Exercice 1 1743 Correction

Soit $f : ℝ^{2} \to ℝ$ définie par

f (x, y) = {\begin{matrix} y^{2} / x & si x \neq 0 \\ 0 & si x = 0 . \end{matrix}

(a)

Montrer que $f$ admet une dérivée au point $(0,0)$ suivant tout vecteur de $ℝ^{2}$ .
(b)

Observer que néanmoins $f$ n’est pas continue en $(0,0)$ .

Solution

Exercice 2 1742 Correction

Calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes:

Solution

(a)

$\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = y x^{y - 1}$ et $\frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = \ln (x) x^{y}$ .
(b)

$\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ et $\frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .
(c)

$\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = \sin (x + y) + x \cos (x + y)$ et $\frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = x \cos (x + y)$ .

Exercice 3 5576 Correction

Soit $f : ℝ^{2} \to ℝ$ définie par

f (x, y) = {\begin{matrix} \frac{x^{3} - y^{3}}{x^{2} + y^{2}} & si (x, y) \neq (0,0) \\ 0 & si (x, y) = (0,0) . \end{matrix}

Calculer les dérivées partielles de $f$ en $(0,0)$ .

Solution

Sous réserve d’existence,

\frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = lim_{t \to 0} \frac{1}{t} (f (t,0) - f (0,0)) .

Pour $t \neq 0$ ,

\frac{1}{t} (f (t,0) - f (0,0)) = \frac{1}{t} (\frac{t^{3}}{t^{2}} - 0) = 1 \to_{t \to 0}^{} 1 .

On en déduit

\frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = 1 .

Par des calculs semblables,

\frac{\partial f}{\partial t} (0,0) = lim_{t \to 0} \frac{1}{t} (f (0, t) - f (0,0)) = - 1 .

Exercice 4 1746 Correction

Soit $φ : ℝ \to ℝ$ dérivable. On pose $f : ℝ^{*} \times ℝ \to ℝ$ définie par $f (x, y) = φ (y / x)$ .
Montrer que $f$ vérifie la relation:

x \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) + y \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = 0 .

Solution

On a

\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = - \frac{y}{x^{2}} φ^{'} (y / x) et \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = \frac{1}{x} φ^{'} (y / x)

d’où la relation.

Dérivées partielles