La famille est à termes positifs, étudier sa sommabilité signifie vérifier

$$\sum _{p,q\ge 1}\frac{1}{{(p^2+q^2)}^{\alpha }}<+\mathrm{\infty }\text{.}$$

On a l’encadrement

$$\frac{1}{{(p+q)}^2}\le \frac{1}{p^2+q^2}\le \frac{2}{{(p+q)}^2}\text{.}$$

La sommabilité de la famille étudiée équivaut alors à étudier si

$$\sum _{p,q\ge 1}\frac{1}{{(p+q)}^{2\alpha }}<+\mathrm{\infty }\text{.}$$

Effectuons un calcul dans $[0;+\mathrm{\infty }]$. En regroupant par paquets selon

$$I_n=\{(p,q)\in {\mathbb{N}}^{*2}|p+q=n\}\text{ avec }n\ge 2$$

on obtient

$$\sum _{p,q\ge 1}\frac{1}{{(p+q)}^{2\alpha }}=\sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{(p,q)\in I_n}\frac{1}{n^{2\alpha }}=\sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}\frac{n-1}{n^{2\alpha }}\text{.}$$

On remarque

$$\frac{n-1}{n^{2\alpha }}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\sim }\frac{1}{n^{2\alpha -1}}\text{.}$$

Par équivalence aux séries de Riemann,

	${\displaystyle \sum _{p,q\ge 1}}{\displaystyle \frac{1}{{(p+q)}^{2\alpha }}}<+\mathrm{\infty }$	$\iff 2\alpha ->1$
		$\iff \alpha >1\text{.}$

• (a)

  Méthode: On peut exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$ et $v_{n-1}$.

  Puisque $n{v}_n$ correspond à la somme $u_1+\mathrm{\cdots }+u_n$, on remarque

  $$u_n=n{v}_n-(n-1)v_{n-1}\mathit{\hspace{1em}}\text{pour }n\ge 2\text{.}$$

  La différence des membres de l’inégalité étudiée s’écrit alors

  	$(n+1)v_n^2-(n-1)v_{n-1}^2-2u_n{v}_n$	$=(n+1)v_n^2-(n-1)v_{n-1}^2-2n{v}_n^2+2(n-1)v_n{v}_{n-1}$
  		$=(1-n)v_n^2+2(n-1)v_n{v}_{n-1}+(1-n)v_{n-1}^2$
  		$=(1-n){(v_n-v_{n-1})}^2\le 0\text{.}$

  On en déduit l’inégalité voulue.

• (b)

  Soit $n\ge 2$. On peut écrire

  $$(n+1)v_n^2-(n-1)v_{n-1}^2=v_n^2+n{v}_n^2-(n-1)v_{n-1}^2$$

  ce qui fait apparaître $v_n^2$ et un terme télescopique. En sommant ces termes pour $n$ allant de $2$ jusqu’à un entier $N$, on obtient

  $$\sum _{n=2}^N{v}_n^2+N{v}_N^2-v_1^2\le 2\sum _{n=2}^N{u}_n{v}_n\text{.}$$

  En ajoutant $2v_1^2$ dans chaque membre et en remarquant $u_1=v_1$, on obtient

  $$\sum _{n=1}^N{v}_n^2+N{v}_N^2\le 2\sum _{n=1}^N{u}_n{v}_n$$

  puis

  $$\sum _{n=1}^N{v}_n^2\le 2\sum _{n=1}^N{u}_n{v}_n\text{.}$$

  Méthode: On majore la somme en second membre en séparant les facteurs $u_n$ et $v_n$ grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

  Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

  $$\sum _{n=1}^N{v}_n^2\le 2{\left(\sum _{n=1}^N{u}_n^2\right)}^{1/2}{\left(\sum _{n=1}^N{v}_n^2\right)}^{1/2}\text{.}$$

  Que la somme en premier membre soit nulle ou non, on obtient

  $${\left(\sum _{n=1}^N{v}_n^2\right)}^{1/2}\le 2{\left(\sum _{n=1}^N{u}_n^2\right)}^{1/2}\text{.}$$

  Enfin, on élève au carré pour écrire

  $$\sum _{n=1}^N{v}_n^2\le 4\sum _{n=1}^N{u}_n^2\le 4\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n^2\text{.}$$

  On en déduit que la série de terme général $v_n^2$ car il s’agit d’une série à termes positifs aux sommes partielles majorées. Au surplus,

  $$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{v}_n^2=\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=1}^N{v}_n^2\le 4\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n^2\text{.}$$

• (c)

  Sans perte de généralité, on peut supposer les termes $u_n$ positifs (ou simplement mener l’étude avec $|u_n|$ au lieu de $u_n$). Soit $N\ge 2$.

  $$\sum _{n=1}^N\sum _{m=1}^N\frac{u_m{u}_n}{m+n}=\sum _{n=1}^N\sum _{m=1}^n\frac{u_m{u}_n}{m+n}+\sum _{n=1}^N\sum _{m=n+1}^N\frac{u_m{u}_n}{m+n}\text{.}$$

  On échange les deux sommes du deuxième terme

  $$\sum _{n=1}^N\sum _{m=1}^N\frac{u_m{u}_n}{m+n}=\sum _{n=1}^N\sum _{m=1}^n\frac{u_m{u}_n}{m+n}+\sum _{m=2}^N\sum _{n=1}^{m-1}\frac{u_m{u}_n}{m+n}\text{.}$$

  On exploite l’inégalité $m+n\ge n$ pour majorer le premier terme et faire apparaître $v_n$ et l’inégalité $m+n\ge m$ pour le second terme en faisant apparaître $v_m$ quitte à adjoindre un terme positif à la somme:

  	${\displaystyle \sum _{n=1}^N}{\displaystyle \sum _{m=1}^N}{\displaystyle \frac{u_m{u}_n}{m+n}}$	$\le {\displaystyle \sum _{n=1}^N}{\displaystyle \sum _{m=1}^n}{\displaystyle \frac{u_m{u}_n}{n}}+{\displaystyle \sum _{m=2}^N}{\displaystyle \sum _{n=1}^{m-1}}{\displaystyle \frac{u_m{u}_n}{m}}$
  		$\le {\displaystyle \sum _{n=1}^N}{u}_n{v}_n+{\displaystyle \sum _{m=2}^N}{u}_m{v}_m\le 2{\displaystyle \sum _{n=1}^N}{u}_n{v}_n\text{.}$

  L’inégalité $2ab\le a^2+b^2$ complète l’étude

  $$\sum _{n=1}^N\sum _{m=1}^N\frac{u_m{u}_n}{m+n}\le \sum _{n=1}^N\left(u_n^2+v_n^2\right)\le \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n^2+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{v}_n^2\text{.}$$

  Finalement, la famille étudiée est sommable car les sommes partielles sur les parties finies sont majorées.