• (a)

  Notons $A(x)=\left(a_{i,j}(x)\right)\in {ℳ}_n(ℝ)$ la matrice dont $D_n(x)$ est le déterminant. Par la formule définissant le déterminant,

  $$D_n(x)=\sum _{\sigma \in {𝒮}_n}\left(\epsilon (\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{\sigma (i),i}(x)\right)\text{.}$$

  On en déduit que la fonction $D_n$ est dérivable mais cette formule n’est pas particulièrement commode¹¹ 1 Cependant, on peut y parvenir après un effort de lucidité! pour calculer $D_n^{\prime }(x)$.

  Notons $C_1(x),\mathrm{\dots },C_n(x)$ les colonnes de la matrice $A(x)$. On sait

  $$D_n(x)=\det \left(A(x)\right)=\det \left(C_1(x)\mid \mathrm{\dots }\mid C_n(x)\right)$$

  Les coefficients de $x\mapsto C_j(x)$ étant des fonctions dérivables, on peut affirmer que chaque fonction $x\mapsto C_j(x)$ est dérivable. Par multilinéarité du déterminant d’une famille de colonnes, on retrouve que l’application $x\mapsto D_n(x)$ est dérivable²² 2 Par la même argumentation, on montre $D_n$ de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ car les fonctions colonnes le sont. avec, au surplus, la formule de dérivation

  $$D_n^{\prime }=\det (C_1^{\prime }\mid C_2\mid \mathrm{\dots }\mid C_n)+\det (C_1\mid C_2^{\prime }\mid \mathrm{\dots }\mid C_n)+\mathrm{\cdots }+\det (C_1\mid C_2\mid \mathrm{\dots }\mid C_n^{\prime })\text{.}$$

  On remarque que, pour tout $j\in ⟦1;n-1⟧$, $C_j^{\prime }=C_{j+1}$. Le déterminant d’une famille comportant deux vecteurs identiques étant nuls, on peut simplifier l’égalité précédente et écrire

  $$D_n^{\prime }=\det (C_1\mid C_2\mid \mathrm{\dots }\mid C_n^{\prime })\text{.}$$

  En développant par rapport à la dernière colonne ce dernier déterminant, on obtient

  $$D_n^{\prime }=D_{n-1}\mathit{\hspace{1em}}\text{pour tout }n\ge 2\text{.}$$

• (b)

  Sachant $D_n(0)=0$ et $D_1(x)=x$, on montre par récurrence

  $$D_n(x)=\frac{x^n}{n!}\text{.}$$

  La propriété est immédiatement vraie pour $n=1$.

  Supposons celle-ci acquise au rang $n-1$ avec $n\ge 2$.

  Par hypothèse de récurrence,

  $$D_n(x)=D_n(0)+{\int }_0^x{D}_n^{\prime }(t)dt={\int }_0^x{D}_{n-1}(t)dt={\int }_0^x\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}dt=\frac{x^n}{n!}\text{.}$$

  La récurrence est établie

En retirant la première colonne aux autres, on obtient un déterminant où ne figurent des $x$ que sur la première colonne. En développant selon cette première colonne, on obtient une expression affine de la variable $x$.

$$\left|\begin{array}{ccc}\hfill a_1+x\hfill & \hfill \hfill & \hfill (x)\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill (x)\hfill & \hfill \hfill & \hfill a_n+x\hfill \end{array}\right|=\alpha x+\beta \text{.}$$

Il reste à déterminer les réels $\alpha ,\beta$ exprimant cette fonction affine.
D’une part

$$\beta ={\left|\begin{array}{ccc}\hfill a_1+x\hfill & \hfill \hfill & \hfill (x)\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill (x)\hfill & \hfill \hfill & \hfill a_n+x\hfill \end{array}\right|}_{x=0}=\left|\begin{array}{ccc}\hfill a_1\hfill & \hfill \hfill & \hfill (0)\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill a_n\hfill \end{array}\right|=a_1\mathrm{\dots }{a}_n$$

et d’autre part

$$\alpha =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\left|\begin{array}{ccc}\hfill a_1+x\hfill & \hfill \hfill & \hfill (x)\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill (x)\hfill & \hfill \hfill & \hfill a_n+x\hfill \end{array}\right|}_{x=0}\text{.}$$

La dérivée d’un déterminant est la somme des déterminants obtenus lorsque l’on ne dérive qu’une colonne

$$\alpha =\sum _{j=1}^n\left|\begin{array}{ccccc}\hfill a_1\hfill & \hfill \hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \hfill & \hfill (0)\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \hfill & \hfill a_n\hfill \end{array}\right|$$

où la colonne formée de 1 est à la position $j$. Chaque déterminant se calcule en développant selon la ligne ne contenant que le coefficient 1 et l’on obtient

$$\alpha =\sum _{j=1}^n\prod _{i\ne j}{a}_i\text{.}$$

On introduit la fonction $f:[a;b]\to ℝ$ définie par

$$f(x)=\left|\begin{array}{ccc}\hfill u(a)\hfill & \hfill v(a)\hfill & \hfill w(a)\hfill \\ \hfill u(b)\hfill & \hfill v(b)\hfill & \hfill w(b)\hfill \\ \hfill u(x)\hfill & \hfill v(x)\hfill & \hfill w(x)\hfill \end{array}\right|\text{.}$$

Cette fonction est continue sur $[a;b]$, dérivable sur $]a;b[$ avec

$$f^{\prime }(x)=\left|\begin{array}{ccc}\hfill u(a)\hfill & \hfill v(a)\hfill & \hfill w(a)\hfill \\ \hfill u(b)\hfill & \hfill v(b)\hfill & \hfill w(b)\hfill \\ \hfill u^{\prime }(x)\hfill & \hfill v^{\prime }(x)\hfill & \hfill w^{\prime }(x)\hfill \end{array}\right|\text{.}$$

De plus, $f(a)=f(b)=0$ et donc, par le théorème de Rolle, il existe $d\in ]a;b[$ tel que $f^{\prime }(d)=0$. Au surplus, $f^{\prime }(a)=0$ et une nouvelle application du théorème de Rolle – à la fonction $f^{\prime }$ cette fois – donne l’existence de $c\in ]a;d[\subset ]a;b[$ telle

$$f^{\prime \prime }(c)=\left|\begin{array}{ccc}\hfill u(a)\hfill & \hfill v(a)\hfill & \hfill w(a)\hfill \\ \hfill u(b)\hfill & \hfill v(b)\hfill & \hfill w(b)\hfill \\ \hfill u^{\prime \prime }(c)\hfill & \hfill v^{\prime \prime }(c)\hfill & \hfill w^{\prime \prime }(c)\hfill \end{array}\right|=0\text{.}$$