Étudier la courbe paramétrée définie par
Solution
L’application est définie et de classe sur .
Réduction du domaine d’étude:
.
est le symétrique de par rapport à l’axe .
est le symétrique de par rapport au point .
On peut limiter l’étude à l’intervalle . La courbe obtenue sera complétée par les symétries de centre et d’axe .
Tableau des variations simultanées
Il y a deux points doubles. Pour des raisons de symétrie, ceux-ci correspondent à une abscisse nulle. On obtient un point double pour et de coordonnées . Par symétrie, l’autre point double est de coordonnées .
(Une ellipse)
Soient et deux réels strictement positifs avec
Montrer que le système
définit pour parcourant un paramétrage de la courbe d’équation cartésienne
Exploiter ce paramétrage pour donner l’allure de cette courbe.
On pose tel que et l’on introduit les deux points et de l’axe des abscisses situés à la distance de l’origine.
Vérifier que la courbe étudiée est exactement celle constituée des points satisfaisant
(Astroïde)
Étudier la courbe paramétrée définie par
On note et les points d’intersection des axes et avec la tangente au point de paramètre de la courbe précédente. Calculer la distance .
Solution
L’application est définie et de classe sur .
sont confondus.
est le symétrique de par rapport à l’axe
est le symétrique de par rapport à l’axe
est le symétrique de par rapport à la droit .
On peut limiter l’étude à l’intervalle . La courbe obtenue sera complétée par les symétries d’axe , puis .
Tableau des variations simultanées
Étude en . Le paramètre n’est pas régulier. Cependant
La tangente est donc dirigée par l’axe des abscisses.
L’astroïde
L’équation de la tangente au point de paramètre est
On a et et donc
(Cycloïde)
Étudier la courbe paramétrée définie par
Solution
L’application est définie et de classe sur .
est l’image de par la translation de vecteur .
est le symétrique de par rapport à l’axe .
On peut limiter l’étude à l’intervalle . La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe et par les translations de vecteurs avec .
Tableau des variations simultanées
Le paramètre n’est pas régulier. Cependant
La courbe présente donc une tangente verticale en l’origine.
(Tractrice)
Figurer la courbe définie par le paramétrage
avec parcourant .
On note le point d’intersection de l’axe avec la tangente au point de paramètre de la courbe ci-dessus. Calculer la distance .
(Lemniscate de Bernoulli)
Étudier la courbe paramétrée définie par
On introduit les points
Montrer que pour tout point de la courbe ci-dessus
Solution
L’application est définie et de classe sur .
et sont confondus.
est le symétrique de par rapport au point .
est le symétrique de par rapport à l’axe
On peut limiter l’étude à l’intervalle . La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe et la symétrie de centre .
Tableau des variations simultanées
On pose . On a et .
La lemniscate de Bernoulli
On a
donc
(Cardioïde)
Étudier la courbe définie par
Solution
L’application est définie et de classe sur .
et sont confondus.
est le symétrique de par rapport à l’axe .
On peut limiter l’étude à l’intervalle . La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe .
Tableau des variations simultanées
Le point de paramètre est stationnaire. Cependant
La courbe présente donc une tangente horizontale en .
Étudier la courbe
Donner une équation de la tangente et de la normale en le point de paramètre .
Déterminer les droites qui sont à la fois tangentes et normales à cette courbe.
Solution
Notons la fonction définissant ce paramétrage.
L’application est définie et de classe sur .
Les points désignés par et sont symétriques par rapport à .
Étude limitée à . La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe
Étude en . Le point n’est pas régulier, cependant
Il y a une tangente horizontale en
Pour , la tangente en a pour équation
soit
Pour , la normale en a pour équation
soit
Ces équations sont encore valables pour .
La tangente est normale à la courbe au point de paramètre si, et seulement si,
ce qui traduit et l’orthogonalité des tangentes en et .
Si alors mais le couple n’est pas solution.
Si alors et puis d’où
ce qui donne .
Étudier et représenter la courbe définie par
Former une équation de la tangente au point de paramètre .
Déterminer un paramétrage du lieu des points d’où l’on peut mener deux tangentes à la courbe précédente orthogonales et figurer cette courbe.
Solution
Notons la fonction définissant ce paramétrage.
L’application est définie et de classe sur .
est le symétrique de par rapport à l’axe .
On peut limiter l’étude à l’intervalle . La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe .
Tableau des variations simultanées
Étude en . Le point n’est pas régulier, cependant
Il y a une tangente horizontale
Pour , la tangente en a pour équation:
En : cette équation convient encore.
Les tangentes en et de paramètres et et sont orthogonales si, et seulement si,
Si tel est le cas leur intersection est solution du système
Après résolution
Notons la fonction définissant le paramétrage de la courbe ainsi obtenue,
est le symétrique de par rapport à l’axe .
Les points et sont confondus.
On peut limiter l’étude à l’intervalle .
Tableau des variations simultanées
Soit définissant un arc régulier tel qu’en tout point de paramètre la tangente soit
Réaliser un paramétrage en coordonnées cartésiennes de l’arc étudié et le représenter.
Solution
Posons avec et fonctions dérivables. Le point de paramètre appartient à la droite et donc
Le vecteur dirige la droite donc
En dérivant et en exploitant , on obtient
donc
L’application correspondante est définie et de classe sur .
est le symétrique de par rapport à l’axe .
On peut limiter l’étude à l’intervalle . La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe .
Étude en . Le point n’est pas régulier, cependant
Il y a donc une tangente horizontale en le point de paramètre .
Étude quand
et
La droite est asymptote à la courbe et celle-ci est à gauche de la droite.
Soit le disque de centre et de rayon du plan .
Montrer que les vecteurs tangents à aux points du cercle limite sont orthogonaux au vecteur rayon.
Solution
Soit un point du cercle limite de centre et de rayon .
Soit une application dérivable en 0 avec .
Puisque l’application est à valeurs dans , on a
Or et donc l’application admet un maximum en . Son nombre dérivé y est alors nul ce qui fournit
Ainsi, le vecteur tangent est orthogonal au vecteur rayon .
Édité le 29-08-2023
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