• (a)

  Point critique $(\mathrm{0,3})$, $f(\mathrm{0,3})=-9$. Posons $u=x$ et $v=y-3$.

  $$f(x,y)-f(\mathrm{0,3})=u^2+uv+v^2=\frac{1}{2}(u^2+v^2)+\frac{1}{2}{(u+v)}^2\ge 0$$

  $f$ admet un minimum en $(\mathrm{0,3})$.

• (b)

  Point critique $(\mathrm{1,1})$, $f(\mathrm{1,1})=4$. Posons $u=x-1$ et $v=y-1$

  $$f(x,y)-f(\mathrm{1,1})=u^2+2v^2-2uv={(u-v)}^2+v^2\ge 0$$

  $f$ admet un minimum en $(\mathrm{1,1})$.

• (c)

  Point critique $(\mathrm{0,0})$. Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$,

  $$f(1/n\mathrm{,0})>0\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}f(-1/n\mathrm{,0})<0\text{.}$$

  Pas d’extremum.

• (d)

  Point critique $(\mathrm{0,0})$. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{*}$

  $$f(1/n\mathrm{,0})=\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\sim }\frac{1}{n^2}>0\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}f(-1/n,-1/n+1/n^2)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\sim }-\frac{2}{n^3}<0\text{.}$$

  Pas d’extremum.

Considérons la fonction $\phi :]0;+\mathrm{\infty }[\to ℝ$ donnée par

$$\phi (t)=t^{\ln (t)}={\mathrm{e}}^{{\left(\ln (t)\right)}^2}\text{.}$$

La fonction $\phi$ est de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ et

$${\phi }^{\prime }(t)=\frac{2\ln (t)}{t}{\mathrm{e}}^{{\left(\ln (t)\right)}^2}$$

est du signe de $\ln (t)$. On peut alors dresser le tableau de variation de $\phi$.

On en déduit que $\phi (t)\ge 1$ pour tout $t\in ]0;+\mathrm{\infty }[$ avec égalité si, et seulement si, $t=1$.

On en déduit

$$f(x,y)=\phi (x)+\phi (y)\ge 2=f(\mathrm{1,1})$$

avec égalité si, et seulement si, $(x,y)=(\mathrm{1,1})$.

La fonction $f$ présente un minimum global strict en $(\mathrm{1,1})$.

Aussi, compte tenu des variations de $\phi$, la fonction $f$ ne présente pas de maximum.

La fonction $f$ est définie et de classe ${𝒞}^1$ sur l’ouvert $\mathrm{\Omega }={]0;+\mathrm{\infty }[}^2$.

L’étude des points critiques donne $(\sqrt[3]{a},\sqrt[3]{a})$ seul point critique de $f$ sur $\mathrm{\Omega }$.

Posons $\alpha =\sqrt[3]{a}$ et étudions le signe

$$f(x,y)-f(\alpha ,\alpha )=x+y+\frac{{\alpha }^3}{xy}-3\alpha =\frac{x^{2}y+x{y}^2+{\alpha }^3-3\alpha xy}{xy}\text{.}$$

Considérons la fonction définie par le numérateur

$$\phi :\alpha \mapsto x^{2}y+x{y}^2+{\alpha }^3-3\alpha xy\text{.}$$

La fonction $\phi$ est dérivable sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ et

$${\phi }^{\prime }(\alpha )=3{\alpha }^2-3xy\text{.}$$

Cette fonction présente un minimum en ${\alpha }_0=\sqrt{xy}$ et alors

$$\phi (\alpha )\ge \phi ({\alpha }_0)=x^{2}y+x{y}^2-2xy\sqrt{xy}=xy(x+y-2\sqrt{xy})=xy{(\sqrt{x}-\sqrt{y})}^2\ge 0\text{.}$$

On en déduit que

$$\forall (x,y)\in \mathrm{\Omega },f(x,y)\ge f(\alpha ,\alpha )=3\alpha \text{.}$$

De plus, il y a égalité si, et seulement si, $\sqrt{x}=\sqrt{y}$ et $\alpha =\sqrt{xy}$, c’est-à-dire si, et seulement si, $(x,y)=(\alpha ,\alpha )$.