Exercice 1 1031 Correction

Soit $σ : ℕ^{*} \to ℕ^{*}$ une application bijective.

(a)

Déterminer la nature de

$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{σ {(n)}^{2}} .$
(b)

Même question pour

$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{σ (n)} .$

Solution

(a)

La série $\sum \frac{1}{n^{2}}$ est à termes positifs. Dans $[0; + \infty]$ , on peut procéder à un changement d’indice

$\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{σ {(n)}^{2}} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{2}} < + \infty .$

On en déduit la convergence

$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{σ {(n)}^{2}} .$
(b)

La démarche est identique

$\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{σ (n)} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n} = + \infty .$

La série $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{σ (n)}$ diverge.

Exercice 2 1030 Correction

Soient $\sum_{n \geq 0} u_{n}$ une série absolument convergente et $v_{n} = u_{σ (n)}$ avec $σ \in 𝒮_{ℕ}$ .

Montrer que la série $\sum_{n \geq 0} v_{n}$ est absolument convergente et de même somme que $\sum u_{n}$ .

Solution

On a

\sum_{k = 0}^{n} | v_{k} | \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} | u_{n} | < + \infty

donc $\sum_{n \geq 0} v_{n}$ est absolument convergente.

Pour $n \in ℕ$ , posons

p (n) = \max {σ^{- 1} (k) | 0 \leq k \leq n} .

Pour tout $ε > 0$ , il existe $N \in ℕ$ tel que $\sum_{n \geq N + 1} | u_{n} | \leq ε$ .
Pour tout $M \geq p (N)$ :

| \sum_{n = 0}^{M} v_{n} - \sum_{n = 0}^{N} u_{n} | \leq \sum_{n \geq N + 1} | u_{n} | \leq ε

donc

| \sum_{n = 0}^{M} v_{n} - \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} | \leq 2 ε .

Par suite,

\sum_{n = 0}^{+ \infty} v_{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} .

Exercice 3 2425

Soit $σ$ une permutation¹¹ 1 Une permutation de $ℕ^{*}$ est une application bijective de $ℕ^{*}$ vers lui-même. de $ℕ^{*}$ .

Déterminer la nature des séries de termes généraux:

(a)

$\frac{1}{n σ (n)}$
(b)

$\frac{σ (n)}{n^{2}}$ .

Exercice 4 3678 Correction

Soit $σ$ une permutation de $ℕ^{*}$ .

Quelle est la nature de

\sum \frac{σ (n)}{n^{2} \ln (n)} ?

Solution

Pour $n \geq 2$ , posons

S_{n} = \sum_{k = 2}^{n} \frac{σ (k)}{k^{2} \ln (k)} .

On a

S_{2^{n + 1}} - S_{2^{n}} \geq \frac{1}{2^{2 (n + 1)} \ln (2^{n + 1})} \sum_{k = 2^{n} + 1}^{2^{n + 1}} σ (k) \geq \frac{1}{2^{2 (n + 1)} \ln (2^{n + 1})} \sum_{k = 1}^{2^{n}} k

car les entiers $σ (k)$ de la première somme sont aux moins égaux aux entiers $k$ de la seconde.
On en déduit
et donc

S_{2^{n + 1}} - S_{2^{n}} \geq \frac{2^{n} (2^{n} + 1)}{2^{2 n + 3} (n + 1) \ln (2)} \sim \frac{1}{8 \ln (2)} \frac{1}{n} .

Puisque la série $\sum 1 / n$ diverge, il en de même de la série télescopique $\sum S_{2^{n + 1}} - S_{2^{n}}$ et donc la suite $(S_{2^{n}})$ tend vers $+ \infty$ . On en déduit la divergence de la série étudiée.

Exercice 5 3426 Correction

Soit $(u_{n})$ une suite réelle telle qu’il y ait convergence de la série $\sum u_{n}^{2}$ .

Soient $σ$ une bijection de $ℕ$ et $(v_{n})$ la suite déterminée par

v_{n} = u_{σ (n)} pour tout n \in ℕ .

(a)

Montrer la convergence et calculer la somme de la série $\sum v_{n}^{2}$ .
(b)

Quelle est la nature de la série $\sum | u_{n} v_{n} |$ ?
(c)

Déterminer les bornes supérieure et inférieure de

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} | u_{n} v_{n} |$

pour $σ$ parcourant l’ensemble des bijections de $ℕ$ .

Solution

(a)

La permutation des termes d’une série à termes positifs ne change ni sa nature, ni sa somme. On peut donc affirmer

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} v_{n}^{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}^{2} .$
(b)

En vertu de la majoration

$a b \leq \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2})$

on a

$| u_{n} v_{n} | \leq \frac{1}{2} (u_{n}^{2} + v_{n}^{2}) .$

Par comparaison de série à termes positifs, on peut affirmer la convergence de la série $\sum | u_{n} v_{n} |$ …
(c)

et

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} | u_{n} v_{n} | \leq \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}^{2} + \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{+ \infty} v_{n}^{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}^{2} .$

De plus, cette inégalité est une égalité quand $σ = {Id}_{ℕ}$ donc

$sup {\sum_{n = 0}^{+ \infty} | u_{n} v_{n} | | σ bijection de ℕ} = \max {\sum_{n = 0}^{+ \infty} | u_{n} v_{n} | | σ bijection de ℕ} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}^{2} .$

On a évidemment

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} | u_{n} v_{n} | \geq 0 .$

Pour montrer que la borne inférieure cherchée est $0$ , montrons que l’on peut rendre la somme précédente aussi petite que l’on veut.

Soit $ε > 0$ . Par convergence de la série $\sum u_{n}^{2}$ , il existe $N \in ℕ$ tel que

$\sum_{n = N}^{+ \infty} u_{n}^{2} \leq ε .$

De plus, la suite $(u_{n})$ tend vers 0, elle est donc bornée par un certain $M > 0$ et il existe un rang $N^{'} > N$ tel que

$\forall n \geq N^{'}, | u_{n} | \leq \frac{ε}{M (N + 1)} .$

Considérons alors la bijection $σ$ de $ℕ$ déterminée par

$σ (n) = {\begin{matrix} N^{'} + n & si n \in {0, \dots, N} \\ n - N^{'} & si n \in {N^{'}, \dots, N^{'} + N} \\ n & sinon. \end{matrix}$

Pour cette permutation

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} | u_{n} v_{n} | \leq \sum_{n = 0}^{N} | u_{n} | \frac{ε}{M (N + 1)} + \sum_{n = N^{'}}^{N^{'} + N} \frac{ε}{M (N + 1)} | u_{n - N^{'}} | + ε \leq 3 ε .$

On peut donc affirmer

$inf {\sum_{n = 0}^{+ \infty} | u_{n} v_{n} | | σ bijection de ℕ} = 0 .$

Exercice 6 3412 ENS ULM (MP)Correction

Soit $(z_{n})$ une suite de complexes non nuls telles que

n \neq m ⟹ | z_{n} - z_{m} | \geq 1 .

Montrer la convergence de la série de terme général $1 / z_{n}^{3}$ .

Solution

Pour $N \in ℕ$ posons $A_{N} = {n \in ℕ, | z_{n} | \leq N}$ .
Pour $n, m \in A_{N}$ distincts, les disques ouverts de centres $z_{n}$ et $z_{m}$ et de rayon $1 / 2$ sont disjoints. La réunion de ces disques pour $n$ parcourant $A_{N}$ , est incluse dans le disque de centre 0 et de rayon $N + 1 / 2$ . Par considération d’aire, on obtient

Card (A_{N}) \times π \times {(\frac{1}{2})}^{2} \leq π {(N + \frac{1}{2})}^{2}

et donc

Card (A_{N}) \leq {(2 N + 1)}^{2} .

Quitte à permuter les termes de la suite, supposons la suite $(| z_{n} |)$ croissante (cela est possible, car il n’y a qu’un nombre fini de termes de la suite de module inférieur à une constante donnée). En vertu de l’étude qui précède

| z_{{(2 N + 1)}^{2} + 1} | > N

et on en déduit

\frac{1}{{| z_{p} |}^{3}} = O (\frac{1}{p^{3 / 2}}) .

La série permutée de terme général $1 / z_{n}^{3}$ est donc absolument convergente et la série initiale l’est donc aussi.

[<] Étude de sommabilité [>] Sommes doubles

Édité le 29-08-2023

Permutation des termes d'une série