;+\mathrm{\infty }[$. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe $(Ox)$

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x^{\prime }(t)& =6t\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill y^{\prime }(t)& =6t^2\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x^{\prime }(t)& =0\iff t=0\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill y^{\prime }(t)& =0\iff t=0\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  $$\begin{array}{cccc}\hfill t\hfill & \hfill 0\hfill & & \hfill +\mathrm{\infty }\hfill \\ \hfill x^{\prime }(t)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill +\hfill & \\ \hfill x(t)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \nearrow \hfill & \hfill +\mathrm{\infty }\hfill \\ \hfill y(t)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \nearrow \hfill & \hfill +\mathrm{\infty }\hfill \\ \hfill y^{\prime }(t)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill +\hfill & \end{array}\text{.}$$

  Étude en $t=0$. Le point n’est pas régulier, cependant

  $$\frac{y(t)-y(0)}{x(t)-x(0)}\underset{t\to 0}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

  Il y a une tangente horizontale en $t=0$

  

  Figure 1: La courbe $x=3t^2,y=2t^3$
• (b)

  Pour $t\ne 0$, la tangente ${𝒟}_t$ en $M$ a pour équation

  $$-t^2(x-3t^2)+t(y-2t^3)=0$$

  soit

  $$tx-y=t^3\text{.}$$

  Pour $t\ne 0$, la normale ${𝒩}_t$ en $M$ a pour équation

  $$t(x-3t^2)-t^2(y-2t^3)=0$$

  soit

  $$tx-t^{2}y=3t^3-2t^5\text{.}$$

  Ces équations sont encore valables pour $t=0$.

• (c)

  La tangente ${𝒟}_t$ est normale à la courbe au point $N$ de paramètre $\tau$ si, et seulement si,

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill 3t{\tau }^2-2{\tau }^3=t^3& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill t\tau +t^2{\tau }^2=0& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  ce qui traduit $N\in {𝒟}_t$ et l’orthogonalité des tangentes en $M$ et $N$.
  Si $t=0$ alors $\tau =0$ mais le couple $(\mathrm{0,0})$ n’est pas solution.
  Si $t\ne 0$ alors $\tau \ne 0$ et $\tau =-1/t$ puis $\frac{3}{t}+\frac{2}{t^3}=t^3$ d’où ${(t^2+1)}^2(t^2-2)=0$
  ce qui donne $t=\sqrt{2},-\sqrt{2}$.

Notons $f(t)$ la fonction définissant ce paramétrage.

• (a)

  L’application $t\mapsto f(t)$ est définie et de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ sur $ℝ$.
  $f(-t)$ est le symétrique de $f(t)$ par rapport à l’axe $(Oy)$.
  On peut limiter l’étude à l’intervalle $[0;+\mathrm{\infty }[$. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe $(Oy)$.
  Tableau des variations simultanées

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x^{\prime }(t)& =12t^2\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill y^{\prime }(t)& =12t^3\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x^{\prime }(t)=0& \iff t=0\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill y^{\prime }(t)=0& \iff t=0\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  $$\begin{array}{cccc}\hfill t\hfill & \hfill 0\hfill & & \hfill +\mathrm{\infty }\hfill \\ \hfill x^{\prime }(t)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill +\hfill & \\ \hfill x(t)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \nearrow \hfill & \hfill +\mathrm{\infty }\hfill \\ \hfill y(t)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \nearrow \hfill & \hfill +\mathrm{\infty }\hfill \\ \hfill y^{\prime }(t)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill +\hfill & \end{array}\text{.}$$

  Étude en $t=0$. Le point n’est pas régulier, cependant

  $$\frac{y(t)-y(0)}{x(t)-x(0)}\underset{t\to 0}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

  Il y a une tangente horizontale

  

  Figure 1: La courbe $x=4t^3,y=3t^2$
• (b)

  Pour $t\ne 0$, la tangente en $M$ a pour équation:

  $$tx-y=t^4\text{.}$$

  En $t=0$: cette équation convient encore.

• (c)

  Les tangentes en $M$ et $N$ de paramètres $t$ et $\tau$ et $M(\tau )$ sont orthogonales si, et seulement si, $1+t\tau =0$
  Si tel est le cas leur intersection est solution du système

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill tx-y& =t^4\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill -\frac{1}{t}x-y& =\frac{1}{t^4}\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  Après résolution

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x& =t^3-t+\frac{1}{t}-\frac{1}{t^3}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill y& =-t^2+1-\frac{1}{t^2}\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  Notons $g(t)$ la fonction définissant le paramétrage de la courbe ainsi obtenue, $t\in {ℝ}^{*}$
  $g(-t)$ est le symétrique de $g(t)$ par rapport à l’axe $(Oy)$.
  Les points $g(t)$ et $g(1/t)$ sont confondus.
  On peut limiter l’étude à l’intervalle $]0;1]$.

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x^{\prime }(t)& =3t^2-1-\frac{1}{t^2}+\frac{3}{t^4}=\frac{(1+t^2)(3t^4-4t^2+3)}{t^4}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill y^{\prime }(t)& =-2t+\frac{2}{t^3}=\frac{2(1-t^4)}{t^3}\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  Tableau des variations simultanées

  $$\begin{array}{cccc}\hfill t\hfill & \hfill 0\hfill & & \hfill 1\hfill \\ \hfill x^{\prime }(t)\hfill & & \hfill -\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill x(t)\hfill & \hfill +\mathrm{\infty }\hfill & \hfill \searrow \hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill y(t)\hfill & \hfill -\mathrm{\infty }\hfill & \hfill \nearrow \hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill y^{\prime }(t)\hfill & & \hfill +\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\text{.}$$

  

  Figure 2: La courbe des points d’où l’on peut mener deux tangentes orthogonales

Posons $f(t)=(x(t),y(t))$ avec $x$ et $y$ fonctions dérivables. Le point de paramètre $t$ appartient à la droite $D_t$ et donc

Le vecteur $f^{\prime }(t)$ dirige la droite $D_t$ donc

En dérivant $(1)$ et en exploitant $(2)$, on obtient

donc

L’application $t\mapsto f(t)$ correspondante est définie et de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ sur $ℝ$.
$f(-t)$ est le symétrique de $f(t)$ par rapport à l’axe $(Ox)$.
On peut limiter l’étude à l’intervalle ${ℝ}_{+}$. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe $(Ox)$.

Étude en $t=0$. Le point n’est pas régulier, cependant

Il y a donc une tangente horizontale en le point de paramètre $t=0$.
Étude quand $t\to +\mathrm{\infty }$
$x(t)\to 1^{-}$ et $y(t)\to +\mathrm{\infty }$
La droite est asymptote à la courbe et celle-ci est à gauche de la droite.

Soit $a$ un point du cercle limite de centre $(\mathrm{0,0})$ et de rayon $R>0$.
Soit $\gamma :]-\epsilon ;\epsilon [\to D$ une application dérivable en 0 avec $\gamma (0)=a$.
Puisque l’application $\gamma$ est à valeurs dans $D$, on a

Or ${\parallel \gamma (0)\parallel }^2=R^2$ et donc l’application $t\mapsto {\parallel \gamma (t)\parallel }^2$ admet un maximum en $t=0$. Son nombre dérivé y est alors nul ce qui fournit

Ainsi, le vecteur tangent $v={\gamma }^{\prime }(0)$ est orthogonal au vecteur rayon $a=\gamma (0)$.