Par sommation géométrique,

$$\frac{z^n}{1+z^n}=\frac{z^n}{1-(-z^n)}=\sum _{p=0}^{+\mathrm{\infty }}{(-1)}^p{z}^{n(p+1)}\text{.}$$

Sous réserve d’existence,

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{1+z^n}=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{p=0}^{+\mathrm{\infty }}{(-1)}^p{z}^{n(p+1)}\text{.}$$

Conduisons alors une étude de sommabilité en réalisant un calcul dans $[0;+\mathrm{\infty }]$

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{p=0}^{+\mathrm{\infty }}\left|{(-1)}^p{z}^{n(p+1)}\right|=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{p=0}^{+\mathrm{\infty }}{|z|}^{n(p+1)}=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{{|z|}^n}{1-{|z|}^n}\text{.}$$

La série en second membre converge car on a l’équivalent géométrique

$$\frac{{|z|}^n}{1-{|z|}^n}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\sim }{|z|}^n\text{ avec }|z|<1\text{.}$$

On dispose donc de la propriété de sommabilité qui permet de reprendre le calcul précédent. Avec existence,

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{1+z^n}=\sum _{p=0}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{(-1)}^p{z}^{n(p+1)}=\sum _{p=0}^{+\mathrm{\infty }}{(-1)}^p\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{z}^{(p+1)n}=\sum _{p=0}^{+\mathrm{\infty }}{(-1)}^p\frac{z^{p+1}}{1-z^{p+1}}\text{.}$$

Commençons par conduire un calcul dans $[0;+\mathrm{\infty }]$ en supposant $z\in [0;1[$. Par sommation géométrique,

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{{(1-z^n)}^2}=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-z^n}\cdot \frac{z^n}{1-z^n}=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\left(\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{z}^{nk}\right)\left(\sum _{\mathrm{\ell }=1}^{+\mathrm{\infty }}{z}^{n\mathrm{\ell }}\right)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{\mathrm{\ell }=1}^{+\mathrm{\infty }}{z}^{n(k+\mathrm{\ell })}\text{.}$$

Par sommation par paquets en regroupant les $k+\mathrm{\ell }$ égaux,

	${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \frac{z^n}{{(1-z^n)}^2}}$	$={\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{m=1}^{+\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{k\ge 0,\mathrm{\ell }\ge 1}{k+\mathrm{\ell }=m}}}{z}^{nm}={\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}}\left({\displaystyle \sum _{m=1}^{+\mathrm{\infty }}}m{z}^{nm}\right)$
		$={\displaystyle \sum _{m=1}^{+\mathrm{\infty }}}\left(m{\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}}{z}^{nm}\right)={\displaystyle \sum _{m=1}^{+\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \frac{m{z}^m}{1-z^m}}<+\mathrm{\infty }\text{.}$

Puisque ce calcul conduit à une valeur finie, on a manipulé une famille sommable¹¹ 1 Plus précisément, il s’agit de la famille $z^{n(k+\mathrm{\ell })}$ pour $(n,k,\mathrm{\ell })\in {\mathbb{N}}^{*}\times \mathbb{N}\times {\mathbb{N}}^{*}$ et l’on peut reprendre le même calcul avec $z\in ℂ$ tel que $|z|<1$.

Les termes considérés étant positifs, on conduit le calcul dans $[0;+\mathrm{\infty }]$.

$${\left(\zeta (s)\right)}^2=\left(\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}\right)\left(\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}\right)=\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{\mathrm{\ell }=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^s{\mathrm{\ell }}^s}=\sum _{k,\mathrm{\ell }\ge 1}\frac{1}{{(k\mathrm{\ell })}^s}\text{.}$$

On réorganise le calcul par paquets selon

$${\mathbb{N}}^{*}\times {\mathbb{N}}^{*}=\bigcup _{n\ge 1}{D}_n\text{ avec }{D}_n=\{(k,\mathrm{\ell })\in {({\mathbb{N}}^{*})}^2|k\mathrm{\ell }=1\}$$

et l’on obtient

$${\left(\zeta (s)\right)}^2=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{(k,\mathrm{\ell })\in {\mathrm{D}}_n}\frac{1}{n^s}=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{d_n}{n^s}\text{ avec }{d}_n=\mathrm{Card}(D_n)\text{.}$$

Les termes sommés sont positifs, on réalise directement un calcul dans $[0;+\mathrm{\infty }]$.

Pour $\alpha ,\beta >1$ et $p,q\ge 2$, on écrit par sommation géométrique de raison $\frac{1}{p^{\alpha }{q}^{\beta }}\in [0;1[$

$$\frac{1}{p^{\alpha }{q}^{\beta }-1}=\frac{1}{p^{\alpha }{q}^{\beta }}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{p^{\alpha }{q}^{\beta }}}=\frac{1}{p^{\alpha }{q}^{\beta }}\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\left(p^{\alpha }{q}^{\beta }\right)}^n}=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\left(\frac{1}{p^{n\alpha }}\cdot \frac{1}{q^{n\beta }}\right)$$

On peut donc écrire

	${\displaystyle \sum _{p\ge 2,q\ge 2}}{\displaystyle \frac{1}{p^{\alpha }{q}^{\beta }-1}}$	$={\displaystyle \sum _{p\ge 2,q\ge 2}}\left({\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}}\left({\displaystyle \frac{1}{p^{n\alpha }}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{q^{n\beta }}}\right)\right)$
		$={\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}}\left(\left({\displaystyle \sum _{p=2}^{+\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \frac{1}{p^{n\alpha }}}\right)\left({\displaystyle \sum _{q=2}^{+\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \frac{1}{q^{n\beta }}}\right)\right)$
		$={\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}}\left(\zeta (n\alpha )-1\right)\left(\zeta (n\beta )-1\right)\text{.}$

Il reste à justifier la sommabilité pour s’assurer que l’expression considérée est finie.

Par comparaison série-intégrale, on montre pour tout $s>1$

$$0\le \zeta (s)-1=\sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}\le {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t^s}=\frac{1}{s-1}\text{.}$$

On en déduit

$$\left(\zeta (n\alpha )-1\right)\left(\zeta (n\beta )-1\right)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{=}\mathrm{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)$$

La série en second membre converge.