[>] Étude de sommabilité

 
Exercice 1  4647  

Soient q avec |q|<1 et un=q|n| pour n.

Montrer que la famille (un)n est sommable et calculer sa somme.

 
Exercice 2  4066  Correction  

Soient r[0;1[ et θ.

Justifier l’existence et calculer

nr|n|einθ.

Solution

Étudions la sommabilité de (|r|n|einθ|)n=(r|n|)n. On peut décomposer

=*{0}-*.

La sous-famille (r|n|)n* est sommable car la série géométrique rn converge. De même, la sous-famille (r|n|)n-* est sommable. Par sommation par paquets, la famille (r|n|)n est sommable.

La somme étudiée existe donc et en sommant par paquets

nr|n|einθ=n*rneinθ+1+n-*r-neinθ=1+reiθ1-reiθ+re-iθ1-re-iθ=1-r21-2rcos(θ)+r2.
 
Exercice 3  4649   

Soit z vérifiant |z|<1. Montrer l’identité

z1-z=p=0+z2p1-z2p+1.
 
Exercice 4  2427   

Pour x]-1;1[, établir l’identité

n=1+xn1-xn=n=1+d(n)xn

d(n) désigne le nombre de diviseurs positifs de n.

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Édité le 08-11-2019

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