Exercice 1 4690

Justifier la continuité sur $ℝ^{2}$ de la fonction $f : (x, y) \mapsto \ln (1 + x^{2} + y^{4}) e^{- x y}$ .

Exercice 2 4693

Soit $f$ définie de $ℝ^{2}$ vers $ℝ$ par

f (x, y) = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} si (x, y) \neq (0,0) et f (0,0) = 0 .

(a)

Montrer que $f$ est continue en la variable $x$ pour chaque $y$ de $ℝ$ et inversement.
(b)

Montrer que $f$ n’est pas continue en $(0,0)$ .

Exercice 3 1738 Correction

Soit $f : ℝ^{2} \to ℝ$ définie par

f (x, y) = {\begin{matrix} \frac{1}{2} x^{2} + y^{2} - 1 & si x^{2} + y^{2} > 1 \\ - \frac{1}{2} x^{2} & sinon. \end{matrix}

Montrer que $f$ est continue.

Solution

Notons

D = {(x, y) \in ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} > 1} et E = {(x, y) \in ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} \leq 1}

$f$ est continue en chaque point de $D$ et $E$ .
Soit $(x_{0}, y_{0})$ tel que $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = 1$ (à la jonction de $D$ et $E$ ).
Quand $(x, y) \to (x_{0}, y_{0})$ avec $(x, y) \in D$ , on a

f (x, y) \to \frac{1}{2} x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - 1 = - \frac{1}{2} x_{0}^{2} = f (x_{0}, y_{0}) .

Quand $(x, y) \to (x_{0}, y_{0})$ avec $(x, y) \in E$ , on a

f (x, y) \to - \frac{1}{2} x_{0}^{2} = f (x_{0}, y_{0}) .

Finalement, ${lim}_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} f (x, y) = f (x_{0}, y_{0})$ et donc $f$ est continue en.

Exercice 4 1739

Soient $f : ℝ \to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{1}$ et $F : ℝ^{2} \to ℝ$ la fonction définie par

F (x, y) = {\begin{matrix} \frac{f (y) - f (x)}{y - x} & si y \neq x \\ f^{'} (x) & si y = x . \end{matrix}

Établir que la fonction $F$ est continue sur $ℝ^{2}$ .

[>] Dérivées partielles

Édité le 14-10-2023

Continuité