Exercice 1 1749 Correction

Soit $f : ℝ^{2} \to ℝ$ différentiable.
On pose $g : ℝ \to ℝ$ définie par $g (t) = f (2 t,1 + t^{2})$ .
Exprimer $g^{'} (t)$ en fonction des dérivées partielles de $f$ .

Solution

Par composition la fonction $g$ est dérivable et

g^{'} (t) = 2 \partial_{1} f (2 t,1 + t^{2}) + 2 t \partial_{2} f (2 t,1 + t^{2}) .

Exercice 2 48 Correction

Soit $f : (x, y) \mapsto f (x, y)$ une fonction de classe $𝒞^{1}$ définie sur $ℝ^{2}$ à valeurs réelles.

(a)

Calculer les dérivées partielles de $g : (r, θ) \mapsto f (r \cos (θ), r \sin (θ))$ .
(b)

En déduire une expression des dérivées partielles de $f$ en $(x, y)$ en fonction des dérivées partielles de $g$ en $(r, θ)$ lorsque

${\begin{matrix} x & = r \cos (θ) \\ y & = r \sin (θ) \end{matrix}$

Solution

(a)

Les fonctions $(r, θ) \mapsto r \cos (θ)$ et $(r, θ) \mapsto r \sin (θ)$ sont de classe $𝒞^{1}$ . Par composition, $g$ est de classe $𝒞^{1}$ et l’application de la règle de la chaîne donne

	$\frac{\partial g}{\partial r} (r, θ)$	$= \cos (θ) \frac{\partial f}{\partial x} (r \cos (θ), r \sin (θ)) + \sin (θ) \frac{\partial f}{\partial y} (r \cos (θ), r \sin (θ))$
	$\frac{\partial g}{\partial θ} (r, θ)$	$= - r \sin (θ) \frac{\partial f}{\partial x} (r \cos (θ), r \sin (θ)) + r \cos (θ) \frac{\partial f}{\partial y} (r \cos (θ), r \sin (θ)) .$

(b)

Par une combinaison judicieuse des relations précédentes, on isole les dérivées partielles de $f$ ,

$\frac{\partial f}{\partial x} (x, y)$ $= \cos (θ) \frac{\partial g}{\partial r} (r, θ) - \frac{\sin (θ)}{r} \frac{\partial g}{\partial θ} (r, θ)$

$\frac{\partial f}{\partial y} (x, y)$ $= \sin (θ) \frac{\partial g}{\partial r} (r, θ) + \frac{\cos (θ)}{r} \frac{\partial g}{\partial θ} (r, θ) .$

Exercice 3 43

Soit $f : ℝ^{2} \to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{1}$ vérifiant

f (x, y) = f (y, x) pour tout (x, y) \in ℝ^{2} .

Quelle relation relie les dérivées partielles de $f$ ?

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Édité le 29-08-2023

	$\frac{\partial f}{\partial x} (x, y)$	$= \cos (θ) \frac{\partial g}{\partial r} (r, θ) - \frac{\sin (θ)}{r} \frac{\partial g}{\partial θ} (r, θ)$
	$\frac{\partial f}{\partial y} (x, y)$	$= \sin (θ) \frac{\partial g}{\partial r} (r, θ) + \frac{\cos (θ)}{r} \frac{\partial g}{\partial θ} (r, θ) .$

Règle de la chaîne