Exercice 1 4685

(Inégalité arithmético-géométrique)

Soient $a_{1}, \dots, a_{n}$ des réels positifs. Montrer

\sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}} \leq \frac{1}{n} (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) .

Exercice 2 4058

Soient $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ des réels strictement positifs. Montrer

\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{3}} + \dots + \frac{x_{n - 1}}{x_{n}} + \frac{x_{n}}{x_{1}} \geq n .

Exercice 3 4691

Soient $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{p}$ des réels positifs vérifiant $x_{1} x_{2} \dots x_{p} = 1$ et $n$ un entier naturel.

Montrer

\prod_{i = 1}^{p} (n + x_{i}) \geq {(n + 1)}^{p} .

Édité le 29-08-2023