[<] Réorganisation des termes d'une somme [>] Produit de Cauchy

 
Exercice 1  3447  Correction  

Existence et valeur de

(p,q)×*1(p+q2)(p+q2+1).

Solution

Notons que les termes sommés sont positifs.
Pour chaque q*, la série p01(p+q2)(p+q2+1) converge car 1(p+q2)(p+q2+1)1p2.
Par télescopage

p=0+1(p+q2)(p+q2+1)=p=0+(1p+q2-1p+q2+1)=1q2.

La série q1p=0+1(p+q2)(p+q2+1)=q11q2 converge aussi, on peut donc affirmer que la famille

(1(p+q2)(p+q2+1))(p,q)×*

est sommable et sa somme vaut

(p,q)×*1(p+q2)(p+q2+1)=q=1+p=0+1(p+q2)(p+q2+1)=q=1+1q2=π26.
 
Exercice 2  4648  

Montrer l’identité

m=1+(n=m+1n3)=n=1+1n2.
 
Exercice 3  1093  Correction  

Soit α>1.

  • (a)

    Déterminer un équivalent à

    Rn=k=n+1+1kα.
  • (b)

    Pour quels α>1, la somme n=0+k=n+1+1kα a-t-elle un sens?

  • (c)

    Montrer qu’alors

    n=0+k=n+1+1kα=p=1+1pα-1.

Solution

  • (a)

    Puisque x1xα est décroissante:

    n+1+dxxαk=n+1+1kαn+dxxα

    donc

    k=n+1+1kα1α-11nα-1.
  • (b)

    Par suite, n=0+k=n+1+1kα a un sens si, et seulement si, α>2.

  • (c)

    Posons uk,n=1kα si k>n et uk,n=0 sinon.
    Pour tout n1, k0|uk,n| converge et n0k=0+|uk,n| converge donc on peut appliquer la formule de Fubini et affirmer

    n=0+k=0+uk,n=k=0+n=0+uk,n

    avec convergence des séries sous-jacentes.
    Or

    n=0+uk,n=n=0k-11kα=1kα-1

    donc

    n=0+k=n+1+1kα=k=1+1kα-1.
 
Exercice 4  1095   Correction  

Soit a un complexe de module strictement inférieur à 1. En introduisant la famille des nombres up,q=ap(2q-1) (pour p,q1), établir l’identité

p=1+ap1-a2p=p=1+a2p-11-a2p-1.

Solution

La série p1up,q est absolument convergente et

p=1+|up,q|=|a|2q-11-|a|2q-1.

De plus, la série de terme général |a|2q-11-|a|2q-1 est absolument convergente en vertu de la règle de d’Alembert.
La famille (up,q)p,q1 est donc sommable et l’on a

q=1+p=1+up,q=p=1+q=1+up,q

ce qui fournit la relation

q=1+a2q-11-a2q-1=p=1+ap1-a2p.
 
Exercice 5  5335  Correction  

Pour p,q, on pose

up,q={1 si q=p0 si q<p-2p-q si q>p.

Montrer que les sommes suivantes existent et diffèrent

p=1+(q=1+up,q)etq=1+(p=1+up,q).

Solution

D’une part, étudions

p=1+(q=1+up,q).

Soit p*. Sous réserve d’existence et sachant que les premiers termes de la somme sont nuls,

q=1+up,q=0+1-q=p+1+2p-q.

La série qui apparaît en second membre est géométrique de raison 1/2, elle converge et

q=p+1+2p-q=n=1+2-n=1.

Ainsi, on peut écrire avec convergence

q=1+up,q=0

On en déduit immédiatement

p=1+(q=1+up,q)=0

avec convergences des séries écrites.

D’autre part, étudions

q=1+(p=1+up,q)

Soit q*. La série qui suit converge car elle ne comporte qu’un nombre fini de termes non nuls et

p=1+up,q=-p=1q-12p-q+1.

Par calcul d’une somme géométrique (finie) raison 2 et de premier terme 21-q,

p=1+up,q=-21-q2q-1-12-1+1=21-q.

Par sommation géométrique (infinie) de raison 1/2, on obtient

q=1+(p=1+up,q)=11-1/2=2

avec convergences des séries écrites.

 
Exercice 6  1096   Correction  

On pose

ap,q=2p+1p+q+2-pp+q+1-p+1p+q+3.

Calculer

q=0+p=0+ap,qetp=0+q=0+ap,q.

Qu’en déduire?

Solution

D’une part p=0+ap,q=0 donc q=0+p=0+ap,q=0.
D’autre par q=0+ap,q=1p+1-1p+2 donc p=0+q=0+ap,q=1.
La formule de Fubini ne s’applique pas, la famille (ap,q)(p,q)2 n’est donc pas sommable.

 
Exercice 7  1094   Correction  

Justifier

n=1,np+1n2-p2=34p2.

En déduire

p=1+n=1,np+1n2-p2n=1+p=1,pn+1n2-p2.

Qu’en déduire?

Solution

La série converge compte tenu des critères usuels.

1n2-p2=12p(1n-p-1n+p).

Par télescopage:

n=p+1+1n2-p2=12p(1+12++12p).

De plus,

n=1p-11n2-p2=-12p(1p-1++1+1p+1++12p-1)

donc

n=1,np+1n2-p2=12p(1p+12p)=34p2

puis

p=1+n=1,np+1n2-p2=p=1+34p2>0.

Cependant

n=1+p=1,pn+1n2-p2=-n=1+34n2=-p=1+34p2

donc

p=1+n=1,np+1n2-p2n=1+p=1,pn+1n2-p2.

On en déduit que la familles des 1/(n2-p2) avec (p,n)*2, pn n’est pas sommable.

 
Exercice 8  5011      X (PC)Correction  

Soient (un)n1 une suite réelle et (vn)n1 la suite de ses moyennes de Cesàro:

vn=1n(u1++un)pour tout n1
  • (a)

    Montrer que (n+1)vn2-(n-1)vn-122unvn pour tout n2.

On suppose désormais que la série de terme général un2 converge.

  • (b)

    Montrer que la série de terme général vn2 converge et vérifier

    n=1+vn24n=1+un2
  • (c)

    En déduire la sommabilité de la famille

    (unumn+m)m,n1

Solution

  • (a)

    Méthode: On peut exprimer un en fonction de vn et vn-1.

    Puisque nvn correspond à la somme u1++un, on remarque

    un=nvn-(n-1)vn-1pour n2

    La différence des membres de l’inégalité étudiée s’écrit alors

    (n+1)vn2-(n-1)vn-12-2unvn =(n+1)vn2-(n-1)vn-12-2nvn2+2(n-1)vnvn-1
    =(1-n)vn2+2(n-1)vnvn-1+(1-n)vn-12
    =(1-n)(vn-vn-1)20

    On en déduit l’inégalité voulue.

  • (b)

    Soit n2. On peut écrire

    (n+1)vn2-(n-1)vn-12=vn2+nvn2-(n-1)vn-12

    ce qui fait apparaître vn2 et un terme télescopique. En sommant ces termes pour n allant de 2 jusqu’à un entier N, on obtient

    n=2Nvn2+NvN2-v122n=2Nunvn

    En ajoutant 2v12 dans chaque membre et en remarquant u1=v1, on obtient

    n=1Nvn2+NvN22n=1Nunvn

    puis

    n=1Nvn22n=1Nunvn

    Méthode: On majore la somme en second membre en séparant les facteurs un et vn grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

    Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

    n=1Nvn22(n=1Nun2)1/2(n=1Nvn2)1/2

    Que la somme en premier membre soit nulle ou non, on obtient

    (n=1Nvn2)1/22(n=1Nun2)1/2

    Enfin, on élève au carré pour écrire

    n=1Nvn24n=1Nun24n=1+un2

    On en déduit que la série de terme général vn2 car il s’agit d’une série à termes positifs aux sommes partielles majorées. Au surplus,

    n=1+vn2=limN+n=1Nvn24n=1+un2
  • (c)

    Sans perte de généralité, on peut supposer les termes un positifs (ou simplement mener l’étude avec |un| au lieu de un). Soit N2.

    n=1Nm=1Numunm+n=n=1Nm=1numunm+n+n=1Nm=n+1Numunm+n

    On échange les deux sommes du deuxième terme

    n=1Nm=1Numunm+n=n=1Nm=1numunm+n+m=2Nn=1m-1umunm+n

    On exploite l’inégalité m+nn pour majorer le premier terme et faire apparaître vn et l’inégalité m+nm pour le second terme en faisant apparaître vm quitte à adjoindre un terme positif à la somme:

    n=1Nm=1Numunm+n n=1Nm=1numunn+m=2Nn=1m-1umunm
    n=1Nunvn+m=2Numvm2n=1Nunvn

    L’inégalité 2aba2+b2 complète l’étude

    n=1Nm=1Numunm+nn=1N(un2+vn2)n=1+un2+n=1+vn2

    Finalement, la famille étudiée est sommable car les sommes partielles sur les parties finies sont majorées.

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Édité le 08-11-2019

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