La fonction $f$ est définie et deux fois dérivable sur $ℝ$ avec

Puisque $f^{\prime \prime }(x)$ est du signe de $1-x^2$, la fonction $f$ est convexe sur $[-1;1]$ et concave sur les intervalles¹¹ 1 La notion de fonction convexe (ou concave) est uniquement introduite pour les fonctions définies sur un intervalle: on évitera donc de dire que $f$ est concave sur la réunion $]-\mathrm{\infty };1]\cap [1;+\mathrm{\infty }[$. $]-\mathrm{\infty };1]$ et $[1;+\mathrm{\infty }[$.

La fonction $f$ est définie sur $[-1;1]$ et impaire. On limite son étude à l’intervalle $[0;1]$.

La fonction $f$ est de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ sur $[0;1[$ avec

La fonction $f$ présente une inflexion en $0$ de tangente d’équation $y=x$.

La fonction $f$ présente un maximum en $x=1/\sqrt{2}$ de valeur $1/2$.

Puisque $f^{\prime }(x)\underset{x\to 1}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }$, il y a une tangente verticale en $1$.