$f$ est clairement continue sur ${ℝ}^2\setminus \left\{(\mathrm{0,0})\right\}$.
Étudions la continuité en $(\mathrm{0,0})$

$$f(x,y)=(xy)\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)\left((x^2+y^2)\ln (x^2+y^2)\right)\underset{(x,y)\to \left(\mathrm{0,0}\right)}{\overset{}{\to }}0$$

$f$ est donc continue en $(\mathrm{0,0})$.
Étudions l’existence de la dérivée partielle par rapport à $x$.
Par composition $\frac{\partial f}{\partial x}$ existe et est continue sur ${ℝ}^2\setminus \left\{(\mathrm{0,0})\right\}$.
De plus,

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x{y}^2\ln (x^2+y^2)+\frac{2x^3{y}^2}{x^2+y^2}$$

et

$$\frac{1}{t}\left(f(t\mathrm{,0})-f(\mathrm{0,0})\right)=0\underset{t\to 0}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

Donc $\frac{\partial f}{\partial x}(\mathrm{0,0})$ existe et $\frac{\partial f}{\partial x}(\mathrm{0,0})=0$.
Enfin

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\underset{(x,y)\to \left(\mathrm{0,0}\right)}{\overset{}{\to }}0$$

car

$$2x{y}^2\ln (x^2+y^2)=2y\frac{xy}{x^2+y^2}(x^2+y^2)\ln (x^2+y^2)\text{.}$$

Par suite, $\frac{\partial f}{\partial x}$ existe et est continue sur ${ℝ}^2$.
Étudions l’existence de la dérivée partielles par rapport à $y$.
Comme $f(x,y)=f(y,x)$ l’étude de $\frac{\partial f}{\partial y}$ est identique.

Soit $g:{ℝ}_{+}\to ℝ$ la fonction définie par

$$g(t)=\{\begin{array}{cc}t\sin (1/\sqrt{t})\hfill & \text{ si }t\ne 0\hfill \\ 0\hfill & \text{ sinon.}\hfill \end{array}$$

La fonction $g$ et continue sur ${ℝ}_{+}$ et comme $f(x,y)=g(x^2+y^2)$, $f$ est continue sur ${ℝ}^2$.
La fonction $g$ est de classe ${𝒞}^1$ sur ${ℝ}_{+}^{*}$ donc $f$ admet des dérivées partielles continues sur ${ℝ}^2\setminus \left\{(\mathrm{0,0})\right\}$.
De plus,

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\sin \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\cos \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$$

et

$$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y\sin \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\cos \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\text{.}$$

Étudions l’existence de dérivées partielles en $(\mathrm{0,0})$.

$$\frac{1}{t}\left(f(t\mathrm{,0})-f(\mathrm{0,0})\right)=t\sin \left(\frac{1}{|t|}\right)=\mathrm{O}(t)\underset{t\to 0}{\overset{}{\to }}0$$

donc $\frac{\partial f}{\partial x}(\mathrm{0,0})$ existe pas et vaut 0. Il en est de même pour $\frac{\partial f}{\partial y}(\mathrm{0,0})$.

$$\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{1}{n}\mathrm{,0}\right)=\frac{2}{n}\sin (n)-\cos (n)$$

diverge quand $n\to +\mathrm{\infty }$, donc $\frac{\partial f}{\partial x}$ n’est pas continue en $(\mathrm{0,0})$.
Il en est de même de $\frac{\partial f}{\partial y}$.

La fonction $f$ est évidemment continue sur ${ℝ}^2\setminus \left\{(\mathrm{0,0})\right\}$.
En passant en coordonnées polaires

$$f(x,y)\underset{(x,y)\to 0}{\sim }\frac{r^2\cos (\theta )\sin (\theta )}{r\left|\cos (\theta )\right|+\left|\sin (\theta )\right|}\to 0=f(\mathrm{0,0})$$

car le facteur

$$\frac{\cos (\theta )\times \sin (\theta )}{\left|\cos (\theta )\right|+\left|\sin (\theta )\right|}$$

est bornée en tant que fonction continue et $2\pi$-périodique.
La fonction $f$ est donc continue sur ${ℝ}^2$.

On a

$$\frac{\partial f}{\partial x}(\mathrm{0,0})=\underset{t\to 0}{lim}\frac{1}{t}\left(f(t\mathrm{,0})-f(\mathrm{0,0})\right)=0\text{.}$$

Or pour $x,y>0$

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{y\cos (xy)(x+y)-\sin (xy)}{{(x+y)}^2}$$

et donc

$$\frac{\partial f}{\partial x}(t,t)=\frac{2t^2\cos (t^2)-\sin (t^2)}{{(2t)}^2}\underset{t\to 0^{+}}{\overset{}{\to }}\frac{1}{2}\text{.}$$

La fonction $f$ n’est donc pas de classe ${𝒞}^1$.