Exercice 1 4683

Étudier la convexité de la fonction $f : x \mapsto x^{2} e^{x}$ définie sur $ℝ$ .

Exercice 2 5520 Correction

Étudier la convexité de la fonction $f : x \mapsto \ln (1 + x^{2})$ définie sur $ℝ$ .

Solution

La fonction $f$ est définie et deux fois dérivable sur $ℝ$ avec

f^{'} (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}} et f^{''} (x) = 2 \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} .

Puisque $f^{''} (x)$ est du signe de $1 - x^{2}$ , la fonction $f$ est convexe sur $[- 1; 1]$ et concave sur les intervalles¹¹ 1 La notion de fonction convexe (ou concave) est uniquement introduite pour les fonctions définies sur un intervalle: on évitera donc de dire que $f$ est concave sur la réunion $] - \infty; 1] \cap [1; + \infty [$ . $] - \infty; 1]$ et $[1; + \infty [$ .

Exercice 3 1405 Correction

Étudier la fonction

f : x \mapsto x \sqrt{1 - x^{2}}

afin d’en réaliser la représentation graphique.

Solution

La fonction $f$ est définie sur $[- 1; 1]$ et impaire. On limite son étude à l’intervalle $[0; 1]$ .

La fonction $f$ est de classe $𝒞^{\infty}$ sur $[0; 1 [$ avec

f^{'} (x) = \frac{1 - 2 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} et f^{''} (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(1 - x^{2})}^{3 / 2}} .

La fonction $f$ présente une inflexion en $0$ de tangente d’équation $y = x$ .

La fonction $f$ présente un maximum en $x = 1 / \sqrt{2}$ de valeur $1 / 2$ .

Puisque $f^{'} (x) \to_{x \to 1}^{} + \infty$ , il y a une tangente verticale en $1$ .

La fonction $x \mapsto x \sqrt{1 - x^{2}}$

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Édité le 29-08-2023

Étude de fonctions